【新教材教案】4.2.1等差数列的概念

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的

概念及其性质

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作

用。-方面，数列作为-种特殊的函数与函4.2.1等差数列的概念(1)

教材分析

数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好

准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础

上，对数列的知识进一步深入和拓广。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.理解等差数列的概念1.数学抽象：等差数列的概念

B.掌握等差数列的通项公式及应用2.逻辑推理：等差数列通项公式的推导

C.掌握等差数列的判定方法3.数学运算：通项公式的应用

4.数学建模：等差数列的应用

重点难点

重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用

难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、导语

我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解

了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇

偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且通过导语，通过对函

掌握了基函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模数学习的回顾，帮助学

型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊生类比，展望数列学习

变化规律的数列，建立它们的通项公式和前的路线。发展学生数学

13

n项和公式，并应用它们解决实际问题和数..抽象、数学运算、数学

学问题，从中感受数学模型的现实意义与应—建模的核心素养。

用，下面，我们从一类取值规律比较简单的::

数列入手。••

二、新知探究

1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形

的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到

外各圈的示板数依次为

9,18,27,36,45,54,63,72,81①

通过具体问题的思

3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离

考和分析，归纳总结，

地面20米起每升高10（）米处的大气温度（单位。C）依次为

抽象出等差数列的概

25,24,23,22,21③

念。发展学生数学抽象

4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r,

和数学建模的核心素

那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金（b=?）

养。

元，每月支付给银行的利息（单位:元）依次为

ar,ar—br,ar—2br,ar—3br...,④

在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指

数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规

律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？

1.等差数列的概念

如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的

差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数

文字语言

歹IJ,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字

母d表示

符号语言斯+1一四="(4为常数，〃GN*)

2.等差中项

(1)条件：如果a,A,6成等差数列.

(2)结论：那么A叫做。与。的等差中项.

(3)满足的关系式是a+b=2A.

1.判断(正确的打“Y”,错误的打“x”).

(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个

数列是等差数列.()

(2)数歹1」0,0,0,0,…不是等差数歹U.()

(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项

和后一项的等差中项.()

x；x；q

问题探究

思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？

设一个等差数列｛5｝的首项为内,公差为d,根据等差数列的定义，可得

an+l-an=d

所以-的=d,<23-。2=a,Q4-。3=d,...

通过等差数列通项

于是a2=%+d,

公式的推导，。发展学

=d=(Q]+d)+d=Q]+2d,生数学抽象、逻辑推理

和数学建模的核心素

a4=a3+d=(a1+2d)+d=at+3d,...

养。

归纳可得a“=%+(n-1)d(n>2)

当n=1时，上式为%=。1+(1-1)d=alt这就是说,上式当时也成

立。

因此，首项为由,公差为d的等差数列｛即｝的通项公式为an=a1+(n-

1)d

思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有

其它方法吗？如何操作？

［提示］还可以用累加法，过程如下：

♦：a2-ai=d,

。3-a2=d,

ci4-。3=d,...

an—an-\=J(n>2),

将上述(〃-1)个式子相加得

an—a\=(n—1)J(n>2),

・••斯=。1+(〃-1)d(论2),

当〃=1时，〃1=〃］+(1—l)d,符合上式，

从函数角度认识等差数列｛〃｝

n

若数列｛斯｝是等差数列，首项为公差为d,

则斯=/(〃)=〃］+(〃-l)d=nd~\-(a\~d).

⑴点(〃，%)落在直线产公+3—力上；0aMW的小-d)

(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加:

df

2.判断正误(正确的打“小，错误的打“X”)寸岁

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的j/;

“/(I闻，t

前一项的差都是常数，则这个数列是等差月.1：1■

123456x

数列.()

(2)等差数列｛〃｝的单调性与公差d有关.()

n

(3)若三个数。，b,c满足26=«+c,则a,b,c一定是等差数

歹九()

解析：(1)错误.若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；

若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列.

(2)正确.当上0时为递增数列；d=0时为常数列；

火0时为递减数列.

(3)正确.若b,c满足2b=a+c,B|Jb~a=c—b,

故a,b,c为等差数列.

［答案］(1)X(2)4(3)<

3.在等差数列｛④｝中，的=2,3=6.5,则“7=()

A.22B.24C.26D.28

D57=43+4"=2+4乂6.5=28,故选D」

通过典型例题，加深

4.如果三个数2a,3,。一6成等差数列，则。的值为()

学生对等差数列及其通

A.-1B.1C.3D.4

D[由条件知2a+(a-6)=3x2,解得。=4.故应选D.]项公式的理解和运用，

三、典例解析发展学生逻辑推理，直

观想象、数学抽象和数

例1.(1)已知等差数列｛are｝的通项公式为婆=5-2n,求｛即｝公差

学运算的核心素

和首项；

(2)求等差数列8,5,2…的第20项。

分析(1)已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由

斯+1-即=d,即可求出公差d,(2)可以先根据数列的两个已知项

求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项

解：当nN2时,由｛即｝的通项公式为即=5-2n,

可得即-1=5-2(n-1)=7—2n.

于是d=an_1=(5-2n)-(7—2n)~—2.

把代入通项公式即=5—2n,可得%=3

(2)由已知条件，得d=5-8=-3

把%=8,d=—3代入an=a1+(n—1)d,得

an=8—3(n-1)=11—3n,

把九=20代入上式，得

a2Q=11—3x20=-49,

所以，这个数列的第20项是-49

求通项公式的方法

(1)通过解方程组求得a,d的值，再利用a=a+(〃-l)d写出通项

1n1

公式，这是求解这类问题的基本方法.

(2)已知等差数列中的两项，可用〃=直接求得公差，

再利用“—a+(〃—“)”写出通项公式.

nm

(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过。是关于〃的一次函

H

数形式，列出方程组求解.

跟踪训练1.(1)在等差数列｛〃｝中,已知a=10,a=31,求首项

512

a与公差d.

i

(2)已知数列｛〃｝为等差数列,a=8a=20,求a.

n156075

解：(1)设等差数列伍“｝的公差为d.

m+44=10,

:45=10，〃12=31,则

qi+lld=31,

a\=-2,

解得

d=3.

・・・这个等差数列的首项0=-2,公差d=3.

(2)法一：设等差数列｛斯｝的首项为外，公差为d,

(64

a】+14d=8,0=丘

则由题意得解得《

M+59"=20,"=卷

644

故〃75=0+741=正+74x正=24.

一,,.20-84

法一：.460=05+(60—15)4,••"=60—15=1?

4

/./5=。60+(75-60)d=20+15x—=24.

法三：已知数列｛斯｝是等差数列，可设斯=如+4

15左+6=8,

由。15=8,。60=20得，解得•

60攵+6=20,

b=4.

4

/.6f75=75x—+4=24.

例2(1)已知m和2n的等差中项是8,2m和〃的等差中项是10,则

相和〃的等差中项是.

通过典型例题，帮助

h+ca-\-ca+h

(2)已知!是等差数列，求证:也是等差数列.

ab，灵活运用等差数列的中

［思路探究］(1)列方程组求解机，〃求〃?，〃的等差中项项性质，发展学生逻辑

⑵推理，直观想象、数学

抽象和数学运算的核心

素养。

fm+2〃=8x2=16,

(1)6［由题意得］

［2m+〃-10x2—20,

・.3(〃?+〃)一20+16—36,.—12,・・?—6.］

(2)［证明］吟《成等差数列，

211

即2ac=b(a+c).

,,b-\-c,a+bcb-\-c-\-aa+b

•

acac

c^+c1+ba+ca2+c2+2ac2。+/2a+c

acacba+c~h'

号,号,审成等差数列.

等差中项应用策略

1.求两个数x,），的等差中项，即根据等差中项的定义得A—"?.

2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，

即若“，b,c成等差数列，则有a+c=28；反之，若a+c=24贝U

a,b,c♦成等差数列.

跟踪训练2.在一1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数

成等差数列，求此数列.

［解］V-l,a,b,c,7成等差数列，

是一1与7的等差中项,

-1+7

••o2~3■

又。是一1与3的等差中项，

—1+3

••ci-2—1.

又。是3与7的等差中项，

・3+7

••c-2-5・

,该数列为：-1,1,3,5,7.

三、达标检测

1.数列｛斯｝的通项公式为斯=5—3〃，则此数列（）

通过练习巩固本节所

A.是公差为一3的等差数列B.是公差为5的等差数列

学知识，通过学生解决

C.是首项为5的等差数列D.是公差为〃的等差数列

问题，发展学生的数学

［等差数列的通项公式a=a］+(n—l)d可以化成a=dn+(a\—

AHn运算、逻辑推理、直观

d).对比—3〃+5.故公差为一3.故选A.]

想象、数学建模的核心

2.等差数列｛〃〃｝中，已知〃2=2,6/5=8,则〃9=()

素养。

A.8B.12C.16D.24

C［设等差数列｛斯｝的首项为⑶，公差为d,

ci\+d~~2,

则由42=2,。5=8,得，

ai+4d=8,

解得勿=0,d=2,所以々9=4i+8d=16.故选C.]

3.已知干,b=小)审,则“，〃的等差中项为

a+b小-也小-也+小+地

=小」

小I~2^=2=2

4.在等差数列｛〃｝中，已知。=11,a=5,则。=

n5810

解析：(方法一)设aH=a\+(n—1)J,

(。5=41+(5-1)",

则

[〃8=0+(8—l)d,

“1=。1+44,“1=19,

即解得

〔5=m+7d,d=-2.

=

an—2〃+21(〃£N").

・・・0o=-2X10+21=1.

(方法二)设公差为d,

・・・。8=的+(8-5)Xd,

・)—_

••a2，,

・'・。io=。8+(10—8)Xd=1.

(方法三)设an=An+B,

[〃5=5A+B,