函数的恒成立、存在性问题的方法总结大全(干货)

关于函数的恒成立、存在性（能成立）问题关于二次函数的恒成立、存在性（能成立）问题是常考考点，其基本原理如下：（1）已知二次函数，则：；．（2）若表述为：“已知函数”，并未限制为二次函数，则应有：；．注：在考试中容易犯错，要特别注意！！！恒成立问题与存在性（能成立）问题，在解决此类问题时，可转化为其等价形式予以解答，将此类问题的可能出现的17种情形归纳总结大全如下，并通过常考例题进行讲解：已知定义在上的函数，．（1），都有（是常数）成立等价于（）．（2），都有（是常数）成立等价于（）．（3），都有成立等价于（）．（4），都有成立等价于（）．（5），都有成立等价于．（6），使得成立等价于．（7），使得成立等价于．（8），使得成立等价于．（9），使得成立等价于．（10），使得成立等价于的值域与的值域交集不为．（11），使得（是常数）成立等价于．（12），都有（是常数）成立等价于且．特别地，，都有（是常数）成立等价于．（13），都有（是常数）成立等价于或．特别地，，都有（是常数）成立等价于．（14），使得（是常数）成立等价于且．特别地，，使得（是常数）成立等价于．（15），使得（是常数）成立等价于或．特别地，，使得（是常数）成立等价于．（16），使得（是常数）成立等价于且．（17），使得（是常数）成立等价于或．【评注】（9），使得成立等价于．所在区域能包含所在区域时，满足条件．．题目中有时会这样表述：对任意的，都有，使得成立，（9）的表达的意思完全相同．所以大家要深入理解定理中的“任意的”、“都有”的内涵：即当时，的值域不过是的子集．【例1】（1）（2010•山东•理14）若对任意，恒成立，则的取值范围是．（2）现已知函数，且设，若有，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．6（3）已知，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是．（4）已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．（5）已知函数，，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．（6）（2008•天津•文10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为A． B． C． D．（7）（2008•天津•理15）设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为．【解析】（1），（当且仅当时取等号），，即的最大值为，故答案为：．（2）函数的图象是开口向上，过点，对称轴为的抛物线，由图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增，，，，，表示，对应的函数值（图象上的点的纵坐标）之差的绝对值，结合函数图象，表示函数在区间上分成段，取每段两端点函数值差的总和，由题意可知，，，故选：．（3）问题等价于，为上单调递增，，为减函数，，由，解得．（4）法一：，当时，，，的值域是；法二：，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，取得极大值3，也是最大值；又，．，对于任意的，总存在，使得成立，的值域是的值域的子集，即，，解得或，故选：．（5）因为，则在上为单调递增函数，所以的值域为，记为，当时，在上为增函数，所以的值域为，记为，由题意可得，，所以，解得；当时，在上为减函数，故的值域为，记为，由题意可知，，所以，解得，综上所述，实数的取值范围是．故选：．（6）由，可得，得，在上单调递减，所以，所以，故，即故选：．（7），，，得，在上单调递减，所以，所以，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为．故答案为：．【评注】深入理解（6）题题干中的“任意的”、“都有”的内涵：即当时，的值域不过是的子集．值得关注的是：“”是指每一个这样的，是指存在这样的，理解到由函数的定义域导出值域是的子集，由此才有：．（6）与（7）唯一的差别就是：（7）中要求时唯一的，如何转化“唯一”这个条件是本题的关键，与函数的单调性联系起来来进行解答，需要有较强的转化问题的能力．【例2】已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若存在，使不等式成立，求的取值范围．【解析】（1），，函数的最小正周期．（2），，，的值域为．存在，使成立，，故实数的取值范围为．【例3】已知实数，且满足以下条件：①，有解；②，；求实数的取值范围．【解析】实数，由①得：；由②得：时，，由得：，令，则，函数在区间上为减函数，则当时，，要使在上恒成立，则；综上，的取值范围是．【例4】（1）已知函数，，函数，．对任意，存在，成立．求的取值范围．（）（2）已知函数，．函数，．对任意，存在，成立，求的取值范围．（的值域是的值域的子集即可．）（3）已知函数，．函数，．存在，存在，成立，求的取值范围．（的值域与的值域的交集非空．）【解析】（1），当时，函数单调递增，，，当时，，由对任意，存在，成立有，即，解得，则求的取值范围为．（2），当时，函数单调递增，，，当时，，由对任意，存在，成立有，即，解得，则求的取值范围为．（3），当时，函数单调递增，，，当时，，由对存在，存在，成立有，即且，解得或．【例5】已知．（1）求的解析式；（2）函数，若对任意，总存在，使成立，求取值范围．【解析】（1）令，得到，即，，（2）令，则，在内任取，，令，则，得到在内单调递减，在内单调递增，所以值域为，当时，，，因为的值域是值域的子集，所以，解得．【例6】（1）已知函数，，若有，则的取值范围为（）A．B． C． D．（2）已知函数，．若有，则的取值范围为A． B．C． D．【解析】（1）由题可知，，若有，则，即，解得，故选．画出函数，的图象，要使得，只需．（2），，，解得：，故选：．【例7】（1）（2014•江苏•10）已知函数，若对于任意都有，则实数的取值范围为．（2）已知函数、且当时，，当时，恒成立．（ⅰ）求，之间的关系式；（ⅱ）当时，是否存在实数使得在区间上是单调函数？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）（2017•天津•理8）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．（4）已知定义域为的函数满足．（ⅰ）若，求；又若，求；（ⅱ）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式．【解析】（1）二次函数的图象开口向上，对于任意，都有成立，，即，解得，故答案为：．（2）（ⅰ）由已知与同时成立，则必有，故．（ⅱ）假设存在实数，使满足题设的存在．开口向上，且在上单调递增，．．，．这与上式矛盾，从而能满足题设的实数不存在．【评注】本题主要考查一元二次函数的图象与性质．一元二次函数的对称性、最值、单调性是每年高考必考内容，要引起重视．（3）法一：当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由的对称轴为，可得处取得最大值；由的对称轴为，可得处取得最小值，则①当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由（当且仅当取得最大值；由（当且仅当取得最小值2．则②由①②可得，．法二：作出的图象和折线，当时，的导数为，由，可得，切点为代入，解得；当时，的导数为，由，可得舍去），切点为，代入，解得．由图象平移可得，．故选：．法三：根据题意，作出的大致图象，如图所示．当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，故对于方程，，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以．综上，的取值范围是．故选：．（4）（ⅰ）因为对任意，有，所以，又由，得，即，若，则，即．（ⅱ）因为对任意，有．又因为有且只有一个实数，使得．所以对任意，有．在上式中令，有．又因为，所以，故或．若，则，即．但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾．故．若，则有，即，