高考数学微专题集第02节三角函数与导数综合问题研究(原卷版+解析)

第02节三角函数与导数综合问题研究第二节三角函数与导数综合问题研究一、以函数零点作为解题突破口近几年的高考数学试题中频频出现导数与三角函数零点问题的内容，主要包括函数零点个数的确定，根据函数零点个数求参数范围，隐零点问题及零点存在性赋值理论，其形式逐渐多样化、综合化．我们知道，很多函数的解析式含有超越式，通过解方程的方式无法求解出其零点，但是通过观察可以发现其零点，此时往往可以把零点作为解决问题的突破口，使问题迎刃而解．例1已知函数恒成立，求实数a的取值范围．解：由题目已知条件结合特殊值赋值法，可令，则恒成立，设，则，所以函数在R上单调递增．又因为，所以．反之若，则：．．综上所述，．名师点评：本题中发现函数的零，点为1是一个关键点，从而可得到不等式成立的一个必要条件为；当然，在证明过程中还用到了切线不等式：，合理利用这两个不等式进行放缩．二、极值点第三充分条件高中数学中，关于极值点的定义不是很清晰，这是因为严格的极值的定义需要用到高等数学领域中极限等概念·众所周知，可导函数导数值为零仅仅是极值点的一个必要而非充分条件．为了避开极限等概念，高中数学判定极值点往往是先判断出函数在整个区间的单调性，再来确定极值．而当函数比较复杂或者含有参数时，这种方法就很烦琐．下面给出高等数学中的极值点第三充分条件，由于其证明需要用到高等数学知识，因而一般学生不必掌握，但对于学有余力的学生，可以尝试理解并记住结论加以应用．极值点第三充分条件：若函数在处有连续的n阶导数，且满足，但，则有：ⅰ）若n为奇数，不是函数的极值点；ⅱ）若n为偶数，是函数的极值点．例2已知函数，若存在，使得当时，有恒成立，求a的值．解：已知条件有，，，故有．因为存在，使得当时，有恒成立，且，显然不是的极值点，由极值点第三充分条件，必有．名师点评：这个定理给出了在前阶导数值均为0，第n阶导数不为0的情况下，判断极值点的方法．三、由泰勒展开公式作分析泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近，近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具．泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势．利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用．泰勒公式可以应用于求极限，判断函数极值，求高阶导数在某点的数值，判断广义积分收敛性，近似计算，不等式证明等方面．泰勒公式：设在含有的区间内有直到阶的连续导数，则可以按的方幂展开为此式称为按的幂展开的n阶泰勒公式．常见函数的泰勒展开式1．2．3．4．例31．已知函数，若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．名师点评：本例中函数是多项式函数，函数是三角函数，运用泰勒展开式公式，我们可以把函数转化为多项式函数，这样研究该函数更加方便，把自变量x定义在区间上，可以很容易得出函数在上恒成立的必要条件．事实上，本例中泰勒展开式为我们探寻参数m的分段点提供了重要参考．随着高考命题的深入开展，导数压轴题并没有走入桎梏，反而涌现出越来越多的经典题型，这极大丰富了数学教学素材，对培养学生的综合能力起到不可估量的作用．近几年兴起的与三角函数交汇的导数压轴题可谓丰富多彩，常考常新，新高考改革政策的全面落实，目的就是为了培养个性化能力水平强的人才，这需要教师突破各种局限迎接各种挑战，突破传统的育人模式．改革将促进学生健康成长，让每个学生的学习欲望得到全面激发，有利于促进每一个学生终身发展，有利于更好地科学选拔各类人才，有利于更好地维护社会公平．正所谓“会当凌绝顶，一览众山小”，如果我们站在高等数学知识的高度，就可以轻松地看透问题的本质，不会让学生认为高考压轴题有一种“难于天际”的感觉．当然，以上解法可能或多或少超越教学大纲，但毕竞方法通透简洁，还是有一定可取之处！第02节三角函数与导数综合问题研究第二节三角函数与导数综合问题研究一、以函数零点作为解题突破口近几年的高考数学试题中频频出现导数与三角函数零点问题的内容，主要包括函数零点个数的确定，根据函数零点个数求参数范围，隐零点问题及零点存在性赋值理论，其形式逐渐多样化、综合化．我们知道，很多函数的解析式含有超越式，通过解方程的方式无法求解出其零点，但是通过观察可以发现其零点，此时往往可以把零点作为解决问题的突破口，使问题迎刃而解．例1已知函数恒成立，求实数a的取值范围．解：由题目已知条件结合特殊值赋值法，可令，则恒成立，设，则，所以函数在R上单调递增．又因为，所以．反之若，则：．．综上所述，．名师点评：本题中发现函数的零，点为1是一个关键点，从而可得到不等式成立的一个必要条件为；当然，在证明过程中还用到了切线不等式：，合理利用这两个不等式进行放缩．二、极值点第三充分条件高中数学中，关于极值点的定义不是很清晰，这是因为严格的极值的定义需要用到高等数学领域中极限等概念·众所周知，可导函数导数值为零仅仅是极值点的一个必要而非充分条件．为了避开极限等概念，高中数学判定极值点往往是先判断出函数在整个区间的单调性，再来确定极值．而当函数比较复杂或者含有参数时，这种方法就很烦琐．下面给出高等数学中的极值点第三充分条件，由于其证明需要用到高等数学知识，因而一般学生不必掌握，但对于学有余力的学生，可以尝试理解并记住结论加以应用．极值点第三充分条件：若函数在处有连续的n阶导数，且满足，但，则有：ⅰ）若n为奇数，不是函数的极值点；ⅱ）若n为偶数，是函数的极值点．例2已知函数，若存在，使得当时，有恒成立，求a的值．解：已知条件有，，，故有．因为存在，使得当时，有恒成立，且，显然不是的极值点，由极值点第三充分条件，必有．名师点评：这个定理给出了在前阶导数值均为0，第n阶导数不为0的情况下，判断极值点的方法．三、由泰勒展开公式作分析泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近，近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具．泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势．利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用．泰勒公式可以应用于求极限，判断函数极值，求高阶导数在某点的数值，判断广义积分收敛性，近似计算，不等式证明等方面．泰勒公式：设在含有的区间内有直到阶的连续导数，则可以按的方幂展开为此式称为按的幂展开的n阶泰勒公式．常见函数的泰勒展开式1．2．3．4．例31．已知函数，若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．名师点评：本例中函数是多项式函数，函数是三角函数，运用泰勒展开式公式，我们可以把函数转化为多项式函数，这样研究该函数更加方便，把自变量x定义在区间上，可以很容易得出函数在上恒成立的必要条件．事实上，本例中泰勒展开式为我们探寻参数m的分段点提供了重要参考．随着高考命题的深入开展，导数压轴题并没有走入桎梏，反而涌现出越来越多的经典题型，这极大丰富了数学教学素材，对培养学生的综合能力起到不可估量的作用．近几年兴起的与三角函数交汇的导数压轴题可谓丰富多彩，常考常新，新高考改革政策的全面落实，目的就是为了培养个性化能力水平强的人才，这需要教师突破各种局限迎接各种挑战，突破传统的育人模式．改革将促进学生健康成长，让每个学生的学习欲望得到全面激发，有利于促进每一个学生终身发展，有利于更好地科学选拔各类人才，有利于更好地维护社会公平．正所谓“会当凌绝顶，一览众山小”，如果我们站在高等数学知识的高度，就可以轻松地看透问题的本质，不会让学生认为高考压轴题有一种“难于天际”的感觉．当然，以上解法可能或多或少超越教学大纲，但毕竞方法通透简洁，还是有一定可取之处！参考答案：1．．分析：先求导得，借助进行放缩得到，从而得到时符合题意；时，取，说明不合题意；时，把导数构造成新的函数，先求得导数的单调性，再说明在上单减，，不合题意，即可求解.【详解】，令，，令，则，所以在上单增，，所以在上