专题 转化思想在两种题型中的应用 中考数学

专题16转化思想在两种题型中的应用通用的解题思路：转化思想方法包含三个基本要素:1、把什么东西转化，即转化的对象;2、转化到何处去，即转化的目标;3、如何进行转化，即转化的方法。转化思想方法应遵循以下五条原则:1、熟悉化原则:将陌生的问题转化成熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决;2、简单化原则:将复杂问题转化成简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据:3、和谐化原则:转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律:4、直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决;5、正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决或证明的可能性。题型一：圆中的转化思想1．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：，；（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：；（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则．2．（2024•介休市模拟）阅读与思考如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务．平面直角坐标系与直角三角形年月日星期三原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论．口诀：“两线一圆”作图：举例如下：已知、，在直线上求点，使得为直角三角形．以下分三种情况讨论：情况一：当为直角顶点时，过点作的垂线交直线于点，则交点即为所求点．如图①，有一个点；情况二：当为直角顶点时，过点作的垂线交直线于点，则交点即为所求点．如图②，有一个点；情况三：当为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点．如图③，有，两个点；方法：一、几何法：构造“型”或“一线三垂直”相似；二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点．任务：（1）上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出两个即可）；．数形结合．统计思想．分类讨论．转化思想（2）选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标．（3）直接写出“情况二”中的坐标；（4）请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）．3．（2023•吴川市二模）已知：的直径，是的中点，是上的一个动点（不与点、、重合），射线交射线于点．（1）如图1，当时，求线段的长；（2）如图2，当点在上运动时，连接、，中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；（3）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求与面积的比值．4．（2023•微山县二模）如图，中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，以为半径的圆经过点，交于点，交于点．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．5．（2023•花都区一模）如图，是的外接圆，直径，，平分交于点．（1）尺规作图：在的延长线上取一点，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中：①证明：是的切线；②求的值．6．（2023•阿城区模拟）已知：、是的直径，弦，垂足为，过点的切线与的延长线交于点，连接．（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点作交于点，垂足为，求证；（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长与的延长线交于点，连接，若，，求的长．7．（2023•松江区二模）如图1，是半圆的直径，是半圆上一点，点与点关于直线对称，射线交半圆于点，弦交于点、交于点．（1）如图2，恰好落在半圆上，求证：；（2）如果，求的值：（3）如果，，求的长．8．（2023•碑林区校级模拟）如图①，已知线段与直线，过、两点，作使其与直线相切，切点为，易证，可知点对线段的视角最大．问题提出（1）如图②，已知的外接圆为，与相切于点，交的延长线于点．①请判断与的大小关系，并说明理由．②若，，求的长．问题解决（2）如图③，一大型游乐场入口设在道路边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现实情况，相关部门准备在与地面道路夹角为的射线方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一个位置，并架设斜杆，在斜杆的中点处安装一摄像头，对入口实施监控（其中点、、、、、、在同一平面内），已知米，米，调研发现，当最大时监控效果最好，请问在射线上是否存在一点，使得达到最大？若存在，请确定点在上的位置及斜杆的长度；若不存在，请说明理由．9．（2021•滨城区一模）如图，在中，，，点在上，以为直径的经过点．（1）求证：①是的切线；②；（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．10．（2022•雁塔区校级四模）（1）如图①，在中，，，，求外接圆的半径；（2）如图②，是一个半径为200米的圆形广场，弦是广场上一个长为米的纳凉演绎舞台，现计划在广场上建一个长为200米的手工艺集市，并在舞台和集市之间修建两个休闲长廊和，规划长廊、舞台、集市围成四边形为活动区域，那么能否在优弧上确定两点、，使得长廊最长？若能，请求出的最大值，并计算此时的度数及四边形的面积；若不能，请说明理由．11．（2022•青秀区校级一模）如图，是的直径，是弦，点在圆外，于点，交于点，连接、、，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．

题型二：函数中的转化思想1．（2021•南岸区校级模拟）初中阶段的函数学习中，我们经理了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下我们研究函数性质及应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）下表是与的几组值，请在表格中的空白处填上恰当的数字；0134504（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象；（3）观察函数的图象，请写出函数的一条性质：．（4）若方程为常数）有三个实数解，则的取值范围为．2．（2021•望奎县模拟）自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：．解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当，或时函数图象位于轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：，或．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式的解集为．（3）用类似的方法解一元二次不等式：．3．（2024•全椒县一模）如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点．（1）求点和点的坐标；（2）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值．4．（2023•沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，，，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）若点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标；（3）若为轴上的一个动点，连接，直接写出的最小值；（4）若点是抛物线对称轴上的一个动点，连接，，设点的纵坐标为，当不小于时，求的取值范围．专题16转化思想在两种题型中的应用通用的解题思路：转化思想方法包含三个基本要素:1、把什么东西转化，即转化的对象;2、转化到何处去，即转化的目标;3、如何进行转化，即转化的方法。转化思想方法应遵循以下五条原则:1、熟悉化原则:将陌生的问题转化成熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决;2、简单化原则:将复杂问题转化成简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据:3、和谐化原则:转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律:4、直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决;5、正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决或证明的可能性。题型一：圆中的转化思想1．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：，；（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：；（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；（3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论；（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点，利用勾股定理计算出，再利用第3小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出．【解答】解：（1），，理由如下：如图1所示：和都是等腰三角形，，，又，，，，，，；（2），，理由如下：如图2所示：证明：，，即，又和都是等腰三角形，，，，，，，，；（3），理由如下：如图3所示：和都是等腰三角形，，，，，即：，，，，，，，，；（4）如图4所示：连接，以为直径作圆，由题意，取满足条件的点，，则．，，，连接，作于点，在上截取，，，，，，，由（3）可得：，，，同理可得：，故的面积为：或．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．2．（2024•介休市模拟）阅读与思考如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务．平面直角坐标系与直角三角形年月日星期三原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论．口诀：“两线一圆”作图：举例如下：已知、，在直线上求点，使得为直角三角形．以下分三种情况讨论：情况一：当为直角顶点时，过点作的垂线交直线于点，则交点即为所求点．如图①，有一个点；情况二：当为直角顶点时，过点作的垂线交直线于点，则交点即为所求点．如图②，有一个点；情况三：当为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点．如图③，有，两个点；方法：一、几何法：构造“型”或“一线三垂直”相似；二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点．任务：（1）上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出两个即可）；．数形结合．统计思想．分类讨论．转化思想（2）选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标．（3）直接写出“情况二”中的坐标；（4）请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）．【分析】（1）根据题意即可解答．（2）选几何法，先证三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解．（3）根据一线三等角的模型得出三角形相似，然后用相似三角形的性质即可解答，在求解过程中依据的定理是相似三角形的对应边成比例．【解答】解：（1）上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是数形结合和转化思想．故选：．（2）当为直角顶点时，过点作的垂线交直线于点，，，又，，△，，，，，，解得，的坐标为．（3）过作轴交轴于点，如图：则，当为直角顶点时，过点作的垂线交直线于点，，，．，△，，，，，，解得，的坐标为．（3）当为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点．，，与（2）同理可得△△，△△，，，设的坐标为，的坐标为，则，，，；，，，，，，解得，或（舍去），的坐标为，的坐标为，在求解过程中依据的定理是相似三角形的对应边成比例．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一线三垂直模型等，构造构造相似三角形是解题关键．3．（2023•吴川市二模）已知：的直径，是的中点，是上的一个动点（不与点、、重合），射线交射线于点．（1）如图1，当时，求线段的长；（2）如图2，当点在上运动时，连接、，中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；（3）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求与面积的比值．【分析】（1）连接、、，由勾股定理求出，由求出，则．（2）不变，连接，则，由圆内接四边形的对角互补得．（3）①当点在的延长线上时，证明是等边三角形，求出，由勾股定理求出，分别求出两个三角形的面积作比，即可得到结果．②当点在上时，设，证明，用表示出，由，列出关于的方程并求出，再求出两个三角形的面积即可得结果．③当点在上时，，长度没变，长度变了，依据②中的数值可求得结果．【解答】（1）解：如图1，连接、、，是的中点，是半径，，，，，，，，，，，，．（2）不变，．如图2，连接，是的中点，，是的直径，，，，．（3）解：①如图3，当点在的延长线上时，，，，是的中点，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，．②如图4，当点在上时，过点作于，，，，，，，，设，，，，由得，，，，，，，③如图5，当点在上时，，长度与②中相同，，，综上得，与面积的比值为：或或．【点评】本题考查了圆中垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形相似，勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练掌握各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．4．（2023•微山县二模）如图，中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，以为半径的圆经过点，交于点，交于点．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．【分析】（1）连接，利用及角平分线得即可；（2）连接，先利用计算、，然后证明求，再证明即可求．【解答】（1）证明：连接，是半径，，的平分线交于点，，，，，是的切线；（2）解：连接，，，，为直径，，，，，，，，，，，即：，解得：．【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定及性质，熟记性质定理并能灵活运用是解决本题的关键．5．（2023•花都区一模）如图，是的外接圆，直径，，平分交于点．（1）尺规作图：在的延长线上取一点，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中：①证明：是的切线；②求的值．【分析】（1）以为圆心，以的长为半径画弧，交的延长线于点即可．（2）①先证，再由是半径即可得结论．②先证，得出的长，再证即可．【解答】（1）如图1，以为圆心，以的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求．（2）①证明：是的直径，，，，，，，，平分，，，，又是半径，是的切线．②解：如图2，过点作，垂足为，，平分，，，，．，，，，，解得，，，，，，．【点评】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，把所学知识融会贯通，灵活运用是解题的关键．6．（2023•阿城区模拟）已知：、是的直径，弦，垂足为，过点的切线与的延长线交于点，连接．（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点作交于点，垂足为，求证；（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长与的延长线交于点，连接，若，，求的长．【分析】（1）利用切线的性质和可证，根据圆周角定理可得，即可得证；（2）利用垂径定理可得，，证明，得出，即可得证；（3）连接，过作于，延长交的延长线于点，设，，利用等角对等边可证，证明，可得，进而可证为正方形，利用等角的正切值相等可得，证明是等腰直角三角形，可得出，根据，，可求出，，，根据，即可求出．【解答】（1）证明：是切线，，，，，，，；（2）证明：，，，，，，，，，；（3）解：连接，过作于，延长交的延长线于点，，设，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，为直径，，，四边形为矩形，，矩形为正方形，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点评】本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的判定与性质、正方形形的判定与性质．7．（2023•松江区二模）如图1，是半圆的直径，是半圆上一点，点与点关于直线对称，射线交半圆于点，弦交于点、交于点．（1）如图2，恰好落在半圆上，求证：；（2）如果，求的值：（3）如果，，求的长．【分析】（1）连接，由点与点关于直线对称得到，证出是等边三角形，得出，即可得结论．（2）设的半径为，作于，则，求出，，，得到，再求出，得到，证出，得到，作比即可．（3）①当点在内部时，过点作于，于，由，得到，又，从而求得．②当点在外部时，同样方法求得的长．【解答】（1）证明：如图2，连接，点与点关于直线对称，，，，，，是等边三角形，，，，，．（2）解：如图3，设的半径为，则，作于，，，，在中，，，，，，，，点与点关于直线对称，，由对称性得，，，，．（3）解：①如图4，当点在内部时，，由对称性知，过点作于，于，，，，，．②如图5，当点在外部时，过点作于，于，则，，，又，，，．综上得，或．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角函数等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．8．（2023•碑林区校级模拟）如图①，已知线段与直线，过、两点，作使其与直线相切，切点为，易证，可知点对线段的视角最大．问题提出（1）如图②，已知的外接圆为，与相切于点，交的延长线于点．①请判断与的大小关系，并说明理由．②若，，求的长．问题解决（2）如图③，一大型游乐场入口设在道路边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现实情况，相关部门准备在与地面道路夹角为的射线方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一个位置，并架设斜杆，在斜杆的中点处安装一摄像头，对入口实施监控（其中点、、、、、、在同一平面内），已知米，米，调研发现，当最大时监控效果最好，请问在射线上是否存在一点，使得达到最大？若存在，请确定点在上的位置及斜杆的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①作直径，连接，则，与相切，得，再根据圆周角定理即可得结果．②证明，得，代入数值可得结果．（2）取的中点，过点作的平行线，经过，作与相切于点，此时最大，由求出，由勾股定理求出，，，再求出，最终得到，的长度．【解答】（1）解：①，理由如下：如图②，连接并延长至圆上一点，连接，则，为圆的直径，，，与相切于点，，，，，．②，，，，，，，，．（2）解：存在一点，使得达到最大．如图③，取的中点，过点作的平行线，经过，作与相切于点，由题意知，此时最大．，是中点，，，作直径，连接，则，，，是的切线，是切点，，，，又，，，，．过点作于，，，，，，由勾股定理得，，．故点在上距离点处，斜杆的长度为．【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形相似，圆的张角等知识，属于圆的综合题，恰当添加辅助线，灵活运用所学知识是解题关键．9．（2021•滨城区一模）如图，在中，，，点在上，以为直径的经过点．（1）求证：①是的切线；②；（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．【分析】（1）①连接，根据圆周角定理推出，并根据平行线的判定得出，从而得到即可证明是的切线；②连接，，根据同角的余角相等推出，并得到，再根据相似三角形的性质即可证明；（2）连接、、，根据题意由圆心角定理推出和是等边三角形，并得出相关角的大小即边之间的关系，进而根据全等三角形的判定得到，将阴影部分的面积转化为扇形的面积进行求解即可．【解答】（1）①证明：如图1，连接，，，（圆周角定理），，，根据题意可知，，是的切线．②如图2，连接，，为直径，，，，由（1）可知，，在和中，，，，故．（2）如图3，连接、、，和交于点，则，根据题意点是劣弧的中点，且，，和是等边三角形，，，由（1）可知，，在和中，，，，．【点评】本题考查圆的综合运用，解题的关键是证明从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，通常要结合圆周角定理及圆心角定理求解各角、各边之间的关系．10．（2022•雁塔区校级四模）（1）如图①，在中，，，，求外接圆的半径；（2）如图②，是一个半径为200米的圆形广场，弦是广场上一个长为米的纳凉演绎舞台，现计划在广场上建一个长为200米的手工艺集市，并在舞台和集市之间修建两个休闲长廊和，规划长廊、舞台、集市围成四边形为活动区域，那么能否在优弧上确定两点、，使得长廊最长？若能，请求出的最大值，并计算此时的度数及四边形的面积；若不能，请说明理由．【分析】（1）作出外接圆，连接，，交于点，利用等腰三角形的性质和圆周角定理，直角三角形的边角关系解答即可；（2）连接，，，，过点分别作，，，利用勾股定理求得，利用，可知当最大时，取最大值，利用三角形的面积公式与正弦的取值范围即可得出结论．【解答】解：（1）设外接圆为，连接，，交于点，如图，，，，，，，，为等边三角形．，在中，，；（2）在优弧上确定两点、，使得长廊最长．连接，，，，过点分别作，，，垂足分别为，，，如图，的半径为200米，米，米，，，．米，为等边三角形，，．．，，．，，．在和中，，．．，，，，．，，，．，当最大时，取最大值，，当，，最大，即最大，最大值为20000，当时，的值最大．在优弧上确定两点、，使得长廊最长；此时，如图，，，．四边形的面积米．【点评】本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，全等三角形的拍大片与性质，函数的极值，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．11．（2022•青秀区校级一模）如图，是的直径，是弦，点在圆外，于点，交于点，连接、、，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．【分析】（1）由证明即可得到结果；（2）证明即即可得证；（3）把转化为，设，用表示出半径，再由的面积比等于相似比平方可得到答案．【解答】解：（1）证明：，又，，于点，，，，即，，是的切线；（2），，，，，，；（3）为直径，，，，，，在中，，设，则，，于点，，，由（2）知，，而，，，设，则，的面积为，而的面积为，．【点评】本题考查圆的切线、相似三角形判定及性质，难度较大，解题的关键是将转化为．题型二：函数中的转化思想1．（2021•南岸区校级模拟）初中阶段的函数学习中，我们经理了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下我们研究函数性质及应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）下表是与的几组值，请在表格中的空白处填上恰当的数字；0134504（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象；（3）观察函数的图象，请写出函数的一条性质：．（4）若方程为常数）有三个实数解，则的取值范围为．【分析】（1）利用函数解析式求值即可；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）根据图象解答问题即可；（4）令，当或时，，将方程化为，当△时，解得或，此时函数与有两个交点，与也有两个交点，当时，，此时函数与有两个交点时，则函数与有三个交点，由此可求解．【解答】解：（1）时，；时，，故答案为：，2；（2）图象如图所示：（3）当时，函数有最小值，没有最大值；故答案为：当时，函数有最小值，没有最大值；（4）如图：由，可知，令，当或时，，，当△时，，解得或，此时函数与有两个交点，函数与也有两个交点，当时，，此时函数与有两个交点，时，函数与有三个交点，方程为常数）有三个实数解，则的取值范围为，故答案为：．【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象及性质，会用描点法画函数图象，数形结合解题是关键．2．（2021•望奎县模拟）自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：．解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当，或时函数图象位于轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：，或．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式的解集为．（3）用类似的方法解一元二次不等式：．【分析】（1）根据题意容易得出结论；（2）由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即，即可得出结果；（3）设，解方程得出抛物线与轴的交点坐标，画出二次函数，的大致图象，由图象可知：当，或时函数图象位于轴上方，此时，即，即可得出结果．【解答】解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；故答案为：①，③；（2）由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即，一元二次不等式的解集为：；故答案为：．（3）设，解得：，，抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当，或时函数图象位于轴上方，此时，即，一元二次不等式的解集为：，或．【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键．3．（2024•全椒县一模）如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点．（1）求点和点的坐标；（2）抛物线上是否存在点，使