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文档简介
第一章特殊的平行四边形
§1,1菱形的性质与判定
一、教学目标:.1、菱形的性质定理的运用.2.菱形的判定定理的运用.
二、教学重点难点:掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导,运用综合法解决菱形的相关题型。
三、概念:
菱形性质:
1.两条对角线互相垂直平分;
2.四条边都相等;
3.每条对角线平分一组对角;
4.菱形是一个中心对称图形,也是一个轴对称图形。
菱形的判定定理:
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(根据对角线)
3、四条边都相等的四边形是菱形.(根据四条边)
4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.(对角线和角的关系)
四、讲课过程:
1、例题、
例1.(2006•大连)已知:如图,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF.请
你以F为一个端点,和图中已标明字母的某•点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只
须证明一组线段相等即可).
(1)连接AF;
(2)猜想:AF=AE;
(3)证明:(说明:写出证明过程的重要依据)
考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质。
专题:几何综合题。
分析:观察图形应该是连接AF,可通过证4AFB和4ADE全等来实现AF=AE.
解答:解:(1)如图,连接AF;
(2)AF=AE;
(3)证明:四边形ABCD是菱形.
.*.AB=AD,
.\ZABD=ZADB,
ZABF=ZADE,
在4ABF和4ADE中
rAB=AD
<ZABF=ZADE
,BF=DE
.,.△ABF^AADE,
点评:此题考查简单的线段相等,可以通过全等三角形来证明.
例2、(2009•贵阳)如图,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点(不与A、B重合),连接DP交对角线AC于
E连接BE.
(1)证明:ZAPD=ZCBE;
(2)若NDAB=60。,试问P点运动到什么位置时,ZXADP的面积等于菱形ABCD面积的工,为什么?
4
考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质。
专题:证明题;动点型。
分析:(1)可.先证4BCE丝4DCE得到/EBC=NEDC,再根据AB〃DC即可得到结论.
(2)当P点运动到AB边的中点时,SAADP=^S箜心ABCD,证明SAADP=—X-AB.DP=AS邮ABCD即可.
4224
解答:(1)证明:•••四边形ABCD是菱形
ABC=CD,AC平分/BCD(2分)
,/CE=CE
.".△BCE^ADCE(4分)
.\ZEBC=ZEDC
XVAB/7DC
AZAPD=ZCDP(5分)
AZEBC=ZAPD(6分)
(2)解:当P点运动到AB边的中点时,SAADP=^S菱形ABCD-(8分)
4
理由:连接DB
VZDAB=60°,AD=AB
...△ABD等边三角形(9分)
是AB边的中点
ADPIAB(10分)
•■•SAADP=-^AP,DP,S箜%ABCD=AB・DP(1】分)
2
VAP=iAB
2
SAADP=—X-^AB«DP=AS箜般ABCD
224
即4ADP的面积等于菱形ABCD面积的(12分)
点评:此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定,判断当P点运动到AB边的中点时,SAADP=^S雌ABCD是难
4
点.
例3、(2010•宁洱县)如图,四边形ABCD是菱形,BE1AD,BF1CD,垂足分别为E、F.
(1)求证:BE=BF;
(2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时,求BE的长.
考点:菱形的性质:全等三角形的判定与性质。
分析:(1)根据菱形的邻边相等,对角相等,证明4ABE与4CBF全等,再根据全等三角形对应边相等即可证明;
(2)先根据菱形的对角线互相垂直平分,求出菱形的边长,再根据菱形的面积等于对角线乘枳的一半和底边乘以高
两种求法即可求出.
解答:(1)证明:•••四边形ABCD是菱形,
;.AB=CB,ZA=ZC,
VBE1AD,BF±CD,
.\ZAEB=ZCFB=90°,
在Z\ABE和4CBF中,
rZA=ZC
<AB=CB
,ZAEB=ZCFB=90°
.,.△ABE^ACBF(AAS),
;.BE=BF.
(2)解:如图,
:对角线AC=8,BD=6,
对角线的一半分别为4、3,
菱形的边长为底行=5,
菱形的面积=5BE=1<8x6,
2
解得BE=21
5
点评:本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明,同时还考查了菱形面积的两种求法.
例3、(2011•广安)如图所示,在菱形ABCD中,ZABC=60°,DE〃AC交BC的延长线于点E.
求证:DE=1BE.
2
考点:菱形的性质。
专题:证明题。
分析:由四边形ABCD是菱形,ZABC=60°,易得BD_LAC,ZDBC=30°,又由DE〃AC,即可证得DE_LBD,由
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得DE=』BE.
2
解答:证明:
法一:如右图,连接BD,
四边形ABCD是菱形,ZABC=60°,
ABD1AC,ZDBC=30°,
VDE/7AC,
DE1BD,
即/BDE=90。,
DE=1BE.
2
法二:•..四边形ABCD是菱形,ZABC=60°,
;.AD〃BC,AC=AD,
;AC〃DE,
四边形ACED是菱形,
;.DE=CE=AC=AD,
又四边形ABCD是菱形,
;.AD=AB=BC=CD,
;.BC=EC=DE,即C为BE中点,
DE=BC=ABE.
2
点评:此题考查了菱形的性质,直角三角形的性质等知识.此题难度不大,注意数形结合思想的应用.
例4.(2010•益阳)如图,在菱形ABCD中,ZA=60°,AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE_LAB,垂足为
E.
(1)求NABD的度数;
(2)求线段BE的长.
DC
考点:菱形的性质。
分析:(1)根据菱形的四条边都相等,又NA=60。,得到4ABD是等边三角形,/ABD是60。;
(2)先求出OB的长和/BOE的度数,再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半即可求出.
解答:解:(1)在菱形ABCD中,AB=AD,ZA=60°,
.二△ABD为等边三角形,
ZABD=60°;(4分)
(2)由(1)可知BD=AB=4,
又丁。为BD的中点,
.\OB=2(6分),
又:OE_LAB,及NABD=60。,
二ZBOE=30°,
.*.BE=1.(8分)
点评:本题利用等边三角形的判定和直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求解,需要熟练掌握.
2、巩固练习
1.有一组邻边相等的平行四边形是.
2.菱形的两条对角线长分别是8cm和10cm,则菱形的面积是.
3.菱形的两邻角之比为1:2,边长为2,则菱形的面积为.
4.菱形的面积等于()(20分)
A.对角线乘积B.一边的平方C.对角线乘积的一半D.边长平方的一半
5.下列条件中,可以判定一个四边形是菱形的是()(20分)
A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线相等且垂直D.两条对角线互相垂直平分
6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是().(20分)
A1个B2个C3个D4个
7.如图,四边形ABCD是菱形,ZABC=120°,AB=6cm,贝l]NABD=_ZDAC的e度数为______:一l,为线BD=_______,
AC=__;菱形ABCD的面积为.(20分)
B
5、在矩形4腼中,。是对角线4。的中点,)1是线段力。的中垂线,交AD、理于E、F.求证:四边形力以才是菱形(20
分)AED
w\
2
C
6、如图,在菱形ABCD中,AB=BD=5,
求:(1)NBAC的度数;(2)求AC的长。
7、四边形48口是矩形,四边形力反万是菱形,若4?=2cm,aMem,求四边形力比F的面积。
8、在菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且CE=CF,过点C做CG〃EA交FA于H,交AD于G,
若NBAE=25°,ZBCD=130°,求NAHC的度数。
3、作业:
一、选择题。
1、已知菱形两个邻角的比是1:5,高是8cm,则菱形的周长是()。
A.16cmB.32cmC.64cmI).128cm
2、已知菱形的周长为40cm,两对角线长的比是3:4,则两对角线的长分别是()。
A.6cm、8cmB.3cm^4cmC.12cm>16cmD.24cm、32cm
3、如图:在菱形力及力中,AE工BC,AFLCD,且区F分别为BC、⑺的中点,那么N£4分等于()。
A.75°B.60°C.45°D.30°
4、棱形的周长为8.4cm,相邻两角之比为5:1,那么菱形一组对边之间的距离为()
A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD^2.1cm
5、菱形具有而矩形不具有的性质是()
A.对角相等B.四边相等C.对角线互相平分D.四角相等
6、04腼的对角线4G龙相交于点。下列条件中,不能判定口必力是菱形的是()。
A.AB^ADB.ACVBDC.Z/f=ZZ?D.。平分N6(力
7、下列命题中,真命题是()。
A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。
B.有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。
C.对角线互相垂直的矩形是菱形。
D.菱形的对角线相等。
8、菱形是轴对称图形,对称轴有()。
A.1条B.2条C.3条D.4条
9、已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm,那么这个菱形的周长为,面积为.
10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起,使之成60度角,
那么重叠部分的面积的最大值为__________________.4-------------------nB
—
DC
11、一个菱形面积为80,周长为40,那么两条对角线长度之和为____________.
12、如图所示,已知菱形ABCD中,E:、F分别在BC和CD上,且NB=NEAF=60°,ZBAE=15°,求N
CEF的度数。
AD
13、已知:如图,在菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且CE=CF。过点C作CG〃EA交AF于H,
交AD于G,若NBAE=25°,ZBCD=130°,求NAHC的度数。
c
14、如图所示,已知菱形ABCD中E在BC上,且AB=AE,ZBAE=-ZEAD,AE
2
交BD于M,试说明BE=AM。
B工EC
15、如图,在AABC中,AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点,(1)求证四边形BDEF是菱
形。(2)若AB=12cm,求菱形BDEF的周长?
16、已知:如图,^ABC中,NBAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF〃BC交AD于
点F,求证:四边形CDEF是菱形。
17.如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、0,求证:四
边形AFCE是菱形。
18、已知:如图,C是线段BD上一点,z^ABC和4ECD都是等边三角形,R、F、G、H分别是四边形ABDE
各边的中点,求证:四边形RFGH是菱形。
BFCD
19、如图,已知在aABC中,AB=AC,ZB,NC的平分线BD、CE相交于点M,DF〃CE,EG〃BD,DF与
EG交于N,求证:四边形MDNE是菱形。
§1,2矩形的性质与判定
一、教学目标:
1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论.
2、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算.
二、教学重难点:矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系.
三、概念:1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形(矩形是特殊的平行四边形)。
2.矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质。
(1)角:四个角都是直角。
(2)对角线:互相平分且相等。
3.矩形的判定:
(1)有一个角是直角的平行四边形。
(2)对角线相等的平行四边形。
(3)有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性:矩形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心;
矩形是轴对称图形,对称轴有2条,是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面枳:
矩形的周长=2(〃+匕)矩形的面积=长丫宽=4人(见〃为矩形的长与宽)
★注意:(1)矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
(2)矩形是轴对称图形,两组对边的中垂线是它的对称轴。
四、讲课过程:
【经典例题:】
例1:已知:0是矩形ABCD对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、0B、OC、OD上的点,AE=BF=CG=DH,求证:
四边形EFGH为矩形.
分析:利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明
证明::ABCD为矩形
/.AC=BD
...AC、BD互相平分于0
/.AO=BO=CO=DO
;AE=BF=CG=DH
.\EO=FO=GO=HO
又HF=EG
.'.EFGH为矩形
例2:判断
(1)两条对角线相等四边形是矩形()
(2)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形()
(3)有一个角是直角的四边形是矩形()
(4)在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点()
分析及解答:
(1)如图
四边形ABCD中,AC=BD,但ABCD不为矩形,义
(2)对角线互相平分的四边形即平行四边形,二对角线相等的平行四边形为矩形V
(3)如图,
四边形ABCD中,ZB=90",但ABCD不为矩形X
(4)矩形对角线的交点O到四个顶点距离相等AX,
如图,
【课堂练习题:】
1.判断一个四边形是矩形,下列条件正确的是()
A.对角线相等B.对角线垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直且相等。
2.矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角平分线分长边为两部分,这两部分分别为()
A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm
3.在下列图形性质中,矩形不一定具有的是()
A.对角线互相平分且相等B.四个角相等
C.是轴对称图形D.对角线互相垂直平分
4在矩形ABCD中,对角线交于0点,AB=0.6,BC=0.8,那么aAOB的面积为;周长为.
5一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积为.
6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12,则斜边上的中线等于.
7.矩形的两条对角线的夹角是60°,一条对角线与矩形短边的和为15,那么矩形对角线的长为,短边长
为.
8.矩形的两邻边分别为4cm和3cm,则其对角线为cm,矩形面积为cm2.
9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是.
10.矩形的对角线相交所成的钝角为120°,矩形的短边长为5cm,则对角线之长为—cm。
11.矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于0点,ZA0B=2ZB0C,若对角线AC的长为18cm,则AD=cm。
12、已知:如图所示,矩形ABCD中,E是BC上的一点,且AE=BC,
求证:AD=2AB.
【课后练习题:】
1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是()。
A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点0,AB=5,AC=13,则矩形ABCD的面积
3.己知,矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直,且该矩形的周长为24cm,
则矩形的面积为—cm2»
4.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB,则NEBC=
5.如图,已知aABC中,AB=AC,D为BC上一点,DEJ_AB,DF1AC,BM为高,
求证:DE+DF=BM。
6.如图,ABCD是矩形纸片,翻折/氏/〃,使比、4?恰好落在然上。设尺〃分别是8、〃落在然上的两点,E、G
分别是折痕龙、AG与AB、⑺的交点。
(1)求证:四边形/以力是平行四边形:
(2)若AB=4cm,BC=3cm,求线段斯的长。
7、已知:如图,在aABC中,AB=AC,AD1BC,垂足为点D,AN是△ABC的外角NCAM的平分线,CE1AN,垂足为点
E,求证:四边形ADCE为矩形。
8、如图,在矩形ABCD中,AP=DC,PH=PC,求证:PB平分NCBH.
DPC
9、如图,矩形ABCD中,E为AD上一点,EFLCE交AB于F,若DE=2,矩形ABCD的周长为16,且CE=EF,求AE的
长.
10、已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,(;,H,求证:四边形EFGH是矩形。
11、已知:如图,四边形ABCD是山两个全等的正三角形ABD和BCD组成的,M、N分别为BC、AD的中点.求证:四
边形BMDN是矩形.
12、如图,已知在四边形ABCD中,4(7_1。8交于。,E、F、G、H分别是四边的中点,
求证:四边形EFGH是矩形.
§1,3正方形的性质与判定
一、教学目标:了解正方形的有关概念,理解并掌握正方形的性质和判定方法。
二、教学重难点:探索正方形的性质与判定。掌握正方形的性质和判定的应用方法
三、概念:
正方形的性质:
1、正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
2、正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
正方形的判定:
1、有一个角是直角的菱形是正方形.
2、有一组邻边相等的矩形是正方形。
3、两组对边平行的菱形是正方形。
4、对角线相等的菱形是正方形。
5、对角线互相垂直的矩形是正方形。
6、两组对边平行的矩形是正方形
7、四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形。
8、一组邻边相等,对角线互相垂直的平行四边形是正方形。
9、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
10、每个角都是90度的平行四边形是正方形。
11、一组邻边相等,对角线平分的四边形是正方形。
12、四个均为直角,每条对角线平分一组对角的四边形是正方形
正方形的判定方法有哪些:
正方形的判定方法还有哪些?
四、讲课过程
1、例题
例1:如图:AABC中,NACB=90o,CD平分/ACB,DEJ_BC,DF_LAC,垂足分别为E、F求证:四边形CFDE是正方形.
分析:要证明四边形CFDE是正方形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证明有一组邻边
相等;也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角.
解;CD平分NACB,DE_LBC,DF_LAC
DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
NDEC=ZECF=ZCFD=90°,
...四边形CFDE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形),
又•:DE=DF(已证)
•••四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
例2:已知:如图点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA'=BB'=CC'=DD'
求证:四边形A'B'C'D'是正方形
分析:法一:①先证明四边形AB,CD,是菱形②再证明四边形AB,CD,有一个角是直角
法二:①先证明四边形AB,CD,是矩形②再证明四边形AB,CD,有一组邻边相等。
证明:•••四边形ABCD是正方形
;.AB=BC=CD=DA
XVA'A=BB=C'C=DD
.".D'A=A'B=B'C=C'D
ZA=ZB=ZC=ZD=90°
AAA'D'^ABB'A'^ACC'B'^ADD'C"
AD'=AB'=BC'=CD'
四边形A'B'C'D'是菱形
又•.,/AD'A'=/BA'B',ZAA'D'+ZAD'A'=90°
ZAA'D'+ZBA'B'=90°
•;/D'A'B'=180°—(ZAA'D'+ZBA'B')=90°
,四边形A'B'C'D'是正方形
伊!J3:如图:EG、FH过正方形ABCD的对角线的交点O,EGJ_FH,求证四边形EFGH为正方形
解答:,/正方形ABCDEGXFH
.•./OAH=NOBE=45。,DB=ACOA=OB,ZAOH=90s-ZAOE=ZBOE,
』AOHg/BOE(ASA).:.OH=OE.
同理OE=OF=OG=OH,
四边形EFGH是平行四边形FH=EG
VEG±FH四边形EFGH为正方形。
2、巩固练习
1、如图,分别延长等腰直角AOAB的两条直角边AO和BO,使AO=OC,BO=OD
求证:四边形ABCD是正方形
2、矩形ABCD中,四个内角的平分线组成四边形EMFN,判断四边形EMFN的形状,并说明原因:
3、判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题?
对角线相等的菱形是正方形。()
②、对角线互相垂直的矩形是正方形。()
③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。()
至、四条边都相等的四边形是正方形。()
⑤、四个角都相等的四边形是正方形。()
⑥、四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形。()
⑦、正方形一定是矩形。()
⑧、正方形一定是菱形。()
⑨、菱形一定是正方形。()
⑩、矩形一定是正方形。()
4、已知:如图,正方形四W中,CM-CD,MNYAC,连结况则/比3=4B,N/快=________ZB.
5、在正方形/四中,49=12cm,对角线劭相交于〃,则△力8〃的周长是()
A.12+1272B.12+672C.12+V2D.24+6百
3、作业
1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=CA,连接AE交CD于F,求NAFO的度数。
变式:1、已知如下图,正方形{及力中,£是刃边上的一点,尸为比1延长线上一点,C4CF.
(1)求证:(2)若/庞白60°,求/田叨的度数.
2:如图,£为正方形力及力的阅边上的一点,CG平分N&T,连结力£,并在CG上取一点G,使£白/£求证:AELEG.
3、户为正方形四内一点,PA=\,PB=2,抬3,求/力阳的度数.
4、(海南省)如图,户是边长为1的正方形四切对角线/C上动点(一与4、。不重合),点£在射线6C上,且
PE=PB.
(1)求证:①PE=PD;②PE1PD;
(2)设44x,△小的面积为y.求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
AD
P
5、如图,四边形ABCD为正方形,以AB为边向正方形外作等边三角形ABE,CE与DB相交于点F,则ZAFD=
6、(哈尔滨)若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的
一边于点F,且BF=AE,则BM的长为。
7、.正方形的面枳是则其对角线长是—.
&£为正方形465内一点,且△傲7是等边三角形,求N必〃的度数.
9、如图,正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点O是正方形ABCD的中心,正方形OMNP绕O点旋转,
证明:无论正方形OMNP旋转到何种位置,这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值,并求这个定值.
10、E是正方形ABCD对角线AC上一点,后尸,CO,EG,A。,垂足分别为F、G,求证:BE=FG。
IE已知及□ABC中,ZC=90°,CD平分NACB,交AB于D,DF//BC,DE//AC,求证:四边形DECF为正方形。
第二章一元二次方程
§2,1认识一元二次方程
一.教学目标:
1、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力.
2、渗透“夹逼”思想
二.教学重点难点:用“夹逼”方法估算方程的解;求一元二次方程的近似解。
三.概念:(一)、一元二次方程定义
含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
(二)、一元二次方程的一般形式
a/+笈+。=0伍彳0),它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中a?
叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。
四.讲课过程
一、复习:
1、什么叫一元二次方程?它的一般形式是什么?一般形式:ax2+bx+c-0(a^0)
2、指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)2x2—x+l=0(2)—x2+l=0(3)x2—x=0(4)一mx'=0
二、新授:
1、估算地毯花边的宽。
地毯花边的宽x(m),满足方程(8-2x)(5-2x)=18
也就是:2X2-13X+11=0
你能求出x吗?
(1)x可能小于0吗?说说你的理由;x不可能小于0,因为x表示地毯的宽度。
(2)x可能大于4吗?可能大于2.5吗?为什么?
x不可能大于4,也不可能大于2.5,x>4时,5—2x<0,x>2.5时,5—2x<0.
(3)完成下表
X00.511.522.5
2X2-13X+11
从左至右分别11,4.75,0,—4,—7,—9
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴交流。
地毯花边1米,另,因8-2x比5-2x多3,将18分解为6X3,8-2x=6,x=l
2、例题讲析:
例:梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=10?
也就是X2+12X-15=0
(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(2)x的整数部分是几?十分位是几?
X00.511.52
x2+12x—15-15-8.75-25.2513
所以1<X<1.5
进一步计算
X1.11.21.31.4
X2+12X-15-0.590.842.293.76
所以1.
因此x的整数部分是1,十分位是1
注意:(1)估算的精度不适过高。(2)计算时提倡使用计算器。
三、巩固练习:
1、判断下列方程是否为一元二次方程,如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项:
(1)2X2+3X+5(2)(x+5)(x+2)=x2+3x+l
(3)(2x-l)(3x+5)=-5(4)(3x+l)(x-2)=-5x
2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
3、关于x的方程(k-3)X2+2X-1=0,当k时,是一元二次方程。
4、试找出五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和:
如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为、、
、,根据题意可得方程:_____________________________________________
判断下列方程哪些是一元二次方程
(1)4xJ—5x—l=x(2)9x'—5=0(3)—+x—5=3
x
Y
(4)ax'+(b—l)x+c=O(aWO)(5)5(x—l)2=5x2(6)—)=----1-1=0
V2-1
6、判断关于x的方程x?—nx(x—n—l)=5x是不是一元二次方程,如果是,指出其二次
项系数,一次项系数及常数项。
7、如果关于x的一元二次方程:x2—2(a+l)x+a2=0有两个整数根,a为整数,且12Va<60,求这个方程的两个根。
四、小结:估计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高。
五、作业:
1、五个连续整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方和,你能求出这五个连续整数吗?
2、一个面积为120平方米的矩形苗圃,它的长比宽多2米,求苗圃的周长?
3、一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作,并且调
整好入水姿势,否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系:
h=10+2.5t-5t2,那么他最多有多长时间完成规定的动作?
4、已知两个数的和为10,积为9,求这两个数。
5、把方程2x(x-3)=(x+l)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后,a,b,c的值分别是()
A.3、7、1B.2、-5、-1C.1、-5、-1D.3、-7、-1
1r2
6、方程①x?-l=x;②2x"y-l=0;③3x?-2+1=0;④上=1中.其中是一元二次方程的是()
x5
A.①④B.①③④C.①D.©(2)
7、方程x?=x的解是()
A.lB.1或-1C.0D.1或0
8、在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形图。如果要使整个挂图的面积是
5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么满足的方程是()
A.x2+130x-1400=0B.X2+65X-350=0
C.X2-130X-1400=0D.X2-65X-350=0
9、一元二次方程的一般形式是,二次项是,一次项系数是。
10、方程3(x2/尸x的二次项系数是,一次项是,常数项是。
11、根据题意,列出方程:
(1)有一面积为54平方米的长方形,将它的一边剪短5米,另一边剪短2米,恰好变成一个正方形,这个正
方形的边长是多少?
(2)三个连续的整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少?
12、把卜一列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
方程一般形式二次项系数一次项系数常数项
3x=5x-l
(x+2)(x-l)=6
4-7x2=0
13、关于x的方程(k2-l)x+2(k-1)x+2k+2=0
当k时是一元二次方程;当k时是一元一次方程。
14、关于x的方程(k-3)x2+(m-3)x-l=0,是•元二次方程。则k和m的取值范围分别为什么?
2
15、把下列方程化成一般形式,并写出它的二次项、一次项、常数项:
(1)9X2-4X=5(2)(X—7)(4X+3)=(X—1)2
§2、2用配方法求解方程
-.教学目标:
1、会用开平方法解形如(x+m)2=n(nN0)的方程;
2、理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程;
3、体会转化的数学思想,用配方法解一元二次方程的过程。
二.教学重难点:理解并掌握配方法,能够灵活运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。如何利用等式的性
质进行配方?
三.概念:
1.配方法:通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二闪方程的方法称为配方法
2.配方法一般步骤:
(1)方程奴2+bx+c=O(a#O)两边同时除以a,将二次项系数化为1.
(2)将所得方程的常数项移到方程的右边。
(3)所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方
(4)配方,化成(x+a)2=b
(5)开方。当bNO忖,x=-a±4b;当b<0时,方程没有实数根。
四.教学程序:
一、复习:
1、解下列方程:
(1)X2=9(2)(X+2)2=16
2、什么是完全平方式?
利用公式计算:
(1)依+6尸(2)(x-1)2
注意:它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
3、解方程:(梯子滑动问题)
X2+12X-15=0
二、新授:
1、引入:像上面第3题,我们解方程会有困难,是否将方程转化为第1题的方程的形式呢?
2、解方程的基本思路(配方法)
如:x?+12x-15=0转化为
(X+6)2=51
两边开平方,得
x+6=±V51
.,.X|=V51-6x2=-,石-6(不合实际)
因此,解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边
是一个常数,当n20时,两边开平方便可求出它的根。
3、讲解例题:
例1:解方程:X2+8X-9=0
分析:先把它变成(x+m^n(n^O)的形式再用直接开平方法求解。
解:移项,得:X2+8X=9
配方,得:X?+8X+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方)
即:(X+4)2=25
开平方,得:x+4=±5
即:x+4=5,或x+4=-5
所以:Xi=l,X2=-9
三、巩固练习:
1、解下列方程:
(1)(2-x)J3(2)(x-V2)2=64(3)2(x+1)--
(4)X2-8X+9=0
2、配方:填上适当的数,使下列等式成立:
)x2+12x+.=(x+6)'
(2)X2-12X+=(X-)2
(3)x?+8x+=x+)2
3、若x:4,贝(Ix=.若(x+l)2=4,则X=.若x?+2x+l=4,贝ijx=.若x,+2x=3,则x=
4、填上适当的数,使下列等式成立:
X2+12X+=(X+6)2;
X2~4X+=(x-)";
X2+8X+=(x+)2.
5、利用配方法快速解下列两个方程:
X2+2X-35=05X-15X-10=0
6、方程y2-4=2y配方,得()
A.(y+2)2=6B.(y-l)2=5C.(y-l)2=3D.(y+l)2=-3.
四、小结:
(1)什么叫配方法?
(2)配方法的基本思路是什么?
(3)怎样配方?
五、作业:
1、如图,在一-块长35m、宽26m的矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩
余部分种花草,要使剩余部分面积为850mz,道路的宽应为多少?
(第1题)
2、解下列方程:
(1)X2+12X+25=0(2)x、4x=10(3)X2-6X=11
(4)x-2x-4=0(5)x-4x-12=0(6)x-10x+25=7
(7)X2+6X=1(8)X2-6X-40=0(9)X2-6X+7=0
(10)X2+4X+3=0
4、当x取何值时,代数式10-6X+X?有最小值,是几?
5、配方法证明,-12y+42的值恒大于0o
6、(1)x"~4x+=(x-)"';(2)x2--x+=(x-)
3
7、方程--12x=9964经配方后得(x-)'
8、方程(x+m)%1的根是_________________________
9、当x=T满足方程x-2(a+1)2X-9=0忖,a=
10、已知:方程(m+1)x~a'+(m_3)xT=0,试问:
(1)m取何值时,方程是关于x的一元二次方程,求出此时方程的解;
(2)m取何值时,方程是关于x的一元一次方程
11>关于X的一元二次方程(a+1)x、3x+a2-3a-4=0的一个根为0,则a的值为()
A、-1B、4C、T或4D、1
12、不论x、y为什么实数,代数式x2+y、2x-4y+7的值()
A、总不小于2B、总不小于7C、可为任何实数D、可能为负数
§2、2用公式法求解一元二次方程
-.教学目标:
1、能够熟练地、灵活的应用配方法解一元二次方程。
2、进--步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。
3、培养观察能力运用所学旧知识解决新问题。
二.教学重点、难点:能够熟练的应用配方法解一元二次方程和两种方法的选用。用求根公式解简单数字系数的一
元二次方程。对求根公式的推导过程的理解
三.概念:
1.公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
—b+JA~一
2.一元二次方程ax2+次+c=O(«H0)的求根公式:x=——.......(b2-4ac>0)
2a
四.教学程序:
一、复习:上节课我们学过的解一元二次方程的基本思路是什么?其关键是什么?
二、新授:
1、例题讲析:
例1利用公式法解方程X2-7XT8=0
分析:此方程中哪些数字相当于ax'bx+c=0(aWO)中的a、b、c?试写出解方程的完整过程。
例2对于问题:k取何值时,k/+3x+4=0有两个不相等的实数根,下面的解法是否正确?若不正确,请给出
正确解法。
解:VA=32-4•k•4=9-16k
9
令9T6k>0,则k〈一
16
o
即当k〈二时,方程kxZ+3x+4=0有两个不相等的实数根。
16
2、用公式法解元
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