2024河南中考数学复习 轴对称与折叠 强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习轴对称与折叠强化精练基础题1.(2023甘肃省卷)如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为()第1题图A.2B.4C.5D.62.如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的边OB在x轴上，∠AOB＝60°，B(4，0)，点D，E分别是边OB，OA上的点．将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，若AE＝AF，则点F的坐标为()第2题图A.(2eq\r(3)，2eq\r(3))B.(2eq\r(3)，4)C.(3，4)D.(2eq\r(3)，3)3.(2023绍兴)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°.动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()第3题图A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形4.(2023宜昌)如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A′EBC的周长为________．第4题图5.如图，正方形ABCD的边长为4，点F为CD边的中点，点P是AD边上不与端点重合的一动点，连接BP.将△ABP沿BP翻折，点A的对应点为点E，则线段EF长的最小值为________．第5题图拔高题6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，点E是边BC上一点，且BE＝5，点F是边AB上一动点，连接EF，作点B关于直线EF对称的点P，连接BP，EP，FP，当点P恰好在直角△ABC直角边的垂直平分线上时，BP的长为________．第6题图7.(2023齐齐哈尔)矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为________.参考答案与解析1.B【解析】∵由折叠的性质可得，四边形EFGH是菱形，∴FH＝AB＝2，EG＝BC＝4，∴S菱形EFGH＝eq\f(1,2)FH·EG＝eq\f(1,2)×2×4＝4.2.A【解析】如解图，过A作AH⊥OB于点H，过A作AG⊥EF于点G，∵四边形AOBC是菱形，B(4，0)，∴OA＝OB＝4，∵∠AOB＝60°，∴∠OAH＝30°，∠OAC＝120°，∴OH＝eq\f(1,2)OA＝2，AH＝eq\r(3)OH＝2eq\r(3)，∴A(2，2eq\r(3))，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，EG＝eq\f(1,2)EF，∴cos30°＝eq\f(EG,AE)，即eq\f(\r(3),2)＝eq\f(EG,AE)，∴EG＝eq\f(\r(3),2)AE，∴eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)AE，∴EF＝eq\r(3)AE，由折叠的性质得OE＝EF＝eq\r(3)AE，∵OE＋AE＝OA＝4，∴eq\r(3)AE＋AE＝4，解得AE＝2eq\r(3)－2，∴AF＝2eq\r(3)－2，∵A(2，2eq\r(3))，AF∥x轴，∴F(2eq\r(3)，2eq\r(3)).第2题解图3.A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠ABD＝60°，∴AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝90°－60°＝30°，∵OE＝OF，OB＝OD，∴DF＝EB，由对称的性质得DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，∴E1F2＝E2F1.由对称的性质得∠F2DC＝∠CDF＝60°，∴∠EDA＝∠E1DA＝30°，∴∠E1DB＝60°，同理∠F1BD＝60°，∴DE1∥BF1，∵E1F2＝E2F1，∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，如解图①所示，当E，F，O三点重合时，DO＝OB，∴DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2，∴四边形E1E2F1F2是菱形；如解图②所示，当E，F分别为OB，OD的中点时，在Rt△ABD中，设AB＝2，则AD＝2eq\r(3)，BD＝4，连接AE，AO，∵∠ABO＝60°，BO＝2＝AB，∴△ABO是等边三角形，∵E为OB中点，∴AE⊥OB，BE＝1，∴AE＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).根据对称性可得AE1＝AE＝eq\r(3)，∴AD2＝12，DEeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝9，AEeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝3，∴AD2＝AEeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋DEeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，∴△DE1A是直角三角形，且∠E1＝90°，四边形E1E2F1F2是矩形；如解图③所示，当F，E分别与D，B重合时，易得△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2是菱形，∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形．图①图②图③第3题解图4.16【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠AED＝∠A′DE，由折叠得∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，AE＝A′E，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′D＝A′E，∴AB－AE＝CD－A′D，∴A′C＝BE，∴四边形A′EBC是平行四边形，∴四边形A′EBC的周长＝2(A′C＋A′E)＝2(A′C＋A′D)＝2CD＝16.5.2eq\r(5)－4【解析】如解图，连接BF，∵四边形ABCD是边长为4的正方形，∴∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝4，∵点F为CD边的中点，∴CF＝DF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×4＝2，∴在Rt△BCF中，BF＝eq\r(BC2＋CF2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∵将△ABP沿BP翻折，点A的对应点为点E，∴EB＝AB＝4，∵EF＋EB≥BF，∴EF＋4≥2eq\r(5)，∴EF≥2eq\r(5)－4，∴EF的最小值为2eq\r(5)－4.第5题解图6.2eq\r(15)或2eq\r(5)【解析】由题意得，△FPE与△FBE关于直线EF对称，∴PE＝BE＝5，如解图①，当点P在BC的垂直平分线上时，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝eq\f(1,2)BC＝6，EQ＝BQ－BE＝1，∠PQB＝90°，∴PQ＝eq\r(PE2－EQ2)＝eq\r(52－12)＝2eq\r(6)，在Rt△BPQ中，BP＝eq\r(BQ2＋PQ2)＝eq\r(62＋（2\r(6)）2)＝2eq\r(15)；如解图②，当点P落在边AB的垂直平分线上时，且点F在线段AB上时，过点P作PN⊥BC于点N，则PN＝eq\f(1,2)AB＝4，∠PNB＝∠PNE＝90°，在Rt△PEN中，EN＝eq\r(PE2－PN2)＝eq\r(52－42)＝3，∴BN＝BE－EN＝2，BP＝eq\r(PN2＋BN2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，当点P′落在边AB的垂直平分线上时，同理可得BN′＝5＋3＝8，∴BP′＝eq\r(（P′N′）2＋BN′2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)，此时点F′在BA的延长线上，故舍去．综上所述，BP的长为2eq\r(15)或2eq\r(5).第6题解图7.eq\f(15,4)或eq\f(3\r(5),2)【解析】由折叠的性质可知，BE＝EM，BF＝FM，EF⊥BM，∴∠EMB＝∠EBM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EMB＝∠CBM，∴∠EBM＝∠CBM，∴BE＝BF，∴四边形EBFM是菱形，设AE＝a，已知DM＝1，AB＝3，BC＝5，①如解图①，当点M在线段AD上时，则EM＝BE＝4－a，BM＝eq\r(AB2＋AM2)＝eq\r(32＋42)＝5.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即32＋a2＝(4－a)2，解得a＝eq\f(7,8)，∴BE＝EM＝BF＝eq\f(25,8)，∴eq\f(1,2)·BM·EF＝AB·BF，即eq\f(1,2)×5EF＝3×eq\f(25,8)，解得EF＝eq\f(15,4)；②如解图②，当点M在AD的延长线上时，EM＝BE＝6－a，AM＝6，在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即32＋a2＝(6－a)2，解得a＝eq\f(9,4)，∴BF＝BE