北师大九年级上数学教案讲义

第一章特殊的平行四边形

§1,1菱形的性质与判定

一、教学目标：.1、菱形的性质定理的运用.2.菱形的判定定理的运用.

二、教学重点难点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导，运用综合法解决菱形的相关题型。

三、概念：

菱形性质：

1.两条对角线互相垂直平分；

2.四条边都相等；

3.每条对角线平分一组对角；

4.菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。

菱形的判定定理：

1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（根据对角线）

3、四条边都相等的四边形是菱形.（根据四条边）

4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.（对角线和角的关系）

四、讲课过程：

1、例题、

例1.（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF.请

你以F为一个端点，和图中已标明字母的某•点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只

须证明一组线段相等即可）.

（1）连接AF；

（2）猜想：AF=AE；

（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：几何综合题。

分析：观察图形应该是连接AF,可通过证4AFB和4ADE全等来实现AF=AE.

解答：解：（1）如图，连接AF；

（2）AF=AE；

（3）证明：四边形ABCD是菱形.

.*.AB=AD,

.\ZABD=ZADB,

ZABF=ZADE,

在4ABF和4ADE中

rAB=AD

<ZABF=ZADE

,BF=DE

.,.△ABF^AADE,

点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明.

例2、(2009•贵阳)如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与A、B重合)，连接DP交对角线AC于

E连接BE.

(1)证明：ZAPD=ZCBE；

(2)若NDAB=60。，试问P点运动到什么位置时，ZXADP的面积等于菱形ABCD面积的工，为什么？

4

考点:菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题:证明题；动点型。

分析:(1)可.先证4BCE丝4DCE得到/EBC=NEDC,再根据AB〃DC即可得到结论.

（2）当P点运动到AB边的中点时，SAADP=^S箜心ABCD，证明SAADP=—X-AB.DP=AS邮ABCD即可.

4224

解答：（1）证明：•••四边形ABCD是菱形

ABC=CD,AC平分/BCD（2分）

,/CE=CE

.".△BCE^ADCE（4分）

.\ZEBC=ZEDC

XVAB/7DC

AZAPD=ZCDP（5分）

AZEBC=ZAPD（6分）

(2)解：当P点运动到AB边的中点时，SAADP=^S菱形ABCD-(8分)

4

理由：连接DB

VZDAB=60°,AD=AB

...△ABD等边三角形（9分）

是AB边的中点

ADPIAB（10分）

•■•SAADP=-^AP,DP,S箜%ABCD=AB・DP（1】分）

2

VAP=iAB

2

SAADP=—X-^AB«DP=AS箜般ABCD

224

即4ADP的面积等于菱形ABCD面积的（12分）

点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当P点运动到AB边的中点时，SAADP=^S雌ABCD是难

4

点.

例3、（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE1AD,BF1CD,垂足分别为E、F.

（1）求证：BE=BF；

（2）当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长.

考点：菱形的性质：全等三角形的判定与性质。

分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明4ABE与4CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；

（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘枳的一半和底边乘以高

两种求法即可求出.

解答：（1）证明：•••四边形ABCD是菱形，

；.AB=CB,ZA=ZC,

VBE1AD,BF±CD,

.\ZAEB=ZCFB=90°,

在Z\ABE和4CBF中，

rZA=ZC

<AB=CB

,ZAEB=ZCFB=90°

.,.△ABE^ACBF（AAS）,

；.BE=BF.

（2）解：如图,

:对角线AC=8,BD=6,

对角线的一半分别为4、3,

菱形的边长为底行=5,

菱形的面积=5BE=1<8x6,

2

解得BE=21

5

点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法.

例3、(2011•广安)如图所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC交BC的延长线于点E.

求证：DE=1BE.

2

考点：菱形的性质。

专题：证明题。

分析：由四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,易得BD_LAC,ZDBC=30°,又由DE〃AC,即可证得DE_LBD,由

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=』BE.

2

解答：证明：

法一：如右图，连接BD,

四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

ABD1AC,ZDBC=30°,

VDE/7AC,

DE1BD,

即/BDE=90。，

DE=1BE.

2

法二：•..四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

；.AD〃BC,AC=AD,

；AC〃DE,

四边形ACED是菱形，

；.DE=CE=AC=AD,

又四边形ABCD是菱形，

；.AD=AB=BC=CD,

；.BC=EC=DE,即C为BE中点，

DE=BC=ABE.

2

点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此题难度不大，注意数形结合思想的应用.

例4.(2010•益阳)如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE_LAB,垂足为

E.

(1)求NABD的度数；

(2)求线段BE的长.

DC

考点：菱形的性质。

分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又NA=60。，得到4ABD是等边三角形，/ABD是60。；

（2）先求出OB的长和/BOE的度数，再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半即可求出.

解答：解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD,ZA=60°,

.二△ABD为等边三角形，

ZABD=60°；（4分）

（2）由（1）可知BD=AB=4,

又丁。为BD的中点，

.\OB=2（6分），

又：OE_LAB,及NABD=60。，

二ZBOE=30°,

.*.BE=1.（8分）

点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握.

2、巩固练习

1.有一组邻边相等的平行四边形是.

2.菱形的两条对角线长分别是8cm和10cm,则菱形的面积是.

3.菱形的两邻角之比为1：2,边长为2,则菱形的面积为.

4.菱形的面积等于（）（20分）

A.对角线乘积B.一边的平方C.对角线乘积的一半D.边长平方的一半

5.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（）（20分）

A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直

C.两条对角线相等且垂直D.两条对角线互相垂直平分

6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）.（20分）

A1个B2个C3个D4个

7.如图，四边形ABCD是菱形，ZABC=120°,AB=6cm,贝l]NABD=_ZDAC的e度数为______：一l,为线BD=_______,

AC=__；菱形ABCD的面积为.（20分）

B

5、在矩形4腼中，。是对角线4。的中点，）1是线段力。的中垂线,交AD、理于E、F.求证：四边形力以才是菱形（20

分）AED

w\

2

C

6、如图,在菱形ABCD中,AB=BD=5,

求：（1）NBAC的度数；（2）求AC的长。

7、四边形48口是矩形，四边形力反万是菱形，若4?=2cm,aMem,求四边形力比F的面积。

8、在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF,过点C做CG〃EA交FA于H,交AD于G,

若NBAE=25°,ZBCD=130°,求NAHC的度数。

3、作业：

一、选择题。

1、已知菱形两个邻角的比是1:5,高是8cm,则菱形的周长是（）。

A.16cmB.32cmC.64cmI）.128cm

2、已知菱形的周长为40cm,两对角线长的比是3:4,则两对角线的长分别是（）。

A.6cm、8cmB.3cm^4cmC.12cm>16cmD.24cm、32cm

3、如图：在菱形力及力中，AE工BC,AFLCD,且区F分别为BC、⑺的中点，那么N£4分等于（）。

A.75°B.60°C.45°D.30°

4、棱形的周长为8.4cm,相邻两角之比为5：1,那么菱形一组对边之间的距离为（）

A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD^2.1cm

5、菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对角相等B.四边相等C.对角线互相平分D.四角相等

6、04腼的对角线4G龙相交于点。下列条件中，不能判定口必力是菱形的是（）。

A.AB^ADB.ACVBDC.Z/f=ZZ?D.。平分N6（力

7、下列命题中，真命题是（）。

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。

B.有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。

C.对角线互相垂直的矩形是菱形。

D.菱形的对角线相等。

8、菱形是轴对称图形，对称轴有（）。

A.1条B.2条C.3条D.4条

9、已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm,那么这个菱形的周长为，面积为.

10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起，使之成60度角，

那么重叠部分的面积的最大值为__________________.4-------------------nB

—

DC

11、一个菱形面积为80,周长为40,那么两条对角线长度之和为____________.

12、如图所示，已知菱形ABCD中，E:、F分别在BC和CD上，且NB=NEAF=60°,ZBAE=15°,求N

CEF的度数。

AD

13、已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG〃EA交AF于H,

交AD于G,若NBAE=25°,ZBCD=130°,求NAHC的度数。

c

14、如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE,ZBAE=-ZEAD,AE

2

交BD于M,试说明BE=AM。

B工EC

15、如图，在AABC中，AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证四边形BDEF是菱

形。（2）若AB=12cm,求菱形BDEF的周长？

16、已知：如图，^ABC中，NBAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点，且AE=AC,EF〃BC交AD于

点F,求证：四边形CDEF是菱形。

17.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、0,求证：四

边形AFCE是菱形。

18、已知：如图，C是线段BD上一点，z^ABC和4ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE

各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。

BFCD

19、如图，已知在aABC中，AB=AC,ZB,NC的平分线BD、CE相交于点M,DF〃CE,EG〃BD,DF与

EG交于N,求证：四边形MDNE是菱形。

§1,2矩形的性质与判定

一、教学目标：

1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论.

2、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算.

二、教学重难点：矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系.

三、概念：1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形(矩形是特殊的平行四边形)。

2.矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。

(1)角：四个角都是直角。

(2)对角线：互相平分且相等。

3.矩形的判定：

(1)有一个角是直角的平行四边形。

(2)对角线相等的平行四边形。

(3)有三个角是直角的四边形。

4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心;

矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。

5.矩形的周长和面枳:

矩形的周长=2(〃+匕)矩形的面积=长丫宽=4人(见〃为矩形的长与宽)

★注意：(1)矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。

（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。

四、讲课过程:

【经典例题：】

例1：已知：0是矩形ABCD对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、0B、OC、OD上的点,AE=BF=CG=DH,求证:

四边形EFGH为矩形.

分析：利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明

证明：：ABCD为矩形

/.AC=BD

...AC、BD互相平分于0

/.AO=BO=CO=DO

；AE=BF=CG=DH

.\EO=FO=GO=HO

又HF=EG

.'.EFGH为矩形

例2：判断

（1）两条对角线相等四边形是矩形（）

（2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）

（3）有一个角是直角的四边形是矩形（）

（4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点（）

分析及解答：

（1）如图

四边形ABCD中，AC=BD,但ABCD不为矩形，义

（2）对角线互相平分的四边形即平行四边形，二对角线相等的平行四边形为矩形V

（3）如图,

四边形ABCD中，ZB=90",但ABCD不为矩形X

（4）矩形对角线的交点O到四个顶点距离相等AX,

如图，

【课堂练习题：】

1.判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（）

A.对角线相等B.对角线垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直且相等。

2.矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）

A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm

3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）

A.对角线互相平分且相等B.四个角相等

C.是轴对称图形D.对角线互相垂直平分

4在矩形ABCD中，对角线交于0点，AB=0.6,BC=0.8,那么aAOB的面积为;周长为.

5一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积为.

6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12,则斜边上的中线等于.

7.矩形的两条对角线的夹角是60°,一条对角线与矩形短边的和为15,那么矩形对角线的长为,短边长

为.

8.矩形的两邻边分别为4cm和3cm,则其对角线为cm,矩形面积为cm2.

9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是.

10.矩形的对角线相交所成的钝角为120°,矩形的短边长为5cm,则对角线之长为—cm。

11.矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于0点，ZA0B=2ZB0C,若对角线AC的长为18cm,则AD=cm。

12、已知：如图所示,矩形ABCD中,E是BC上的一点,且AE=BC,

求证：AD=2AB.

【课后练习题：】

1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。

A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AB=5,AC=13,则矩形ABCD的面积

3.己知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24cm,

则矩形的面积为—cm2»

4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB,则NEBC=

5.如图，已知aABC中，AB=AC,D为BC上一点，DEJ_AB,DF1AC,BM为高,

求证:DE+DF=BM。

6.如图，ABCD是矩形纸片，翻折/氏/〃，使比、4?恰好落在然上。设尺〃分别是8、〃落在然上的两点，E、G

分别是折痕龙、AG与AB、⑺的交点。

(1)求证：四边形/以力是平行四边形：

(2)若AB=4cm,BC=3cm,求线段斯的长。

7、已知：如图，在aABC中，AB=AC,AD1BC,垂足为点D,AN是△ABC的外角NCAM的平分线，CE1AN,垂足为点

E,求证：四边形ADCE为矩形。

8、如图，在矩形ABCD中，AP=DC,PH=PC,求证：PB平分NCBH.

DPC

9、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EFLCE交AB于F,若DE=2,矩形ABCD的周长为16,且CE=EF,求AE的

长.

10、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,(；,H,求证：四边形EFGH是矩形。

11、已知：如图，四边形ABCD是山两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点.求证：四

边形BMDN是矩形.

12、如图，已知在四边形ABCD中，4(7_1。8交于。，E、F、G、H分别是四边的中点,

求证：四边形EFGH是矩形.

§1,3正方形的性质与判定

一、教学目标：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法。

二、教学重难点：探索正方形的性质与判定。掌握正方形的性质和判定的应用方法

三、概念：

正方形的性质：

1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

2、正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。

正方形的判定：

1、有一个角是直角的菱形是正方形.

2、有一组邻边相等的矩形是正方形。

3、两组对边平行的菱形是正方形。

4、对角线相等的菱形是正方形。

5、对角线互相垂直的矩形是正方形。

6、两组对边平行的矩形是正方形

7、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。

8、一组邻边相等，对角线互相垂直的平行四边形是正方形。

9、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

10、每个角都是90度的平行四边形是正方形。

11、一组邻边相等，对角线平分的四边形是正方形。

12、四个均为直角，每条对角线平分一组对角的四边形是正方形

正方形的判定方法有哪些:

正方形的判定方法还有哪些？

四、讲课过程

1、例题

例1:如图:AABC中,NACB=90o,CD平分/ACB,DEJ_BC,DF_LAC,垂足分别为E、F求证:四边形CFDE是正方形.

分析：要证明四边形CFDE是正方形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证明有一组邻边

相等;也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角.

解；CD平分NACB,DE_LBC,DF_LAC

DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

NDEC=ZECF=ZCFD=90°,

...四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），

又•:DE=DF（已证）

•••四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.

例2:已知：如图点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'

求证：四边形A'B'C'D'是正方形

分析：法一：①先证明四边形AB，CD，是菱形②再证明四边形AB，CD，有一个角是直角

法二：①先证明四边形AB，CD，是矩形②再证明四边形AB，CD，有一组邻边相等。

证明：•••四边形ABCD是正方形

；.AB=BC=CD=DA

XVA'A=BB=C'C=DD

.".D'A=A'B=B'C=C'D

ZA=ZB=ZC=ZD=90°

AAA'D'^ABB'A'^ACC'B'^ADD'C"

AD'=AB'=BC'=CD'

四边形A'B'C'D'是菱形

又•.,/AD'A'=/BA'B',ZAA'D'+ZAD'A'=90°

ZAA'D'+ZBA'B'=90°

•；/D'A'B'=180°—（ZAA'D'+ZBA'B'）=90°

，四边形A'B'C'D'是正方形

伊！J3:如图：EG、FH过正方形ABCD的对角线的交点O,EGJ_FH,求证四边形EFGH为正方形

解答：,/正方形ABCDEGXFH

.•./OAH=NOBE=45。，DB=ACOA=OB,ZAOH=90s-ZAOE=ZBOE,

』AOHg/BOE(ASA).：.OH=OE.

同理OE=OF=OG=OH,

四边形EFGH是平行四边形FH=EG

VEG±FH四边形EFGH为正方形。

2、巩固练习

1、如图，分别延长等腰直角AOAB的两条直角边AO和BO,使AO=OC,BO=OD

求证：四边形ABCD是正方形

2、矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN,判断四边形EMFN的形状，并说明原因:

3、判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？

对角线相等的菱形是正方形。（）

②、对角线互相垂直的矩形是正方形。（）

③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（）

至、四条边都相等的四边形是正方形。（）

⑤、四个角都相等的四边形是正方形。（）

⑥、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。（）

⑦、正方形一定是矩形。（）

⑧、正方形一定是菱形。（）

⑨、菱形一定是正方形。（）

⑩、矩形一定是正方形。（）

4、已知：如图，正方形四W中，CM-CD,MNYAC,连结况则/比3=4B,N/快=________ZB.

5、在正方形/四中，49=12cm,对角线劭相交于〃，则△力8〃的周长是（）

A.12+1272B.12+672C.12+V2D.24+6百

3、作业

1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=CA,连接AE交CD于F,求NAFO的度数。

变式：1、已知如下图，正方形｛及力中，£是刃边上的一点，尸为比1延长线上一点，C4CF.

(1)求证：(2)若/庞白60°,求/田叨的度数.

2：如图，£为正方形力及力的阅边上的一点，CG平分N&T,连结力£,并在CG上取一点G,使£白/£求证：AELEG.

3、户为正方形四内一点，PA=\,PB=2,抬3,求/力阳的度数.

4、(海南省)如图，户是边长为1的正方形四切对角线/C上动点(一与4、。不重合)，点£在射线6C上，且

PE=PB.

(1)求证：①PE=PD；②PE1PD；

(2)设44x,△小的面积为y.求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

AD

P

5、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE,CE与DB相交于点F,则ZAFD=

6、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点，BE=3,M为线段AE上一点，射线BM交正方形的

一边于点F,且BF=AE,则BM的长为。

7、.正方形的面枳是则其对角线长是—.

&£为正方形465内一点，且△傲7是等边三角形，求N必〃的度数.

9、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转,

证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值.

10、E是正方形ABCD对角线AC上一点，后尸，CO,EG，A。,垂足分别为F、G,求证：BE=FG。

IE已知及□ABC中，ZC=90°,CD平分NACB,交AB于D,DF//BC,DE//AC,求证：四边形DECF为正方形。

第二章一元二次方程

§2,1认识一元二次方程

一.教学目标：

1、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力.

2、渗透“夹逼”思想

二.教学重点难点：用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。

三.概念：(一)、一元二次方程定义

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

(二)、一元二次方程的一般形式

a/+笈+。=0伍彳0),它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中a?

叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

四.讲课过程

一、复习：

1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a^0)

2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

(1)2x2—x+l=0(2)—x2+l=0(3)x2—x=0(4)一mx'=0

二、新授：

1、估算地毯花边的宽。

地毯花边的宽x(m),满足方程(8-2x)(5-2x)=18

也就是:2X2-13X+11=0

你能求出x吗？

(1)x可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0,因为x表示地毯的宽度。

(2)x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？

x不可能大于4,也不可能大于2.5,x>4时，5—2x<0,x>2.5时，5—2x<0.

(3)完成下表

X00.511.522.5

2X2-13X+11

从左至右分别11,4.75,0,—4,—7,—9

(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。

地毯花边1米，另，因8-2x比5-2x多3,将18分解为6X3,8-2x=6,x=l

2、例题讲析：

例：梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=10?

也就是X2+12X-15=0

(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

(2)x的整数部分是几？十分位是几？

X00.511.52

x2+12x—15-15-8.75-25.2513

所以1<X<1.5

进一步计算

X1.11.21.31.4

X2+12X-15-0.590.842.293.76

所以1.

因此x的整数部分是1,十分位是1

注意：(1)估算的精度不适过高。(2)计算时提倡使用计算器。

三、巩固练习：

1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项:

(1)2X2+3X+5(2)(x+5)(x+2)=x2+3x+l

(3)(2x-l)(3x+5)=-5(4)(3x+l)(x-2)=-5x

2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

3、关于x的方程(k-3)X2+2X-1=0,当k时，是一元二次方程。

4、试找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：

如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为、、

、，根据题意可得方程：_____________________________________________

判断下列方程哪些是一元二次方程

(1)4xJ—5x—l=x(2)9x'—5=0(3)—+x—5=3

x

Y

(4)ax'+(b—l)x+c=O(aWO)(5)5(x—l)2=5x2(6)—)=----1-1=0

V2-1

6、判断关于x的方程x?—nx(x—n—l)=5x是不是一元二次方程，如果是，指出其二次

项系数，一次项系数及常数项。

7、如果关于x的一元二次方程：x2—2(a+l)x+a2=0有两个整数根，a为整数，且12Va<60,求这个方程的两个根。

四、小结：估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。

五、作业：

1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个连续整数吗？

2、一个面积为120平方米的矩形苗圃，它的长比宽多2米，求苗圃的周长？

3、一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调

整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系：

h=10+2.5t-5t2,那么他最多有多长时间完成规定的动作？

4、已知两个数的和为10,积为9,求这两个数。

5、把方程2x(x-3)=(x+l)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后,a,b,c的值分别是()

A.3、7、1B.2、-5、-1C.1、-5、-1D.3、-7、-1

1r2

6、方程①x?-l=x;②2x"y-l=0;③3x?-2+1=0;④上=1中.其中是一元二次方程的是()

x5

A.①④B.①③④C.①D.©(2)

7、方程x?=x的解是()

A.lB.1或-1C.0D.1或0

8、在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图。如果要使整个挂图的面积是

5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么满足的方程是()

A.x2+130x-1400=0B.X2+65X-350=0

C.X2-130X-1400=0D.X2-65X-350=0

9、一元二次方程的一般形式是,二次项是,一次项系数是。

10、方程3(x2/尸x的二次项系数是,一次项是,常数项是。

11、根据题意，列出方程：

(1)有一面积为54平方米的长方形，将它的一边剪短5米，另一边剪短2米，恰好变成一个正方形，这个正

方形的边长是多少？

(2)三个连续的整数两两相乘，再求和，结果为242,这三个数分别是多少？

12、把卜一列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:

方程一般形式二次项系数一次项系数常数项

3x=5x-l

(x+2)(x-l)=6

4-7x2=0

13、关于x的方程(k2-l)x+2(k-1)x+2k+2=0

当k时是一元二次方程；当k时是一元一次方程。

14、关于x的方程(k-3)x2+(m-3)x-l=0,是•元二次方程。则k和m的取值范围分别为什么？

2

15、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项:

(1)9X2-4X=5(2)(X—7)(4X+3)=(X—1)2

§2、2用配方法求解方程

-.教学目标：

1、会用开平方法解形如(x+m)2=n(nN0)的方程；

2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；

3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。

二.教学重难点：理解并掌握配方法，能够灵活运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。如何利用等式的性

质进行配方？

三.概念：

1.配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法

2.配方法一般步骤：

(1)方程奴2+bx+c=O(a#O)两边同时除以a,将二次项系数化为1.

(2)将所得方程的常数项移到方程的右边。

(3)所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方

(4)配方，化成(x+a)2=b

(5)开方。当bNO忖，x=-a±4b；当b<0时，方程没有实数根。

四.教学程序：

一、复习：

1、解下列方程：

(1)X2=9(2)(X+2)2=16

2、什么是完全平方式？

利用公式计算：

(1)依+6尸(2)(x-1)2

注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。

3、解方程：(梯子滑动问题)

X2+12X-15=0

二、新授：

1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？

2、解方程的基本思路(配方法)

如：x?+12x-15=0转化为

(X+6)2=51

两边开平方，得

x+6=±V51

.,.X|=V51-6x2=-，石-6(不合实际)

因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边

是一个常数，当n20时，两边开平方便可求出它的根。

3、讲解例题：

例1:解方程：X2+8X-9=0

分析：先把它变成(x+m^n(n^O)的形式再用直接开平方法求解。

解：移项，得：X2+8X=9

配方，得：X?+8X+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方)

即：(X+4)2=25

开平方，得：x+4=±5

即：x+4=5,或x+4=-5

所以：Xi=l,X2=-9

三、巩固练习：

1、解下列方程：

(1)(2-x)J3(2)(x-V2)2=64(3)2(x+1)--

(4)X2-8X+9=0

2、配方：填上适当的数，使下列等式成立:

)x2+12x+.=(x+6)'

(2)X2-12X+=(X-)2

(3)x?+8x+=x+)2

3、若x:4,贝(Ix=.若(x+l)2=4,则X=.若x?+2x+l=4,贝ijx=.若x,+2x=3,则x=

4、填上适当的数，使下列等式成立：

X2+12X+=(X+6)2;

X2~4X+=(x-)";

X2+8X+=(x+)2.

5、利用配方法快速解下列两个方程：

X2+2X-35=05X-15X-10=0

6、方程y2-4=2y配方，得()

A.(y+2)2=6B.(y-l)2=5C.(y-l)2=3D.(y+l)2=-3.

四、小结：

(1)什么叫配方法？

(2)配方法的基本思路是什么？

(3)怎样配方？

五、作业：

1、如图，在一-块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩

余部分种花草，要使剩余部分面积为850mz,道路的宽应为多少？

(第1题)

2、解下列方程:

(1)X2+12X+25=0(2)x、4x=10(3)X2-6X=11

(4)x-2x-4=0(5)x-4x-12=0(6)x-10x+25=7

(7)X2+6X=1(8)X2-6X-40=0(9)X2-6X+7=0

(10)X2+4X+3=0

4、当x取何值时,代数式10-6X+X?有最小值,是几?

5、配方法证明，-12y+42的值恒大于0o

6、(1)x"~4x+=(x-)"'；(2)x2--x+=(x-)

3

7、方程--12x=9964经配方后得(x-)'

8、方程(x+m)%1的根是_________________________

9、当x=T满足方程x-2(a+1)2X-9=0忖，a=

10、已知：方程(m+1)x~a'+(m_3)xT=0,试问：

(1)m取何值时，方程是关于x的一元二次方程，求出此时方程的解;

(2)m取何值时，方程是关于x的一元一次方程

11>关于X的一元二次方程(a+1)x、3x+a2-3a-4=0的一个根为0,则a的值为()

A、-1B、4C、T或4D、1

12、不论x、y为什么实数，代数式x2+y、2x-4y+7的值()

A、总不小于2B、总不小于7C、可为任何实数D、可能为负数

§2、2用公式法求解一元二次方程

-.教学目标：

1、能够熟练地、灵活的应用配方法解一元二次方程。

2、进--步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。

3、培养观察能力运用所学旧知识解决新问题。

二.教学重点、难点：能够熟练的应用配方法解一元二次方程和两种方法的选用。用求根公式解简单数字系数的一

元二次方程。对求根公式的推导过程的理解

三.概念：

1.公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

—b+JA~一

2.一元二次方程ax2+次+c=O(«H0)的求根公式：x=——.......(b2-4ac>0)

2a

四.教学程序：

一、复习：上节课我们学过的解一元二次方程的基本思路是什么？其关键是什么？

二、新授：

1、例题讲析：

例1利用公式法解方程X2-7XT8=0

分析：此方程中哪些数字相当于ax'bx+c=0(aWO)中的a、b、c?试写出解方程的完整过程。

例2对于问题：k取何值时,k/+3x+4=0有两个不相等的实数根，下面的解法是否正确？若不正确，请给出

正确解法。

解：VA=32-4•k•4=9-16k

9

令9T6k>0,则k〈一

16

o

即当k〈二时，方程kxZ+3x+4=0有两个不相等的实数根。

16

2、用公式法解元