四川省荥经中学2023-2024学年高一下学期期末 数学模拟试卷【含答案】

四川省荥经中学2023-2024学年高一下学期期末数学模拟试卷考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（

）A． B． C． D．3．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（

）A． B． C． D．4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m//α，n//β，α//β，则m//nB．若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//nC．若n//α，n//β，则α//βD．若m//n，n⊂α，则m//α5．如图所示，是直角三角形，，，点是斜边的中点，点是线段靠近点的三等分点，则（

）A．0 B． C． D．6．已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（

）A．， B．，C．， D．，7．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．8．如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（

）A．招商引资后，工资净收入较前一年增加B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍10．已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A．的图象关于直线对称B．的图像关于点对称C．在区间上的值域为D．方程有7个不相等的实数根11．在中，，则下列结论正确的是（

）A．若，则边上的中线长B．若，则C．若，则面积的最大值为2D．若，则面积的最大值为三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）12．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是．

13．已知两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为．14．如图，在直角梯形中，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为.

四．解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15．已知函数，.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数在上的最小值及相应自变量的值.16．5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数.17．如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证：(1)平面；(2)平面平面.18．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，D为BC边上的动点．(1)若D为BC的中点，，，求边BC；(2)若AD平分∠BAC，，，求△ABC的面积．19．已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值1．C【分析】根据复数除法运算可求得，根据对应点的坐标可得结果.【详解】，对应的点为，位于第三象限.故选：C.2．D【分析】由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果.【详解】，.故选：D.3．D【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可.【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，则该几何体的表面积为.故选：D.4．B【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判断A；直接证明B正确；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断C；由直线与直线平行分析直线与平面的关系判断D．【详解】对于A，若m//α，n//β，α//β，则m//n或m与n相交或m与n异面，故A错误；对于B，若m//α，则在平面α内存在不同于n的直线l，使得l//m，则l//β，从而l//n，故m//n，故B正确；对于C，若n//α，n//β，则α//β或α与β相交，故C错误；对于D，若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，故D错误．故选：B．5．C【分析】用、作为一组基底表示、，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】依题意，，，所以，所以.故选：C6．C【分析】根据平均数和方差的性质得到答案.【详解】已知样本数据的平均数为，方差为，记数据的平均数为，方差为，则，，由题意可得，.故选：C7．C【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.8．B【分析】根据二面角的大小可得长度关系，利用线线平行得异面直线所成角，根据余弦定理即可求解.【详解】取中点为连接，由于和均为等边三角形，所以故为二面角的平面角，即，由于为等边三角形，故，进而,又,由余弦定理可得,由于,所以即为直线与所成角或其补角，所以直线与所成角的余弦值为，故选：B

9．AD【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资净收入增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选：AD.10．BD【分析】先根据图象求出函数的解析式，进而根据三角函数的图象及性质可判断ABC选项；对于D选项，将问题转化为函数和的交点问题，结合图象求解即可.【详解】由图可知，，又，故，因为，所以，此时，又，即，即，，即，，又，所以，所以.对于A，当时，，不是最值，故A错误；对于B，当时，则，故B正确；对于C，当时，，所以，即，故C错误；对于D，由，即，画出函数和，令，，即，，所以函数的对称轴为，，且当，时，，当，时，，所以大致图象如下：

由图象可知函数和有7个交点，所以方程有7个不相等的实数根，故D正确.故选：BD.11．ABD【分析】利用向量的线性运算及数量积的运算律即可得到边角关系，可判断A、B，利用同角三角函数基本关系及余弦定理，结合基本不等式求解面积最值判断C，利用余弦定理及面积公式建立面积函数，利用二次函数求解最值判断D.【详解】对于选项A，设为中点，则，，所以，解得，正确；对于选项B，因为，所以，所以，即，正确；对于选项C，由于，所以，由余弦定理可知，故，当且仅当时，等号成立，所以，此时面积的最大值为3，所以错误；对于选项，设，则，由余弦定理，则，故，当且仅当即时，等号成立，正确.故选：ABD12．40【分析】根据斜二测画法还原原图形，求出其面积.【详解】根据题意，原图形如下图：

的底边AB的长为5，高为16，其面积为.故答案为：4013．【分析】先求得与夹角的余弦值，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量即可．【详解】设与的夹角为，则，所以在上的投影向量为.故答案为：.14．【分析】外接球的球心为，半径为为中点，为中点，由二面角的定义可得为二面角的平面角，所以有，作于，由题意可求得，进而可得，即可得答案.【详解】解：如图，设外接球的球心为，半径为为中点，为中点，因为，所以，∥，又因为，，所以，所以,,所以，，所以为二面角的平面角，所以，作于，因为，，，所以平面，又因为平面，所以，又因为，,则平面，所以∥，则有，即，

由题意可求得：，设，由题上式可得：，求得：，从而求得：，故三棱锥外接球的表面积为.故答案为：15．(1)函数的最小正周期，单调递减区间为，.(2)最小值为，相应的.【分析】（1）化简，根据余弦函数的最小正周期公式和单调递减区间可得结果；（2）根据余弦函数的图象可求出结果.【详解】（1），函数的最小正周期.由，，得，，所以的单调递减区间为，.（2）当时，，所以当，即时，取得最小值.16．(1)，样本中女员工BMI值的70%分位数为，(2)【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1可求出a的值，再根据百分位数的定义求解70%分位数；（2）先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员式BMI值的平均数即可.【详解】（1）由题意得，解得，因为，，所以分位数在，设分位数为，则，解得，所以样本中女员工BMI值的70%分位数为，

（2）由题意得，样本中女员工BMI值的平均数为，所以估计该公司员工BMI值的平均数为17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取线段的中点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论；（2）由线面垂直性质和勾股定理可分别证得，，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论.【详解】（1）取线段的中点，连接，分别为中点，，，又，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）平面，平面，；设，则，，，，，，，；，平面，平面，平面，平面平面.18．(1)(2)．【分析】（1）由已知可得，进而可求，进而得，两边平方结合已知可求，再结合余弦定理可求得；（2）设，由角平分线可求得，利用角平分线可得，可求，进而结合余弦定理，可求三角形的面积.【详解】（1）因为，所以，所以，，所以，所以，∵为的中点，∴，平方得又，，，由余弦定理得：，∴；（2）设，∵平分，∴，又，得，∵平分，则，所以，解得，则，，在中，，则，所以．19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证明；（2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理.再利用线面角的定义及勾股定理，结合同角三角函数基本关系求解即可；（3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用面面角的定义及勾股定理，结合等面积法及三角函数定义即可求解.【详解】（1）因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以.取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面.（2）过点作，垂足为．如图所示，由（1）知平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面.，因为平面，所以，，，平面，