2024河南中考数学专题复习第三章 第十一节 函数的实际应用 课件

一题串讲重难点1河南9年真题子母题2第十一节函数的实际应用

课标要求能用一次函数解决简单实际问题．命题点1一次函数的实际应用(9年8考)类型一购买方案设计型问题(9年4考)

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值类型背景考查设问结合知识点202220解答题9文字型让学生体验农耕劳动(1)菜苗单价；(2)购买最少花费(1)分式方程；(2)一次函数＋不等式考情分析年份题号题型分值类型背景考查设问结合知识点202121解答题9表格型在网店购买A，B两款猕猴玩偶(1)购进玩偶个数；(2)设计进货方案获得最大利润；(3)根据利润率判断哪次购买更合算(1)二元一次方程组；(2)一次函数＋不等式201920解答题9文字型购买奖品(1)奖品单价；(2)设计最省钱的购买方案(1)二元一次方程组；(2)一次函数＋不等式201620解答题9文字型购进节能灯(1)节能灯售价；(2)设计最省钱的购买方案(1)二元一次方程组；(2)一次函数＋不等式考情及趋势分析类型二方案选取型问题(9年4考)考情分析年份题号题型分值类型背景考查设问结合知识点202321解答题9文字型购买健身器材的优惠活动(1)一定条件下的方案选择；(2)两种活动付款金额相等求原价；(3)一定条件下求原价的取值范围一次函数＋不等式202019解答题9图象型健身俱乐部暑期优惠活动(1)(2)考查函数关系式并说明实际意义；(3)选择哪种方案所需费用最少二元一次方程组201721解答题10文字型购买魔方(1)魔方的单价；(2)选择哪种优惠活动购买魔方更实惠(1)二元一次方程组；(2)一次函数＋不等式考情分析年份题号题型分值类型背景考查设问结合知识点201521解答题10图象型游泳馆暑期优惠活动(1)写出y与x的关系式；(2)求点坐标；(3)选择哪种消费方式更合算(1)二元一次方程组；(2)不等式

课标要求1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；2.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值(2022年版课标新增)，能解决相应的实际问题．命题点2二次函数的实际应用(9年3考)考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值类型背景考查设问结合知识点201821解答题10表格型产品的日销售量y与销售单价x之间的函数关系(1)求y与x之间的函数关系式；(2)日销售利润最大值；(3)成本单价的范围(1)二元一次方程组；(2)不等式类型一销售利润问题(2018.21)考情及趋势分析类型二抛物线型问题(近2年连续考查)考情分析年份题号题型分值类型背景考查设问结合知识点202322解答题10/羽毛球的击球线路(1)求点P的坐标和字母的值；(2)通过计算选择击球方式二次函数与一元二次方程的关系202221解答题9/喷水景观(1)求抛物线的表达式；(2)求小红与爸爸的水平距离二次函数与一元二次方程的关系命题趋势·新考法分析近2年河南连续考查二次函数抛物线型问题，主要考查的是二次函数的性质，且2023年将一次函数和二次函数的实际应用结合考查．近2年全国考查二次函数抛物线型问题的地市也比较多，如2023兰州第23题、陕西第25题等；另外由《课程标准》(2022年版)的内容变化“知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系”，全国抛物线型问题的考查融入了根据图象变化判断抛物线的系数，如2023温州第22题、河北第23题、长春第14题、武汉第22题、赤峰第25题．一题串讲重难点基础知识巩固例1根据题意，列函数关系式：(1)文文去超市购买单价为6元/千克的苹果，已知文文所花的费用y(元)与她所买这种苹果的数量x(千克)之间满足一次函数关系，则该函数关系式为___________；y＝6x(x≥0)(2)已知某种商品每件的进价为10元，市场监管部门规定该商品的销售单价不低于进价，且不高于20元，在销售过程中发现，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表：x…101215…y…180168150…则y与x之间的函数关系式为___________________________；(3)某商家去体育用品批发店购进一批羽毛球和乒乓球，一个羽毛球进价5元，一个乒乓球进价3元，该商家将羽毛球的单价定为8元，乒乓球的单价定为5元，若小华在该商家购买羽毛球和乒乓球共40个，设商家出售给小华的羽毛球个数为x个，商家获取的总利润为y元，则y与x之间的函数关系式为______________________；y＝－6x＋240(10≤x≤20)y＝x＋80(0≤x≤40)(4)李老板销售一款衬衫，每件进价50元，售价100元，每周可售出50件．李老板发现，若衬衫售价每降低1元，每周可多售出2件(售价不低于成本价)．若降价x元，则每周的利润w(元)与降价x(元)之间的函数关系式为__________________________________；(5)某超市出售甲、乙两种中性笔，售价分别为3元和4元，现推出优惠活动，两种中性笔均按8折出售，班主任准备趁此活动多囤些中性笔作为班上学生期中考试的奖品，计划购买30个中性笔，其中甲中性笔购买了x个，购买两种中性笔共花费y元，则y与x之间的函数关系式为__________________________．w＝－2x2＋50x＋2500(0≤x≤50)y＝－0.8x＋96(0≤x≤30)

解题有策略求函数解析式的方法(9年8考)文字、表格型既可以用待定系数法也可以用关系式法求函数解析式，图象型只能用待定系数法求函数解析式．关系式法举例：行程问题的关系式：路程＝速度×时间；行程问题中的“相遇问题”关系式：总路程＝甲的路程＋乙的路程＝甲的速度×甲的时间＋乙的路程×乙的时间．无论是函数、还是方程，还是列代数式，都是通过问题背景来列出关系式，再结合条件，给的是数值就代入数值，给的是字母就代入字母．全部代入后化简，是方程就是方程，是函数就是函数．重难考法突破类型一费用、利润问题一、文字、表格型问题

(9年6考)

例2

信阳毛尖，亦称“豫毛峰”，是中国十大名茶之一，某店家刘老板在信阳毛尖批发厂家选中特级毛尖和一级毛尖两种茶，决定从该厂家进货并销售．刘老板计划两次购进毛尖的数量和花费如下表：(两次单价不变)特级毛尖(单位：斤)一级毛尖(单位：斤)总花费(单位：元)第一次购进152019000第二次购进182523300文字表格互译：刘老板计划分两次购进这两种毛尖，第一次购进15斤特级毛尖和20斤一级毛尖共花费19000元，第二次______________________________________________购进18斤特级毛尖和25斤一级毛尖共花费23300元．特级毛尖(单位：斤)一级毛尖(单位：斤)总花费(单位：元)第一次购进152019000第二次购进182523300(1)求每斤特级毛尖和一级毛尖的进价各为多少元；解：(1)设每斤特级毛尖的进价为x元，每斤一级毛尖的进价为y元，根据题意得：

解得答：每斤特级毛尖的进价为600元，每斤一级毛尖的进价为500元；特级毛尖(单位：斤)一级毛尖(单位：斤)总花费(单位：元)第一次购进152019000第二次购进182523300(2)若刘老板购进特级毛尖和一级毛尖共30斤，且购进的特级毛尖的数量不少于一级毛尖的一半，请你设计出最省钱的进货方案；(2)设购进特级毛尖a斤，则购进一级毛尖(30－a)斤，总花费为w元，则w＝600a＋500(30－a)＝100a＋15000，由题意知，a≥(30－a)，解得a≥10，∵100＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝10时，w取得最小值，∴购进一级毛尖30－10＝20(斤)，答：当购进10斤特级毛尖，20斤一级毛尖时最省钱；(3)若每斤特级毛尖的售价为1000元，每斤一级毛尖的售价为800元，根据市场需求，店家刘老板计划再次购进特级毛尖和一级毛尖共48斤，且特级毛尖的数量不超过一级毛尖数量的

，请你设计一种购进方案，使得该批特级毛尖和一级毛尖全部售出后获利最大，并求出最大获利为多少元；(3)设购进特级毛尖m斤，则购进一级毛尖(48－m)斤，总利润为y元，则y＝(1000－600)m＋(800－500)(48－m)＝100m＋14400，由题意知m≤(48－m)，解得m≤12，∵100＞0，∴y随m的增大而增大，∴当m＝12时，y取得最大值，y最大＝100×12＋14400＝15600(元)，购进一级毛尖：48－12＝36(斤)，答：当购进特级毛尖12斤，购进一级毛尖36斤时，全部售出后获利最大，最大获利为15600元；(4)实际销售过程中，该店发现每斤特级毛尖售价为1000元时，月销量为18斤，每降价10元，月销售量增加3斤，设每斤特级毛尖降价x元，特级毛尖的月利润为w(元)，求w与x之间的函数关系式；(4)由题意得，w与x之间的函数关系式为w＝(1000－600－x)(18＋

x)＝－

x2＋102x＋7200(0≤x≤400)；(5)在(4)的条件下，当每斤特级毛尖的售价为多少元时，特级毛尖的月利润最大，最大月利润为多少元？(5)由(4)可得w＝－

x2＋102x＋7200＝－

(x－170)2＋15870，∵－

＜0，∴w有最大值，∴当x＝170时，特级毛尖的月利润最大，∴每斤特级毛尖的售价：1000－170＝830(元)，答：当每斤特级毛尖的售价为830元时，特级毛尖的月利润最大，最大月利润为15870元．二、图象型问题(9年2考)例3

共享电动车是一种新的交通工具，通过扫码开锁，循环共享，方便人们日常及旅途出行，这是新时代下共享经济的促成结果．现有A，B两种品牌共享电动车，给出的图象反映了收费y(元)与骑行时间x(min)之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2.例3题图文字图象互译：A品牌收费方式对应y1，收费方式为：骑行时间不超过10分钟收费3元，超出的时间按每分钟0.2元收费，B品牌收费方式对应y2，收费方式为：__________________每分钟收费0.25元(1)求出y1，y2关于x的函数解析式；解：(1)由图象可知，y1，y2交点为(20，5)，当x≤10时，y1＝3，当x>10时，设y1关于x的函数解析式为y1＝k1x＋b(k1≠0)，将点(20，5)，点(10，3)代入y1＝k1x＋b，得

解得

∴；设y2关于x的函数解析式为y2＝k2x(k2≠0)，将点(20，5)代入y2＝k2x，得5＝20k2，解得k2＝0.25，∴y2＝0.25x；(0≤x≤10)(x>10)例3题图(2)根据图象试说明y2与x轴夹角α正切值的实际意义；(2)y2与x轴夹角α的正切值的实际意义为B品牌电动车每骑行1min所收取的费用；(3)小元周末早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去公园游玩，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小元家到公园的距离为6km，那么小元选择哪个品牌共享电动车更省钱？(3)小元从家到公园所需时间为：

＝0.3h＝18min，结合图象可知，当骑行时间为18min时，选择B品牌电动车更省钱．例3题图类型二面积问题例4

如图①，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽AE为xm.例4题图(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；解：(1)根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为

＝(8－x)m，∴(x＋2x)(8－x)＝36，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝6时，3x＝18＞15不符合题意，舍去，∴x＝2，答：此时x的值为2；例4题图(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？(2)设矩形养殖场的总面积是ym2，∵墙的长度为15m，∴0＜x≤5，根据题意得：y＝(x＋2x)(8－x)＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，∵－3＜0，∴当x＝4时，y取最大值，最大值为－3×(4－4)2＋48＝48(m2)，答：当x＝4时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2.例4题图(3)如图②，随着养殖数量的增加，该农场主决定重新规划养殖场，仍用24m长的栅栏，借用15m的外墙将养殖场改成了如下图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等．设AE的长为x，养殖场总面积为S.求S与x之间的函数关系式，并写出当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？例4题图(3)由题意得2AE·EF＝BE·EF，∴BE＝2AE＝2x，∴EF＝BC＝

＝12－4x，∴S＝AB·BC＝3x·(12－4x)＝－12x2＋36x，∴S与x之间的函数关系式为S＝－12x2＋36x＝－12(x－

)2＋27，∵－12<0，∴当x＝

时，矩形养殖场的总面积最大，最大为27m2.类型三抛物线型问题

(近2年连续考查)

例5

有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离10米处达到最高，且高度为6米．将灌溉装置放置于水平地面，用其灌溉一坡度为1∶10的坡地草坪．以水平地面为x轴，以喷水装置所在竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．例5题图(1)(二次函数的增减性)抛物线形水柱在距离喷水口水平距离为多少时，水柱开始下降的；解：(1)由题意得，抛物线形水柱在距离喷水口水平距离为10米时，水柱开始下降；例5题图(2)求该抛物线水柱的函数解析式；(2)由距离喷射点10米时达到最大高度6米，可知抛物线的顶点坐标为(10，6)，设喷出的抛物线水柱轨迹满足的解析式为y＝a(x－10)2＋6(a≠0)，将点(0，1)代入解析式得，100a＋6＝1，解得a＝－

，∴y＝－

(x－10)2＋6，即y＝－

x2＋x＋1，∴抛物线水柱的解析式为y＝－

x2＋x＋1；例5题图(3)(二次函数与一元二次方程的关系)求草坪上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离；(3)设坡面OA的解析式为y＝kx(k≠0)，由坡度为1∶10可知k＝

，∴OA的解析式为y＝

x，联立

整理得x2－18x－20＝0，解得x＝9＋

或x＝9－

(不合题意，舍去)，∴草坪上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离为(9＋

)米；例5题图(4)(二次函数的最值)求水柱与坡面之间的最大铅垂高度；当

＝9时，∴水柱与坡面之间的最大铅垂高度为5.05米；d最大＝－

×92＋

×9＋1＝5.05，∴PQ的长为d＝－

t2＋t＋1－

t＝－

t2＋

t＋1，∵－

＜0，∴函数图象开口向下，d有最大值，(4)如解图，设抛物线上一点P(t，－

t2＋t＋1)，过点P作PQ⊥x轴交OA于点Q，则Q(t，

t)，例5题解图例5题图(5)(二次函数图象的平移)若到喷水头水平距离为15米的A处及其右侧种植有银杏树，点A处的银杏树高度为4米，则水柱是否会碰到这棵银杏树，若能碰到的话，应该将灌溉装置向后至少移动多少米，才能避开对这棵银杏树的灌溉？(5)如解图，设银杏树顶点为点B，作AB∥y轴交抛物线于点C，将x＝15代入y＝

x得，y＝

，∴点A的坐标为(15，

)，∵＋4＝

，∴点B的坐标为(15，

)，将x＝15代入y＝－

x2＋x＋1得，y＝

，例5题解图例5题图∵＜

＜

，∴点C在线段AB上，∴水柱会碰到银杏树；设向后平移的距离为h，则平移后的抛物线解析式为y＝－

(x－10＋h)2＋6，将A(15，

)代入解析式，得－

(15－10＋h)2＋6＝

，解得h1＝3－5，h2＝－3－5(不符合题意，舍去)，答：应将移动灌溉装置向后至少移动(3－5)米，才能避开对这棵银杏树的灌溉．∴点C的坐标为(15，

)，例5题解图

解题关键点关键点一：确定点A与银杏树顶端在平面直角坐标系中的坐标是解题的关键；关键点二：点A恰好在平移后的抛物线上是解题的关键．河南9年真题子母题1命题点一次函数的实际应用

9年8考类型一购买方案设计型问题

(9年4考)

1.(2022河南20题9分)近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版)，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的

倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；解：(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格是

x元，根据题意得

－

＝3解得x＝20.经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；(5分)，(3分)(2)设购买A种菜苗a捆，则购买B种菜苗(100－a)捆，根据题意得a≤100－a，解得a≤50.(6分)设本次购买花费w元，则w＝20a×0.9＋30(100－a)×0.9＝－9a＋2700，∵－9＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a＝50时，w有最小值，w最小＝－9×50＋2700＝2250.答：本次购买最少花费2250元．(9分)(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱．类型二购买方案选取型问题

(9年4考)

2.(2023河南21题9分)某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满300元减80元．(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元)(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；

解：(1)选择活动一时，需花费450×0.8＝360元，选择活动二时，需花费450－80＝370元，∵360<370，∴选择活动一更合算；(3分)(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；(2)设一件这种健身器材的原价是x元，按照活动一购买花费y1元，按照活动二购买花费y2元，(4分)根据题意得y1＝0.8x，y2＝x－80，即0.8x＝x－80，解得x＝400，答：一件这种健身器材的原价是400元；(7分)(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．(3)300≤a<400或600≤a<800.(9分)【解法提示】①当0＜a＜300时，活动一的付款金额比活动二的付款金额小，不合题意；②当300≤a＜600时，活动一的费用为0.8a元，活动二的费用为(a－80)元，0.8a－(a－80)＞0，解得a＜400，故当300≤a＜400时，活动一的付款金额比活动二的付款金额大，选择活动二更合算；③当600≤a＜900时，活动一的费用为0.8a元，活动二的费用为(a－160)元，0.8a－(a－160)＞0，解得a＜800，故当600≤a＜800时，活动一的付款金额比活动二的付款金额大，选择活动二更合算．综上所述，当a的取值范围为300≤a＜400或600≤a＜800时，选择活动二比选择活动一更合算．2命题点二次函数的实际应用

9年3考类型一销售利润问题

3.某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875[注：日销售利润＝日销售量×(销售单价－成本单价)](1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值；解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意得，

解得∴y关于x的函数解析式为y＝－5x＋600.(3分)当x＝115时，m＝－5×115＋600＝25；(4分)销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875(2)根据以上信息，填空：该产品的成本单价是________元，当销售单价x＝________元时，日销售利润w最大，最大值是________元；销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875【解法提示】成本单价＝85－

＝80(元)；w＝y×(x－80)＝(－5x＋600)(x－80)＝－5x2＋1000x－48000＝－5(x－100)2＋2000，∵－5＜0，∴当x＝100时，w取最大值，最大值为2000元．【答案】80,100,2000(3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本．预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？解：(3)设该产品的成本单价为a元，由题意得当x＝90时，(－5×90＋600)×(90－a)≥3750，解得a≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．(10分)类型二抛物线型问题

(9年2考)4.(2022河南21题9分)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中

x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．第4题图(1)求抛物线的表达式；解：(1)由题意知，点(5，3.2)是抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点，∴y＝a(x－5)2＋3.2.又∵抛物线经过点(0，0.7)，∴0.7＝a(0－5)2＋3.2，解得a＝－0.1.(4分)∴抛物线的表达式为y＝－0.1(x－5)2＋3.2；(5分)第4题图(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P

水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．(2)当y＝1.6时，1.6＝－0.1(x－5)2＋3.2，解得x1＝1，x2＝9.(7分)∴3－1＝2，9－3＝6.答：小红