2024年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版

PAGE2024全国新课标卷1理科数学第13页2024年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．(2024课标全国Ⅰ，理1)集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，那么()．A．A∩B＝B．A∪B＝RC．BAD．AB2．(2024课标全国Ⅰ，理2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()．A．－4B．C．4D．3．(2024课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取局部学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．(2024课标全国Ⅰ，理4)双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，那么C的渐近线方程为()．A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝±x5．(2024课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，那么输出的s属于()．A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]6．(2024课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，那么球的体积为()．A．cm3B．cm3C．cm3D．cm37．(2024课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，那么m＝()．A．3B．4C．5D．68．(2024课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如以下列图，那么该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π9．(2024课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.假设13a＝7b，那么m＝()．A．5B．6C．7D．810．(2024课标全国Ⅰ，理10)椭圆E：(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．假设AB的中点坐标为(1，－1)，那么E的方程为()．A．B．C．D．11．(2024课标全国Ⅰ，理11)函数f(x)＝假设|f(x)|≥ax，那么a的取值范围是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]12．(2024课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….假设b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，那么()．A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列第二卷本卷包括必考题和选考题两局部．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．(2024课标全国Ⅰ，理13)两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.假设b·c＝0，那么t＝__________.14．(2024课标全国Ⅰ，理14)假设数列{an}的前n项和，那么{an}的通项公式是an＝_______.15．(2024课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，那么cosθ＝__________.16．(2024课标全国Ⅰ，理16)假设函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，那么f(x)的最大值为__________．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2024课标全国Ⅰ，理17)(本小题总分值12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)假设PB＝，求PA；(2)假设∠APB＝150°，求tan∠PBA.

18．(2024课标全国Ⅰ，理18)(本小题总分值12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)假设平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2024课标全国Ⅰ，理19)(本小题总分值12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，假设都为优质品，那么这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，假设为优质品，那么这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

20．(2024课标全国Ⅰ，理20)(本小题总分值12分)圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2024课标全国Ⅰ，理21)(本小题总分值12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．假设曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)假设x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，那么按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2024课标全国Ⅰ，理22)(本小题总分值10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2024课标全国Ⅰ，理23)(本小题总分值10分)选修4—4：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

24．(2024课标全国Ⅰ，理24)(本小题总分值10分)选修4—5：不等式选讲：函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

2024年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I新课标)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．答案：B解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A与B可用图象表示为：由图象可以看出A∪B＝R，应选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴.故z的虚部为，选D.3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵，∴.∴a2＝4b2，.∴渐近线方程为.5．答案：A解析：假设t∈[－1,1)，那么执行s＝3t，故s∈[－3,3)．假设t∈[1,3]，那么执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，那么s∈[3,4]．综上可知，输出的s∈[－3,4]．应选A.6．答案：A解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的体积为(cm3)，应选A.7．答案：C解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴.又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴.∴m＝5.应选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16.应选A.9．答案：B解析：由题意可知，a＝，b＝，又∵13a＝7b，∴，即.解得m＝6.应选B.10．答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴①－②，得，即，∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而＝kAB＝，∴.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为.应选D.11．答案：D解析：由y＝|f(x)|的图象知：①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知：a∈[－2,0]．12．答案：B第二卷本卷包括必考题和选考题两局部．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．答案：2解析：∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos60°＋(1－t)，0＝＋1－t.∴t＝2.14．答案：(－2)n－1解析：∵，①∴当n≥2时，.②①－②，得，即＝－2.∵a1＝S1＝，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.15．答案：解析：f(x)＝sinx－2cosx＝，令cosα＝，sinα＝，那么f(x)＝sin(α＋x)，当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，所以cosθ＝＝＝sinα＝.16．答案：16解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即解得∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，得x1＝－2－，x2＝－2，x3＝－2＋.易知，f(x)在(－∞，－2－)上为增函数，在(－2－，－2)上为减函数，在(－2，－2＋)上为增函数，在(－2＋，＋∞)上为减函数．∴f(－2－)＝[1－(－2－)2][(－2－)2＋8(－2－)＋15]＝(－8－)(8－)＝80－64＝16.f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f(－2＋)＝[1－(－2＋)2][(－2＋)2＋8(－2＋)＋15]＝(－8＋)(8＋)＝80－64＝16.故f(x)的最大值为16.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.(2)设∠PBA＝α，由得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化简得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.18．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如以下列图的空间直角坐标系O－xyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．那么＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，，)．设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，那么即可取n＝(，1，－1)．故cos〈n，〉＝＝.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝.(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.所以X的分布列为X400500800PEX＝＝506.25.20．解：由得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.假设l的倾斜角为90°，那么l与y轴重合，可得|AB|＝.假设l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，那么，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得，解得k＝.当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.所以|AB|＝.当时，由图形的对称性可知|AB|＝.综上，|AB|＝或|AB|＝.21．解：(1)由得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，那么F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.①假设1≤k＜e2，那么－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②假设k＝e2，那么F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成