2025版高考数学一轮总复习考点突破第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系考点2直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系1.(2024·广东佛山七校联考)曲线C：x＝eq\r(－y2－2y)与直线l：x－y－m＝0有两个交点，则实数m的取值范围是(B)A．－eq\r(2)－1<m<1＋eq\r(2) B．2≤m<1＋eq\r(2)C．－1－eq\r(2)<m≤－2 D．－2≤m≤2[解析]由x＝eq\r(－y2－2y)可知x≥0，得到x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，x≥0，作出曲线C：x＝eq\r(－y2－2y)的图形如下：当直线l：x－y－m＝0经过点A(0，－2)时，直线与曲线有两个交点，此时2－m＝0，解得m＝2；当直线与曲线相切时，圆心(0，－1)到直线x－y－m＝0的距离d＝eq\f(|1－m|,\r(1＋1))＝eq\f(|1－m|,\r(2))＝1，解得m＝eq\r(2)＋1或m＝－eq\r(2)＋1；因为直线x－y－m＝0可化为y＝x－m，由截距－m<0得m>0，则m＝eq\r(2)＋1，此时直线与曲线只有一个交点；故满足条件的实数m的取值范围为2≤m<1＋eq\r(2).故选B.2．(2024·四川资阳、遂宁等七市联考)圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋eq\r(2)＝0的距离为1的点共有(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个[解析]圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0即(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(－1,1)，半径为r＝2.又C到直线l的距离为d＝eq\f(|－1＋1＋\r(2)|,\r(2))＝1，∴⊙C上到直线l距离为1的点有3个，故选C.[引申1]若本例1中曲线C与直线m：kx－y－2k＝0只有一个公共点，则k的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤k<1或k＝\f(4,3))))).[解析]当直线m与曲线C相切时eq\f(|1－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或eq\f(4,3)，又直线过点(0，－2)时k＝1，由图可知k的取值范围是0≤k<1或k＝eq\f(4,3).[引申2]本例2中，若圆与直线m：x＋y＋c＝0相交，则c的取值范围为(－2eq\r(2)，2eq\r(2))；若圆上到直线m距离为1的点有2个，则c的取值范围为(－3eq\r(2)，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，3eq\r(2))；若圆上到直线m距离为1的点有4个，则c的取值范围为(－eq\r(2)，eq\r(2)).[解析]圆与直线l相交⇔eq\f(|－1＋1＋c|,\r(2))<2⇔－2eq\r(2)<c<2eq\r(2).圆上到直线l距离为1的点有2个⇔1<eq\f(|－1＋1＋c|,\r(2))<3⇔－3eq\r(2)<c<－eq\r(2)或eq\r(2)<c<3eq\r(2).圆上到直线l距离为1的点有4个⇔eq\f(|c|,\r(2))<1⇔－eq\r(2)<c<eq\r(2).名师点拨：推断直线与圆的位置关系的常见方法1．几何法：利用d与r的关系．2．代数法：联立方程之后利用Δ推断．3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可推断直线与圆相交．4．推断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小．【变式训练】1．(多选题)已知直线l：mx＋(m＋1)y－5m－3＝0(m∈R)与圆O1：x2－6x＋y2－8y＋16＝0，则下列结论正确的有(AB)A．直线l过定点(2,3) B．相交C．相切 D．相离[解析]直线l的方程可化为m(x＋y－5)＋y－3＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0，,y－3＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))(或将直线l的方程化为y－3＝－eq\f(m,m＋1)(x－2))．∴直线l过定点(2,3)，A正确；将x＝2，y＝3代入x2－6x＋y2－8y＋16＝－7<0，∴定点在圆内，直线与圆相交，B正确；C、D错误．故选AB.2．(多选题)(2024·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(ABD)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切[解析]∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq\f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＝r，∴直线与圆C相切，故A正确；∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq\f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＞r，∴直线与圆C相离，故B正确；∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq\f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＜r，∴直线与圆C相交，