高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题03基本不等式和积问题(原卷版+解析)

微专题03基本不等式和积问题【方法技巧与总结】一．重要不等式，有，当且仅当时，等号成立．二．基本不等式如果，，则，当且仅当时，等号成立．叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三．与基本不等式相关的不等式（1）当时，有，当且仅当时，等号成立．（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立．（3）当时，有，当且仅当时，等号成立．四．利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值．【题型归纳目录】题型一：比较大小及不等式证明问题题型二：简单的和为定值或积为定值型题型三：含或以及可以转化为此的类型题型四：含类型【典型例题】题型一：比较大小及不等式证明问题例1．（多选题）(2023·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．例2．（多选题）(2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a＞0，b＞0，则（

）A． B．C． D．例3．(2023·河南·高一期中）已知、、都是正数．（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的取值范围．例4．(2023·广东茂名·高一期末）已知均为正数，且，证明：，并确定为何值时，等号成立．例5．(2023·辽宁沈阳·高一期中）已知a，b，，求证：．例6．(2023·江苏·高一单元测试）设a0，b0，a+b＝2．（1）证明：≥4；（2）证明：a3+b3≥2．题型二：简单的和为定值或积为定值型例7．(2023·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．例8．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则（

）A．有最大值 B．有最大值4C．有最小值 D．有最小值2例9．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数满足，则的最大值（

）A． B． C． D．例10．(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若则的最大值是（

）A．4 B．1 C． D．不存在例11．(2023·河南郑州·高一期中）设正实数x，y满足x+2y=1，则下列结论正确的是（

）A．x的最大值为B．的最小值为，C．+的最大值为4D．的最小值为例12．(2023·山东青岛·高一期末）已知都是正实数，若，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8例13．(2023·江苏·常州市第一中学高一期末）若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2例14．(2023·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．9例15．(2023·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（

）A． B．C． D．例16．(2023·贵州遵义·高一期末）负实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．题型三：含或以及可以转化为此的类型例17．(2023·四川·华阳中学高一期中）若正实数，，满足，则当取最大值时，的最大值为______．例18．(2023·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．例19．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．16 C．49 D．81例20．(2023·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（

）A． B． C． D．例21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（

）A． B． C． D．例22．(2023·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．例23．(2023·江西省丰城中学高一期中）已知正实数，，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例24．(2023·河南三门峡·高一期末）若正实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．例25．(2023·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（）A．4 B．2 C． D．例26．(2023·重庆八中高一期中）已知，，，则的最小值为（

）A．8 B． C．9 D．题型四：含类型例27．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16例28．(2023·全国·高一单元测试）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．例29．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22例30．(2023·天津·南开中学高一期中）若，，则的最小值为___________．例31．(2023·云南丽江·高一期末）若正数a，b满足，则的最小值为___________．例32．(2023·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．例33．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1例34．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知为正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．例35．(2023·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4例36．(2023·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（

）A．若，则函数的最大值为B．若，，则的最小值为C．若，，，则的最大值为D．若，，，则的最小值为例37．(2023·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．例38．(2023·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设，为正数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．例39．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）已知，，，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【过关测试】一、单选题1．(2023·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．2．(2023·福建三明·高一期中）已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（

）A．， B．， C．， D．，3．(2023·浙江杭州·高一期末）若a，b，c均为正实数，则三个数，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于24．(2023·云南玉溪·高一期末）现有以下结论：①函数的最小值是；②若、且，则；③的最小值是；④函数的最小值为．其中，正确的有（

）个A． B． C． D．5．(2023·河南·林州一中高一开学考试）已知，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．(2023·甘肃兰州·高一期末）已知，，且，，，那么的最大值为（

）A． B． C．1 D．27．(2023·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数，则的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．8．(2023·河南新乡·高一期末）已知，，且，则的最小值为（

）A．24 B．25 C．26 D．27二、多选题9．(2023·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（

）A．的最小值为2B．任意的正数，且，都有C．若正数、满足，则的最小值为3D．设、为实数，若，则的最大值为10．(2023·福建·福州三中高一期末）已知，，且，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为11．(2023·河北·邢台市第二中学高一开学考试）若，，且，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为10C．的最小值为 D．的最小值为12．(2023·湖北·华中师大一附中高一期末）已知，则（

）A．的最大值为B．的最小值为4C．的最小值为D．的最小值为113．(2023·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a＞0，b＞0，则（

）A． B．C． D．三、填空题14．(2023·江苏扬州·高一期中）若则的最小值为_________．15．(2023·湖北十堰·高一期中）已知，则的最小值为___________．16．(2023·上海交大附中高一期中）已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．17．(2023·江西·上高二中高一期末（理））已知，为正实数，且，则的最小值为___________．18．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知，，，则的最小值为__．四、解答题19．(2023·河南焦作·高一期中）已知，是正实数，且，证明下列不等式并指出等号成立的条件：（1）；（2）．20．(2023·全国·高一单元测试）已知，，均为正数．（1）若，求的最小值；（2）若，求证：．微专题03基本不等式和积问题【方法技巧与总结】一．重要不等式，有，当且仅当时，等号成立．二．基本不等式如果，，则，当且仅当时，等号成立．叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三．与基本不等式相关的不等式（1）当时，有，当且仅当时，等号成立．（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立．（3）当时，有，当且仅当时，等号成立．四．利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值．【题型归纳目录】题型一：比较大小及不等式证明问题题型二：简单的和为定值或积为定值型题型三：含或以及可以转化为此的类型题型四：含类型【典型例题】题型一：比较大小及不等式证明问题例1．（多选题）(2023·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．答案：CD【解析】当时，得，A错；当时，，B错；，，当且仅当时，等号成立．C正确；是实数，则，，所以，当且仅当时等号成立，D正确．故选：CD．例2．（多选题）(2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a＞0，b＞0，则（

）A． B．C． D．答案：ACD【解析】a＞0，b＞0，对A：，当且仅当时等号成立，故选项A正确；对B：因为，所以选项B错误；对C：因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项C正确；对D：因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故选项D正确．故选：ACD．例3．(2023·河南·高一期中）已知、、都是正数．（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）证明：要证，左右两边同乘以可知即证，即证．因为、、都是正数，由基本不等式可知，，，当且仅当时，以上三式等号成立，将上述三个不等式两边分别相加并除以，得．所以，原不等式得证．（2），因为，当且仅当时等号成立，所以，，即，解得，故实数的取值范围为．例4．(2023·广东茂名·高一期末）已知均为正数，且，证明：，并确定为何值时，等号成立．【解析】证明：因为均为正数，所以．所以①故，而．②所以原不等式成立．当且仅当①式和②式等号成立，即当且仅当时，故当且仅当时，原不等式等号成立．例5．(2023·辽宁沈阳·高一期中）已知a，b，，求证：．【解析】因为a，b，，则，，，于是得，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，将上述三个不等式相加得：，当且仅当时等号成立，因此有，所以，当a，b，时，．例6．(2023·江苏·高一单元测试）设a0，b0，a+b＝2．（1）证明：≥4；（2）证明：a3+b3≥2．【解析】（1）证明：因为，，．．且（当且仅当时取等号），故．所以（2）证明：当且仅当时取等号，又，故．题型二：简单的和为定值或积为定值型例7．(2023·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；对于选项B：，，∴B错误；对于选项C：，因为∴C错误；对于选项D：∵，当且仅当时取等号，∴，D正确；故选：D例8．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则（

）A．有最大值 B．有最大值4C．有最小值 D．有最小值2答案：A【解析】因为正实数满足所以，当且仅当，，即取等号，故A正确、C错误．，当且仅当，，即取等号，故B、D错误．故选：A例9．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数满足，则的最大值（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为正数满足，所以有，当且仅当时取等号，故选：B例10．(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若则的最大值是（

）A．4 B．1 C． D．不存在答案：A【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；故选：A例11．(2023·河南郑州·高一期中）设正实数x，y满足x+2y=1，则下列结论正确的是（

）A．x的最大值为B．的最小值为，C．+的最大值为4D．的最小值为答案：B【解析】正实数x，y满足x+2y=1，则，无最大值，A错误；由基本不等式得：，而，所以，当且仅当，即时，等号成立，B正确；，其中，当且仅当，即时等号成立，所以，故+的最小值为4，C错误；显然，其中，其中，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，即的最大值为，D错误．．故选：B例12．(2023·山东青岛·高一期末）已知都是正实数，若，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8答案：D【解析】由可知（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得（当且仅当时等号成立）故选：D例13．(2023·江苏·常州市第一中学高一期末）若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2答案：D【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2．故选：D．例14．(2023·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．9答案：C【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C例15．(2023·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】对于A，当时，显然不满足题意；对于B，因为，又在上单调递减，所以当时，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，当时，取得最小值，D不符合题意．故选：C例16．(2023·贵州遵义·高一期末）负实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．答案：A【解析】根据题意有，故，当且仅当，时取等号．故选：A题型三：含或以及可以转化为此的类型例17．(2023·四川·华阳中学高一期中）若正实数，，满足，则当取最大值时，的最大值为______．答案：【解析】正实数，，满足则则，当且仅当时取得等号所以，此时所以所以所以的最大值为故答案为：例18．(2023·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．答案：B【解析】∵正实数a、b满足，∴，当且仅当，即时，取等号，故选：B．例19．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．16 C．49 D．81答案：D【解析】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D例20．(2023·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由正实数，，满足，．，当且仅当时取等号，此时．，当且仅当时取等号，即的最大值是1．故选：D例21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为ab+a+2b=7，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故选：A例22．(2023·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．答案：B【解析】，可得，，所以，所以的最小值为，故选：B例23．(2023·江西省丰城中学高一期中）已知正实数，，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由，得，化简得，解得，即的取值范围为，故选：B．例24．(2023·河南三门峡·高一期末）若正实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意，正实数满足，则，令，可得，即，解得，或（舍去），所以当且仅当时，取得最小值2，故选：B．例25．(2023·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（）A．4 B．2 C． D．答案：A【解析】由题设，，∴，又x，y，z为正实数，则，∴，当且仅当时等号成立．∴的最小值是4．故选：A例26．(2023·重庆八中高一期中）已知，，，则的最小值为（

）A．8 B． C．9 D．答案：C【解析】由题意得，，因，所以，结合对勾函数的性质得，在时取得最小值．故选：C．题型四：含类型例27．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16答案：A【解析】因为，所以．因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6．故选：A例28．(2023·全国·高一单元测试）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．例29．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22答案：C【解析】因为，，所以（当且仅当时，等号成立），所以的最小值是20．故选：C例30．(2023·天津·南开中学高一期中）若，，则的最小值为___________．答案：【解析】因为且，则两边同除以，得，又因为，当且仅当，即时等号成立，所以．故答案为：例31．(2023·云南丽江·高一期末）若正数a，b满足，则的最小值为___________．答案：9【解析】因为正数，满足，所以，则，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为．故答案为：．例32．(2023·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．答案：9【解析】正数，满足：，，当且仅当，即，时“”成立，故答案为：．例33．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】因为，所以．因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当即时取“＝”．故A，C，D错误．故选：B．例34．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知为正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为为正实数，所以所以当且仅当，即时，取等号，故的最小值为8．故选：C例35．(2023·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4答案：A【解析】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A例36．(2023·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（

）A．若，则函数的最大值为B．若，，则的最小值为C．若，，，则的最大值为D．若，，，则的最小值为答案：B【解析】对于A，若，则函数，当且仅当时等号成立，故A错误；对于B，若，，则，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，若，，，则由可得：，即，故C错误；对于D，若，，，则，当且仅当，即，时等号成立，故D错误．故选：B．例37．(2023·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由可知，，当，即时，“”成立，故选：A．例38．(2023·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设，为正数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】∵，∴，即，∴，当且仅当，且时，即，时等号成立．故选：．例39．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）已知，，，则的最小值为（

）．A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以，又，，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：C【过关测试】一、单选题1．(2023·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】设，可得圆的半径为，又由，在直角中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D．2．(2023·福建三明·高一期中）已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（

）A．， B．， C．， D．，答案：C【解析】，当且仅当，即，即时，等号成立故当，时，取最小值．故选：C3．(2023·浙江杭州·高一期末）若a，b，c均为正实数，则三个数，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2答案：D【解析】A．都不大于2，结论不一定成立，如时，三个数，，都大于2，所以选项A错误；B．都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如则，所以选项B错误；C．至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如时，三个数，，都大于2，所以选项C错误．由题意，∵a，b，c均为正实数，∴．当且仅当时，取“=”号，若，，，则结论不成立，∴，，至少有一个不小于2，所以选项D正确；故选：D．4．(2023·云南玉溪·高一期末）现有以下结论：①函数的最小值是；②若、且，则；③的最小值是；④函数的最小值为．其中，正确的有（

）个A． B． C． D．答案：B【解析】取，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误．【详解】对于①，当时，，①错误；对于②，若，且，说明，，则，当且仅当时取等号，显然成立，②正确；对于③，，当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为，所以，函数的最大值为，所以结论不正确，④错误．故选：B．5．(2023·河南·林州一中高一开学考试）已知，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】当时，，，所以CD选项错误．当时，，，所以B选项错误．，即当且仅当或时等号成立．则，，解得．故选：A6．(2023·甘肃兰州·高一期末）已知，，且，，，那么的最大值为（

）A． B． C．1 D．2答案：C【解析】根据题意，，，，则，当且仅当时等号成立，即的最大值为1．故选：7．(2023·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数，则的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．答案：C【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2，故选：C8．(2023·河南新乡·高一期末）已知，，且，则的最小值为（

）A．24 B．25 C．26 D．27答案：B【解析】因为，，且，所以，当且仅当，即，，等号成立．所以的最小值为25，故选：B二、多选题9．(2023·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（

）A．的最小值为2B．任意的正数，且，都有C．若正数、满足，则的最小值为3D．设、为实数，若，则的最大值为答案：BCD【解析】选项A：，当时，，当且仅当时有最小值．故A不正确．选项B：对于任意正数，，而，所以，当且仅当时取得最大值．所以，当且仅当时取得最大值．故B正确．选项C：对于正数，，所以所以当且仅当，即时取得最小值．故C正确．选项D：因所以，即所以，当且仅当时等号成立．故D正确．故选：BCD．10．(2023·福建·福州三中高一期末）已知，，且，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为答案：AB【解析】对于A：由，，，则，所以，解得，所以，所以当时，有最小值，故A正确．对于B：由，，，即，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值是，故B正确；对于C：由，，，则，所以，解得，所以，因为，所以，所以，所以，即