上海市新川中学2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试卷【含答案】

新川中学2023学年度第二学期期末考试高一数学试卷（完卷时间90分钟，满分100分）一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1．复数的虚部是.2．已知点在角的终边上，则.3．若复数满足（其中i是虚数单位），则.4．若点，，则向量的坐标是．5．函数的最小正周期为6．已知向量，，则在方向上的数量投影为.7．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则.8．已知、均为单位向量，且，则.9．如图，已知点平面，点，直线，点且，则“直线直线”是“直线直线”的条件（请填写“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要”）10．对于空间中的点，直线，平面，有以下五个命题，真命题的有．（填上全部真命题的序号）（1）三点确定一个平面（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（3）若是异面直线，则一定存在平面过且与平行；（4）三条直线两两相交则这三条直线共面（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；11．已知函数，则当时，函数的值域为．12．已知是单位向量，向量满足.若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是.二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）13．已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（

）A．、 B．、 C．、 D．、14．已知为复数，则下列命题不正确的个数是（

）．（1）若，则为实数；（2）若，则为纯虚数；（3）若，则A．0 B．1 C．2 D．315．的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（

）A． B． C． D．16．过平面外一点引斜线段、以及垂线段，若与所成角是，，，则线段长的取值范围是（

）A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）17．设为关于的方程的虚根，为虚数单位.（1）当时，求的值；（2）在（1）的条件下，若，，求的取值范围.18．如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点.(1)证明：四点共面；(2)求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）19．如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，．(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成的角的大小．20．在中，角、、的对边分别为、、.设向量，，且.(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长.21．如图，已知是边长为2的正三角形，点是边的四等分点．(1)求的值；(2)若为线段上一点，且，求实数的值；(3)若为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置．

1．【分析】利用复数的相关概念即可得解.【详解】由复数虚部的概念，易知复数的虚部为.故答案为：.2．【分析】根据三角函数的定义直接求解.【详解】已知点在角的终边上，所以故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．【分析】由已知求得，再由共轭复数的概念求得．【详解】由，得，，则．故答案为：．4．【分析】由向量的坐标运算得到结果.【详解】点，，则向量的坐标是.故答案为：.5．【详解】试题分析：因为，所以其最小正周期是考点：三角函数周期6．2【分析】求出两向量的数量积，根据数量投影的意义即可求得答案.【详解】由题意向量，，得向量，，故在方向上的数量投影为，故答案为：27．【详解】试题分析：由坐标系可知考点：复数运算8．【分析】根据向量垂直时数量积等于0，可求得，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由已知、均为单位向量，且，可得，即，即，故，由于，故，故答案为：9．充要【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可.【详解】因为所以当直线直线时，面则又所以直线直线故“直线直线”是“直线直线”的充分条件，当直线直线又故直线面又面故直线直线.故“直线直线”是“直线直线”的必要条件.故答案为：充要10．（3）（5）【分析】由空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系对选项逐一判断可得结论.【详解】对于（1）：不共线的三点确定一个平面，故（1）错误；对于（2）：由正方体模型可知垂直于同一直线的两条直线可能互相平行，可能相交，可能异面；故（2）错误；对于（3）：若是异面直线，在直线上任选一点，过点作直线，则可知且，所以过与有唯一平面，且，所以是异面直线，一定存在平面过且与平行；故（3）正确；对于（4）：由正方体同一顶点处的三条直线同知，三条直线两两相交则这三条直线共面错误，故（4）错误；对于（5）：由线面平行的性质可知如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，故（5）正确.故答案为：（3）（5）.11．【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式得到，利用整体思想得到的值域.【详解】，，，，，故的值域为.故答案为：.12．【分析】结合题目条件，设，，则不等式对任意实数都成立，可转化为，由此求出，即可得到的取值范围.【详解】不妨设，由，可设，则对任意实数，有，等价于,解得，所以，于是.故答案为：13．D【分析】验证四个选项中的两向量是否共线，从而得到答案.【详解】A选项，、是平面向量的一组基底，故、为不共线的非零向量，设，故，无解，故、为不共线的非零向量，故可以作为一组基底，A错误；B选项，设，解得，无解，故、为不共线的非零向量，B错误；C选项，设，故，无解，故，为不共线的非零向量，C错误；D选项，，故、共线，故不能作为基底，D正确.故选：D14．C【分析】设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定每个命题，得到答案.【详解】由题意，设复数，对于（1）中，由，即，解得，所以复数为实数，所以（1）正确；对于（2）中，若，可得，所以且，所以，所以为纯虚数，所以（2）是正确的；对于（3）中，若，可得，所以或，解得或或，故（3）错误.故选：C.15．B【分析】由余弦定理的推论求得，求解即可.【详解】因为，所以，即，所以，因为，所以，故选：B16．C【分析】画出已知图形，可得出是以为斜边的直角三角形，求出的长度，则线段长的范围即可求出.【详解】如下图所示：

，，.又，，、平面，平面.平面，，在中，，，.在平面内，要使得是以为斜边的直角三角形，则，即，因此，线段长的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17．（1）；（2）【分析】（1）将代入方程，并根据复数相等时实部、虚部对应相等计算的值；（2）根据复数模的计算公式：，的值已知，再根据不等式即可求解出的取值范围.【详解】（1）将代入方程可得：，所以，所以有：，解得；（2）因为，所以，所以，则，解得：，所以：.【点睛】本题考查实系数方程的解以及复数的模长计算，难度较易.（1）已知实系数方程的虚根，求解方程中参数的方法：将虚根代入方程，利用复数相等计算参数值；（2）复数的模长计算：已知复数，则.18．(1)见解析(2)【分析】（1）由已知可证明和，即可证明，进而得出结果；（2），所以即等于异面直线与MN所成角，在中，求出各边长，用余弦定理即可求出.【详解】（1）证明：如图1，连结、、.由已知可得，，，所以四边形为平行四边形，则.又M、N分别是、的中点，所以，且，所以，且.所以M、N、、B四点共面.（2）如图2，连结、、.因为平面，平面，所以.因为，是的中点，所以.又，所以.同理.在中，.又，在中，有，，，由余弦定理可得，.又，所以异面直线与所成角的大小即等于直线与所成角的大小，即等于.19．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得.（2）利用线面角的定义求解即得.【详解】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得，由正方形，得，而平面，所以直线平面.（2）令，连接，由（1）知，直线平面，则是直线与平面所成的角，显然，而平面，即有，则，所以直线与平面所成的角的大小.20．(1)(2)【分析】（1）由题，得，利用正弦定理以及和差公式，诱导公式，逐步化简，即可求解；（2）由题目条件，结合余弦定理和面积公式，得，，然后两式相加即可求得本题答案.【详解】（1）由于，故，利用正弦定理，有，又，故，由于为三角形内角，故，因此，进而；（2）由（1）知，由余弦定理知，即.由知，即.将上面两式相加得，故，因此的周长为.21．(1)6(2)(3)【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可；（