2023-2024学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+i1−i(i是虚数单位，i2=−1)A.1 B.±1 C.2 D.2.已知向量a=(k−1,1)，b=(k+3,k).若a/​/b，则实数kA.3 B.−1 C.3或−1 D.−3±3.已知α，β表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，(

)A.若b/​/a，a⊂α，则b/​/α

B.若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α

C.若a⊂α，b⊂α，a/​/β，b/​/β，则α/​/β

D.若a⊥α，a/​/b，b⊂β，则α⊥β4.已知a>0，b∈R，则a>b是a>|b|的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.在△ABC中，角A，BC，的对边分别为a，b，c.若b=2，A=45°，C=75°，则a的值为(

)A.22 B.236 6.为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数y=cos2x的图象(

)A.向右平移π4个单位长度 B.向右平移π2个单位长度

C.向左平移π4个单位长度 D.7.在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”.现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过(    )个小时才会“药物失效”.(参考数据：lg2≈0.3010)A.4 B.5 C.6 D.78.已知sinθ，cosθ是方程x2−2sinα⋅x+sinA.4 B.3 C.2 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>b，则(

)A.0.1a>0.1b B.10a>10.如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.设直角三角形的两个锐角分别为α，β(α<β)，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则(

)A.每一个直角三角形的面积为1

B.sinα=2sinβ

C.cosα=2cosβ

D.cos11.在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点P(a,b)，|OP|=m(m≠0)，定义函数f(θ)=a+bm，则(

)A.x=π2是函数y=f(θ)的一条对称轴 B.函数y=f(θ)f(−θ)是周期为π的函数

C.f(θ)+f2(θ)≤2+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={1,2}，B={−a,a2+3}，若A∪B={1,2,4}，则实数a13.已知x+lny=1，则ex+y的最小值为______．14.一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为63的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设函数f(x)=xx2+1．

(1)判断函数f(x)在区间[−1,1]上的单调性，并用定义证明结论；

(2)若x∈[16.(本小题15分)

如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的点，AB=2,AD=3．

(1)若DP=λDC,BQ=λBC,0≤λ≤1，求AP⋅AQ的取值范围；

(2)若P是DC的中点，M1，M2，17.(本小题15分)

已知实数a<0，设函数f(x)=cos2x+asin2x−a2，且f(π6)=−34．

(1)求实数a，并写出f(x)的单调递减区间；18.(本小题17分)

在三棱锥A−BCD中，AB=9，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，AE=2EC，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，G．

(1)求线段FG的长度；

(2)求二面角A−CD−B的余弦值；

(3)求点C到平面DEF的距离．19.(本小题17分)

已知函数f(x)，g(x)，ℎ(x)的定义域均为R．

定义：①若存在n个互不相同的实数x1，x2，…，xn，使得f(g(xi))=ℎ(f(xi))(i=1,2,3,…,n)，则称g(x)与ℎ(x)关于f(x)“n维交换”；

②若对任意x∈R，恒有f(g(x))=ℎ(f(x))，则称g(x)与ℎ(x)关于f(x)“任意交换”．

(1)判断函数g(x)=x+1与ℎ(x)=x−1是否关于f(x)=x2“n维交换”，并说明理由；

(2)设f(x)=a(x2+2)(a≠0)，g(x)=x2+bx−1，若存在函数ℎ(x)，使得g(x)与ℎ(x)关于f(x)“任意交换”，求b的值；

(3)设参考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.B

6.A

7.D

8.C

9.BD

10.ACD

11.BCD

12.−1

13.214.7215.解：(1)函数f(x)在[−1,1]上单调递增，

证明：任取x1<x2∈[−1,1]，

则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=x1(1+x22)−x2(1+x12)(1+x12)(1+x22)

=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，

因为−1≤x1<x2≤1，

所以x1−x2<0，1−x16.解：(1)由题意，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，

DP=λDC,BQ=λBC,0≤λ≤1，

则AP⋅AQ=(AD+DP)⋅(AB+BQ)

=AD⋅λBC+λDC⋅17.解：(1)由题f(π6)=34+a⋅32−a2=−34，

即a2−32a−32=0，解得a=−32，

所以f(x)=1+cos2x2−32sin2x−34=−sin(2x−π6)−14，

令2kπ−π2≤2x−π18.解：(1)因为过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，G，

故CD⊥EF，CD⊥EG，CD⊥FG，

在平面ACD内，过E作CD的垂线，垂足为G，

由AE=2EC，可知EC=2，结合△ACD为等边三角形，可知CG=1，

过G作CD的垂线，交BC于F，

结合∠DCB=60°，可知CF=2，FG=3；

(2)取CD中点M，则CD⊥AM，CD⊥BM，

故∠AMB为二面角A−CD−B的平面角，

易知AM=BM=33，

由余弦定理得cos∠AMB=−12；

(3)设C到平面DEF的距离为ℎ，则由VC−DEF=VE−CDF，

可得S△DEF⋅ℎ=S△CDF⋅EG⋅sin2π3，

由余弦定理得DE2=CD2+CE2−2CD⋅CEcosπ3=2819.解：(1)g(x)与ℎ(x)关于f(x)是“1维交换”，

理由如下：因为f(g(x))=(x+1)2，ℎ(f(x))=x2−1，

令f(g(x))=ℎ(f(x))，

所以(x+1)2=x2−1，

解得x=−1，所以f(g(x))=ℎ(f(x))有唯一解x=−1，

所以g(x)与ℎ(x)关于f(x)“1维交换”．

(2)由题意可知，对任意的x∈R，f(g(x))=ℎ(f(x))成立，

即对任意的x∈R，a[(x2+bx−1)2+2]=ℎ(a(x2+2))因为ℎ(x)为函数，

且ℎ(a(−x)2+2)=ℎ(a(x2+2))，

故b=0，

故a[(x2−1)2+2]=ℎ(a(x2+2))，

即a[(a(x2+2)a−3)2+2]=ℎ(a(x2+2))，

所以ℎ(x)=a[(xa−3)2+2]=x2a−6x+11a，

综上所述，b=0．

(3)由题意知，令F(x)=f(g(x))−ℎ(f(x))