上海市静安区2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研 数学试题【含答案】

静安区2023学年第二学期教学质量调研高一数学试卷考生注意：1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1~5题每题3分，6~10题每题4分）1．已知向量，则．2．若复数满足（为虚数单位），则．3．已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则．4．已知角的终边经过点，则．5．已知向量，且，则实数．6．已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是．7．在中，若，则8．设是正实数，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图象，则的最大值．9．已知角的终边经过点，则．10．函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则．二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分）11．已知，则角的终边所在的象限为第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四12．已知函数，且，则（

）A．11 B．14 C．17 D．2013．若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分53分）14．已知一元二次方程．(1)在复数范围内解该方程；(2)设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示）15．设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求．16．化简下列各式：(1)；(2)．17．已知函数．(1)某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下：00100000请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间；(2)将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围．18．在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：1．通过路口的车辆长度都相等；2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．一名建模爱好者收集数据整理如下：1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；3．前后车启动延迟时间记为，取；4．第辆车启动延迟时间为；5．该十字路口限速，换算为；6．第辆车到达最高限速的时间为取．设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：(1)求；（结果保留一位小数，单位：）(2)对于第辆车，写出函数的分段表达式；(3)求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．

1．【分析】根据向量数量积的坐标形式可求的值.【详解】，故，故答案为：.2．【分析】利用复数的除法可求，求出后可求.【详解】，故，故，故答案为：.3．3【分析】根据等比数列通项公式以及题意即可求解.【详解】由题意可知，故，所以.故答案为：3.4．##0.28【分析】根据三角函数定义以及余弦倍角公式即可计算求解.【详解】由题得，故由三角函数定义得，所以.故答案为：.5．2【分析】根据坐标形式的向量加法规则求出，再利用向量共线的坐标表示直接计算即可.【详解】由题，又，故，.故答案为：.6．【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标.【详解】设，则，故，即，解得，故点的坐标为.故答案为：.7．【分析】根据正弦定理可知，设，利用余弦定理即可求出．【详解】由正弦定理，且，则，设，由余弦定理，可得.故答案为：.8．【分析】根据函数的概念求的最大值.【详解】如图：函数在第一象限的射线的倾斜角为，图象关于轴对称，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，当时，所得图象与垂直于的直线还是只有1个交点，所以仍然是函数的图象；当时，旋转所得的图象是一段为，一段是轴的正半轴（包括原点），不是函数图象；当时，如图所示，则图形不是函数的图象.又，故的最大值为.故答案为：9．【分析】求出，根据的范围可得答案.【详解】角的终边经过点，可得，因为，，所以，可得.故答案为：.10．【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解.【详解】由图可得，又，故，，又，故，则有，，即，，又，则，即，由，则，即，故或，，即或，，又，故，则.故答案为：.11．C【分析】借助象限角的三角函数符号判断即可得.【详解】由，则角的终边所在的象限为第三象限.故选：C.12．B【分析】根据可求的值.【详解】因为，故，而，故，故选：B.13．D【分析】根据题意以及对数函数的单调性性质即可直接求解.【详解】函数在内是严格减函数，所以，，故.故选：D.14．(1)(2)【分析】（1）依题意可得，解得即可；（2）由（1）可得，，再根据夹角公式求出，即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以方程有一对虚数根，设为、，又，解得，．（2）由（1）可得，，所以，所以与夹角的大小为．15．【分析】利用基本量法求出的通项公式可求.【详解】设公差为，则，又，所以，解得．所以，故．16．(1)(2)【分析】（1）利用辅助角化成一角一函数，再利用诱导公式即可化简，或者利用两角和公式计算和即可得解.（2）根据诱导公式和切与弦的关系即可化简得解.【详解】（1）法一：．法2：.（2）.17．(1)，，单调递增区间(2)【分析】（1）根据“五点法”完成表格，确定函数解析式，可求函数的单调增区间.（2）做出函数图象，根据图象求的取值范围.【详解】（1）根据“五点法”，完成列表：00100000所以表中所填的数据为：．由表格可知：，，.所以.由，得，所以函数单调递增区间．（2）根据列出得表格，可以做出函数得图象，如下：该问题转化为方程在区间有两个交点，又，，，所以的取值范围是．18．(1)，(2)(3)至多有7辆汽车通过该十字路口【分析】（1）根据已知条件可得答案；（2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题．通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理可得答案；（3）由于十字路口亮绿灯的时长为，求的最大，分别计算到可得答案.【详解】（1），；（2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题．通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理得：，其中，，或者写成；（3）由于十字路口亮绿灯的时长为，即，于是，该实际问题可表述为数学问题：求的最大，与计算的方