2024河南中考数学复习 点、直线与圆的位置关系 强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习点、直线与圆的位置关系强化精练基础题1.如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是()第1题图A.相切B.相交C.相离D.平行2.(2023重庆A卷)如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝3，则OC的长度是()第2题图A.3B.2eq\r(3)C.eq\r(13)D.63.(2023武汉)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,3)，则sinC的值是()第3题图A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(\r(7),4)4.(2023滨州)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为________．第4题图5.(2023徐州)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝2eq\o(BD,\s\up8(︵)).连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB＝68°，则∠DEB＝________°.第5题图6.(2023福建)如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC.(1)求证：AO∥BE；(2)求证：AO平分∠BAC.第6题图7.(2023新乡一模)如图，点D为⊙O上一点，BE为⊙O的直径，延长BE到点A，连接BD，AD，并过点B作BC⊥AD，交⊙O于点F，交AD的延长线于点C，已知BD恰好为∠CBA的平分线．(1)求证：AC为⊙O的切线；(2)若BC＝2，AB＝6，求线段BF的长．第7题图拔高题8.(2021包头)如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC.若OC＝AB，则▱ABCD的周长为________．第8题图9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E，连接OE.第9题图(1)求证：DE＝AE；(2)若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．10.(2023无锡)如图，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，过点D的切线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD.(1)求∠F的度数；(2)若DE·DC＝8，求⊙O的半径．第10题图【解题关键点】连接AD，证△ACD∽△EAD是解题的关键．参考答案与解析1.B2.C【解析】如解图，连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝2eq\r(3)，∴OB＝eq\f(\r(3),3)AB＝2，∵BC＝3，∴OC＝eq\r(BC2＋OB2)＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13).第2题解图3.B【解析】如解图，连接DB，DE，设AB＝m，∵eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,3)，∴CD＝3AB＝3m，∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵⊙D与BC相切于点E，∴BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD＝3m，∴CE＝CB－EB＝3m－m＝2m，∵∠CED＝90°，∴DE＝eq\r(CD2－CE2)＝eq\r(（3m）2－（2m）2)＝eq\r(5)m，∴sinC＝eq\f(DE,CD)＝eq\f(\r(5)m,3m)＝eq\f(\r(5),3).第3题解图4.62°或118°【解析】如解图，连接CA，BC，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠AOB＋∠PAO＋∠PBO＋∠APB＝360°，∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠PBO－∠APB＝360°－90°－90°－56°＝124°，当点C在优弧AB上时，由圆周角定理知，∠ACB＝eq\f(1,2)∠AOB＝62°；当点C在劣弧AB上时，由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，综上所述∠ACB的大小为62°或118°.第4题解图5.66【解析】如解图，连接OC，OD，∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴OB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∵∠AFB＝68°，∴∠BAF＝90°－∠AFB＝22°，∴∠BOD＝2∠BAF＝44°，∵＝2，∴∠COA＝2∠BOD＝88°，∴∠CDA＝eq\f(1,2)∠COA＝44°，∵∠DEB是△AED的一个外角，∴∠DEB＝∠BAF＋∠CDA＝66°.第5题解图6.证明：(1)∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，∴∠OAF＝∠CBE，∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE；(2)∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角，∴∠ABE＝∠ACE，∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，∴∠ABE＝∠OAC，由(1)知，∠OAB＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OAC，∴AO平分∠BAC.7.(1)证明：如解图①，连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠BDO，∴∠BDO＝∠CBD，∴BC∥OD，∵BC⊥AD，∴OD⊥AC，∵OD是⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线；第7题解图①(2)解：如解图②，连接EF，OD，∵∠BCA＝90°，BC＝2，AB＝6，∴sin∠CAB＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，设OB＝OD＝r，则OA＝6－r，∵AC是⊙O的切线，∴∠ADO＝90°，∴sin∠CAB＝sin∠DAO＝eq\f(OD,OA)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(r,6－r)＝eq\f(1,3)，解得r＝eq\f(3,2)，∴OB＝OD＝eq\f(3,2)，BE＝3，∵BE为⊙O的直径，∴∠BFE＝90°，∵∠C＝90°，∴FE∥CA，∴∠FEB＝∠CAB，∴sin∠FEB＝eq\f(1,3)，即eq\f(BF,BE)＝eq\f(1,3)，∴BF＝1.第7题解图②8.24＋6eq\r(5)【解析】如解图，连接OE，过点A作AF⊥BC于点F，∵BE为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OEB＝90°，∴AF∥OE，由题可知AD∥BC，∴四边形AFEO为矩形．∵∠OEF＝90°，OE＝OA，∴矩形AFEO为正方形，∴AF＝EF＝OE＝AO＝eq\f(1,2)AD＝6.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD＝12.又∵AB＝OC，∴Rt△ABF≌Rt△OCE，∴BF＝CE＝eq\f(1,2)×(BC－EF)＝3，在Rt△OCE中，OC＝eq\r(OE2＋CE2)＝3eq\r(5)，∴AB＝CD＝OC＝3eq\r(5)，∴▱ABCD的周长为(12＋3eq\r(5))×2＝24＋6eq\r(5).第8题解图9.(1)证明：如解图①，连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠DBO＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠DBO，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE；(2)解：如解图②，连接CD，由(1)知，AE＝DE，∵BC为⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∠BDC＝90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝AE＋EC＝10，∵∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝10，∴CD＝6，设BD＝x，则AB＝AD＋BD＝8＋x，在Rt△BDC和Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝BD2＋CD2，BC2＝AB2－AC2，∴x2＋62＝(8＋x)2－102，解得x＝eq\f(9,2)，∴BC＝eq\r(x2＋62)＝eq\r(（\f(9,2)）2＋62)＝eq\f(15,2).第9题解图10.解：(1)如解图，连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°.∵DF∥AB，∴∠AOD＝180°－∠ODF＝90°.∴∠ACD＝eq\f(1,2)∠AOD＝45°.∵CF＝CD，∴∠F＝∠CDF＝eq\f(1,2)(180°－∠ACD)＝67.5°