弦切角的性质25与圆有关的比例线段

2.4弦切角的性质观察在图（１）中，根据圆内接四边形性质，有∠ＢＣＥ＝∠Ａ．在图（２）中，ＤＥ是切线时，∠ＢＣＥ＝∠Ａ仍成立吗？ＤＤＡＢＣＥ（１）（２）ＡＢＥＤ（Ｃ）猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE=∠A.分析：延用从特殊到一般的思路。先分析△ABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。OＡＢＥCOＡＢＥCOＡＢＥC(1)圆心O在△ABC的边BC上证明:即△ABC为直角三角形ABOCE∵CE为切线，∴∠BCE＝90°又∵∠A是半圆上的圆周角，∴∠A＝90°∴∠BCE＝∠A(2)圆心0在△ABC的内部作⊙O的直径CP,那么

OＡＢＥCP∠PCE=∠PAC=90°∵∠BCE=∠PCE-∠PCB=90°-∠PCB.

∠BAC=∠PAC-∠PAB=90°-∠PAB.而∠PAB=∠PCB∴∠BCE=∠BAC(3)圆心0在△ABC的外部,作⊙O的直径CP,那么

OＡＢＥCP∠PCE=∠PAC=90°∵∠BCE=∠PCE+∠PCB=90°+∠PCB.

∠BAC=∠PAC+∠PAB=90°+∠PAB.而∠PAB=∠PCB∴∠BCE=∠BAC综上所述，猜想成立。AAAAABBBBBCCCCC下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？××××√1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。几何语言:

BA切⊙O于AAC是圆O的弦ＡＢＣＯ2.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。D∠BAC=∠ADCm例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,

直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D.

求证:AC平分∠BAD.OABCDE12思路一:思路二:连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得∠1=∠2OABCDE312弦切角-------顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角。

一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们所夹的（或所对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质求解。弦切角定理:

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.小结注意：2.5与圆有关的比例线段探究1:AB是直径,CD⊥AB交点P.线段PA,PB,PC,PD之间有何关系?CABPDOACBPDOACBPDOPA·PB=PC·PD1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。A(C.P)BD探究2:把两条相交弦的交点P从圆内运动到圆上.再到圆外，结论是否还能成立?PA·PB=PC·PDP在圆外:易证△PAD∽△PCB故PA·PB=PC·PDP在圆上:PA=PC=0,仍有PA·PB=PC·PDAPCBDPAC

2.割线定理

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.A(B)PODCPA·PB=PC·PD探究3:使割线PB绕P点运动到切线的位置,是否还能成立?APBODCA(B)PODC连接AC,AD易证△PAC∽△PDA

上式可变形为PA²=PC·PD3.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.故PA·PB=PC·PD仍成立因为A,B重合，探究4:使割线PD绕P点运动到切线的位置,可以得出什么结论?A(B)PODC易证Rt△OAP≌Rt△OCP.PA=PC4.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.A(B)POC(D)PA²=PC·PD思考:1.由切割线定理能证明切线长定理吗?如图由P向圆任作一条割线EF试试.A(B)POC(D)EF思考:2.你能将切线长定理推广到空间的情形吗?O

例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点P,已知PA=PB=4.PC=PD,求CD的长.CDABP解:设CD=x,则PD=,PC=由相交弦定理,得PA•PB=PC•PD∴4×4=•求得x=10,∴CD=10

例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.

求证:(1)△DFE∽△EFA;

(2)EF=FG

ABCOFGED321△DFE∽△EFAEF²=FA•FD又GF²=FA•FDGF²=EF²EF=FG

例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD.

求证:PC=PDPABDC析：PC²=PA•PB又PD²=PA•PBPC²=PD²PC=PD例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C,求证:AC•AD+BC•BE=AB².ABDECOF分析:A,F,C.E四点共圆BC•BE=BF•BA.F,B,D,C四点共圆AC•AD=AF•AB.AC•AD+BC•BE=AF•AB+BF•BA=AB(AF+BF)=AB²例5.如图,AB,AC是⊙O的切线,ADE是⊙O的割线,连接CD,BD,BE,CE.

B

A

E

C

O

D问题1

由上述条件能推出哪些结论?探究1:∠ACD=∠AEC△ADC∽△ACE

⑴CD•AE=AC•CE

⑵同理

BD•AE=AB•BE

⑶因为AC=AB,由⑵⑶可得

BE•CD=BD•CE

⑷图⑴探究2:

猜想并可证明问题2

在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些结论?

B

A

E

C

O

D图⑴

B

A

E

C

O

D

F

G图⑵△ADC∽△ACE

⑸同样可得⑵⑶⑷证明如下:

B

A

E

C

O

D

F

G图⑵∵AB²=AD•AE,而AB=AC,∴AC²=AD•AE,即∵∠CAD=∠EAC,(对应边成比例且夹角相等).∴

△ADC∽△ACE⑸

另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆∴∠CFG=∠AEC,又∵∠ACF=∠AEC,∴∠CFG=∠ACF,∴FG//AC⑹

B

A

E

C

O

D

F

G图⑵问题3

在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪些结论?

B

A

E

C

O

D

F

G图⑶

P探究3:

可以推出（1）~（6）的所有结论。

B

A

E

C

O

D

Q

G图⑶P此外∵AC//DG.∴AD•CE=AE•CG⑺∵

△ACD∽△AEC∴AC•CD=AD•CE⑻由⑺⑻可得：AC•CD=AE•CG

⑼连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则∠PCQ=∠PGD=∠DBE,故C,E,B,Q四点共圆

⑽习题2.55.如图,⊙O与⊙O´相交与点A,B.PQ是⊙O的切线,求证:PN²=NM•NQQNPO´OABM6.如图,PA是⊙O的切线,M是PA的中点,求证:∠MPB=∠MCP∵MA²=MB•MC=PM²∴△MBP∽△PMC∴∠MPB=∠MCPAPCBMO思路：习题2.5习题2.57.如图,AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H是垂心,AD延长线交△ABC外接圆于点G,

求证:DH=DGACEGBFHD132AECDPBFO习题2.58.如图,⊙O直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P,AE=AC.求证:PF•PO=PA•PB⌒⌒12△POC∽△PDFPF•PO=PD•PC又PD•PC=PB•PAPF•PO=PB•PA思路：习题2.5

9.将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,能推出哪些结论?如果∠BAD=∠CAD,又有什么结论?

B

A

E

C

O

D图⑴

B

A

EC

O

DFG习题2.59题将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,你能推出哪些结论?如果∠BAD=∠CAD,又有什么结论?

B

A

EC

O

DFGAB²=AD•AE①CF•CE=CD•CG②∴AC²=AD•AE∵AC=AB∵∠CAD=∠EAC,∴

△ADC∽△ACE

∴∠ACD=∠AEC=∠G∴

AC//FG③

如果∠BAD=∠CAD,如图,

B

A

EC

DFG2134

∵△ABD∽△ACD(?)

=∴

BD=CD

④∴∠ABD=∠ACD∵∠ACD=∠1∠ABD=∠2∴∠1=∠2

⑤∴BD=FD⑥⌒⌒