2024春七年级数学下册培优专项3.2完全平方公式综合高分必刷含解析新版浙教版

Page10专项3.2完全平方公式综合高分必刷1．（东城区校级期末）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的绽开状况如下所示：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5视察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个奇异的“图”，他揭示了（a+b）n绽开后各项系数的状况，被后人称为“杨辉三角”．依据图，你认为（a+b）9绽开式中全部项系数的和应当是（）A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】C【解答】解：当n＝0时绽开式全部系数的和为1＝20．当n＝1时绽开式全部系数的和为2＝21．当n＝2时绽开式全部系数的和为22．当n＝3时绽开式全部系数的和为8＝23．当n＝4时绽开式全部系数的和为16＝24．当n＝5时绽开式全部系数的和为32＝25．……∴当n＝9时绽开式全部系数的和为29＝512．故选：C．2．（滨州三模）我国南宋数学家杨辉用三角形说明二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的绽开式的系规律（按a的次数由大到小的依次）．请依据规律，写出（x+1）2024的绽开式中含x2024项的系数是．【答案】2024【解答】解：∵（a+b）1绽开式中的其次项系数为1，（a+b）2绽开式中的其次项系数为2，（a+b）3绽开式中的其次项系数为3，（a+b）4绽开式中的其次项系数为4，∴（a+b）n绽开式中的其次项系数为n，由图中规律可知：含x2024的项是（x+1）2024的绽开式中的其次项，∴（x+1）2024的绽开式中的其次项系数为2024，故答案为：2024．3．（钦州期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．4．（和平区校级月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）绽开式的项数及各项系数的相关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；依据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）5绽开式共有项，系数和为．（2）求（2a﹣1）5的绽开式；（3）利用表中规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）；（4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为．【解答】解：（1）依据图表中的规律，可得：（a+b）5绽开式共有6项，系数和为1+5+10+10+5+1＝32，故答案为：6，32；（2）（2a﹣1）5＝25a5+5×24a4（﹣1）+10×23a3（﹣1）2+10×22a2（﹣1）3+5×2a（﹣1）4+（﹣1）5＝32a5﹣80a4+80a3﹣40a2+10a﹣1；（3）依据图表中数据的规律可以发觉：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，∴25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝1；（4）∵（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，∴当x＝1时，（1+1）17＝a0+a1+a2+a3+…+a16+a17，当x＝0时，（0+1）17＝a0＝1，∴217＝1+a1+a2+a3+…+a16+a17，∴a1+a2+a3+…+a16+a17的值为217﹣1．故答案为：217﹣1．5．（黄石期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．6．（兰考县期末）已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与xy的值．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49②，∴①+②得：2（x2+y2）＝50，即x2+y2＝25；①﹣②得：4xy＝﹣48，即xy＝﹣12．7．（盐池县期末）回答下列问题（1）填空：x2+＝（x+）2﹣＝（x﹣）2+（2）若a+＝5，则a2+＝；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．【解答】解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a＝0时方程不成立，∴a≠0，∵a2﹣3a+1＝0两边同除a得：a﹣3+＝0，移项得：a+＝3，∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．8．（于都县模拟）我国古代数学的许多发觉都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的绽开式（按a的次数由大到小的依次排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2绽开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3绽开式中的系数等等．（1）依据上面的规律，写出（a+b）5的绽开式．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．【解答】解：（1）如图，则（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5．＝（2﹣1）5，＝1．9.（南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①；方法②；（3）视察图2，干脆写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）依据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）由拼图可知，图②中阴影部分的边长为m﹣n，故答案为：m﹣n；（2）阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，阴影部分的面积可以看作从边长为m+n的正方形面积中减去4个长为m，宽n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）中两种方法所表示的图形的面积相等，可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）∵a+b＝8，ab＝5，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣20＝4410.（双流区校级期中）著x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）（n﹣2024）2+（n﹣2024）2＝11，求（n﹣2024）（2024﹣n）；（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝2，CF＝6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）设7﹣x＝a，x﹣4＝b，则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝7﹣x+x﹣4＝3，∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）设n﹣2024＝a，n﹣2024＝b，则（n﹣2024）2+（n﹣2024）2＝a2+b2＝11，a﹣b＝（n﹣2024）﹣（n﹣2024）＝1，（n﹣2024）（2024﹣n）＝﹣（n﹣2024）（n﹣2024）＝﹣ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）]＝＝﹣5；（3）依据题意可得，MF＝x﹣2，FD＝x﹣6，（x﹣2）（x﹣6）＝192，设x﹣2＝a，x﹣6＝b，则（x﹣2）（x﹣6）＝ab＝192，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4，S阴＝（x﹣2）2﹣（x﹣6）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）＝×4＝28×4＝112．阴影部分的面积为112．11．（新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形态拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）视察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝24，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积．【解答】解：（1）依据题意可得，阴影部分的正方形的周长为4（a﹣b）；（2）依据题意可得，（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab；（3）设AC＝a，BC＝b，则a+b＝8，a²+b²＝24，依据题意可得，S阴＝ab＝[（a+b）²﹣（a²+b²）]＝×（82﹣24）＝10．12．（上蔡县校级月考）（1）试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积，从中你有什么发觉，请用等式表示出来；（2）利用你发觉的结论，解决下列问题：①如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a+b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．②已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；③若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是．【解答】解：（1）依据题意可得，方法一：S阴＝a2+b2，方法二：S阴＝（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；（2）①依据题意可得，S阴＝a2+b2﹣（a+b）b﹣a2＝（a2﹣ab+b2），∵a+b＝ab＝9，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝92﹣2×9＝63，∴S阴＝×（63﹣9）＝27；②（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝57+4×6＝81，∴2a+b＝±9；③设20﹣x＝a，x﹣30＝b，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝﹣10；∴（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．故答案为：80．13．（顺德区校级期中）如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下：方法①：.方法②：.请你从小明的两种求面积的方法中，干脆写出含有字母a，b代数式的等式是：．（2）依据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2024）2+（x﹣2024）2＝12，求（x﹣2024）2的值．【解答】解：（1）方法①，通过平移两条路，草坪可看作边长为（a﹣b）米的正方形，因此面积为（a﹣b）2（平方米），方法②，从大正方形面积里减去两条路的面积，即（a2﹣ab﹣ab+b2）平方米，也就是（a2﹣2ab+b2）平方米，所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2，a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）①∵a﹣b＝5，∴a2﹣2ab+b2＝25，又∵a2+b2＝20，∴ab＝﹣；②设x﹣2024＝m，x﹣2024＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝（x﹣2024）2+（x﹣2024）2＝12，∴m2﹣2mn+n2＝4，即12﹣2mn＝4，∴mn＝4，∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝4+16＝20，∴（x﹣2024）2＝（）2＝＝＝5，答：（x﹣2024）2的值为5．14．（高青县期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）依据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论求a2+b2+c2的值．【解答】解：（1）图2整体是边长为a+b+c的正方形，因此面积为（a+b+c）2，图2也可以看作9个