2021-2022学年江苏省无锡市九年级上册数学期末调研试卷一含答案

2021-2022学年江苏省无锡市九年级上册数学期末调研试卷（1）

一、选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）

1.下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x-1=0B.X2+3X-5=0C.x3+x=3D.ax2+bx+c=0

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的次数是2进行分析即可.

【详解】A.未知数的次数没有是2,没有是一元二次方程，故此选项错误；

B.是一元二次方程，故此选项正确；

C.未知数的次数是3,没有是一元二次方程，故此选项错误；

D.a=0时，没有是一元二次方程，故此选项错误；

故选B.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是明白：

--元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的次数是2.

2.关于x的方程x2+x-k=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围为（）

1、111„

A.k>--B.k》——C.k<--D.k>——且

4444

kWO

【答案】A

【解析】

【详解】解：•••关于x的方程R+x-QO有两个没有相等的实数根，.•.△=--4x1x（-々）=1+4%

>0,解得：故选A.

4

3.45。的正弦值为（）

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A.1B.-C.—D.—

222

【答案】C

【解析】

【详解】解：sin45°=注.故选C.

2

4.已知△ABCsiADEF,ZA=ZD,AB=2cm,AC=4cm,DE=3cm,且DE<DF,则DF的长为()

A.lcmB.1.5cmC.6cmD.6cm或

1.5cm

【答案】C

【解析】

【详解】解：■:AABCsADEF,：.AB：DE=AC：DF."：AB=2,AC=4,DE=3,A2：3=4：

DF.解得：DF=6.故选C.

5.在平面直角坐标系中，点A(6,3),以原点。为位似，在象限内把线段0A缩小为原来的L

3

得到线段0C,则点C的坐标为()

A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)

【答案】A

【解析】

【详解】解：以原点。为位似，在象限内将其缩小为原来的,，则点”的对应点C的坐标为(6x1,

33

3x1),即(2,1).故选A.

3

6.已知。A半径为5,圆心A的坐标为(1,0),点P的坐标为(-2,4),则点P与。A的位置

关系是()

A.点P在。A上B.点P在。A内C.点P在0A外D.没有能确

定

【答案】A

【解析】

【详解】I•点A的坐标为(1,0),点P的坐标为(-2,4),

AAP=5/(-2-1)2+(4-0)2=5，即点P到圆心A的距离等于半径，

二点P在。A上.

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故选A.

点睛：点与圆的位置关系是由点到圆心的距离d与圆的半径，•的大小关系确定的：(1)当d>r

时，点在圆外；(2)当4=r时，点在圆上；(3)当4〈厂时，点在圆内.

7.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,E为0D的中点，连接AE并延长

交DC于点F,则DF：FC=()

A.1：3B.1:4C.2：3D.1：2

【答案】D

【解析】

【详解】解：在平行四边形中，AB//DC,则△。尸尸：AB=DE：EB.'：O

为对角线的交点，：.DO=BO.又为。。的中点，：.DE=-DB,则。E：EB=1：3,：.DF：

4

4B=1：3.,:DC=AB,：.DF：DC=\：3,:.DF：FC=\-2.故选D.

8.如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=12,AD=4,BC=9,点P是AB

上一动点.若APAD与APBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【详解】解:'：AB1BC,/.Z5=90o.'：AD//BC,.,.ZJ=1800-ZS=90°,/.ZB4Z>=ZPSO900.

设｛尸的长为x,则8尸长为12-x.

若48边上存在P点，使△以。与8c相似，那么分两种情况：

48

①若&4PDsABPC,则力P：BP=AD：BC,即x：(12-x)=4：9,解得：尸一；

13

②若△APDsABCP,则ZP：BC=AD：BP,即x：9=4：(12-x),解得：x=6.

综上所述：满足条件的点尸的个数是2个.故选B.

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9.已知线段AB,点P是它的黄金分割点，AP>BP,设以AP为边的等边三角形的面积为Si，以

PB、AB为直角边的直角三角形的面积为S2,则&与S2的关系是（）

A.St>S2B.S.<S2C.S尸S2D.S,>S2

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：首先设AB=2,根据黄金分割点得出AP和BP的长度，然后分别求出两个三

角形的面积，从而比较大小.

考点：（1）、黄金分割点；（2）、三角形面积的计算

10.如图，AABC是等腰直角三角形，NACB=90。，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是

AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形PFQ,且NFPQ=90。，若AB=10,PB=1,则

QE的值为（）

A.3B.372C.4D.4V2

【答案】D

【解析】

【详解】解：连结尸。，。是的中点，如图

：△NBC为等腰直角三角形，48=10,PB=\,

：.AC=BC=5y[2>4=45。.

:点D、E、尸分别是△/BC三边的中点，

：.AD=BD=5,DP=DB-PB=5-1=4,EF、。尸为△R8C的中位线,

：.EF//AB,EF=^AB=5,DF=ZEFP=ZFPD,

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DFV2

ZFDA=45°,——=9=—,

EF+2

二NDFP+NDPF=45°.

•.•△尸。尸为等腰直角三角形，

/.ZPFE+ZEFQ=45°,FP=PQ,

：.NDFP=NEFQ.

；△PF。是等腰直角三角形，

.”一V2

•.，

FQ2

.DF.PF

''~EF=~FQ'

:AFDPs^FEQ,

.•誓=里=日

DPFD7

:.QE=8QP=46故选D.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形，相似三角形的判定等知识，根据题意作出辅助线，构

造出三角形的中位线是解答此题的关键.

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分.）

x2x+y

11.若一=彳，则一二的值为____.

y3y

【答案】-

3

【解析】

x2

【分析】由一=:，设x=2%）=3左6*0）,然后再代入求解即可.

y3

x2

【详解】解：♦.•一=7,设x=2Z,y=3%（左。0）,

y3

.x+y_2k+3k_5

V3k3

故答案为：一.

3

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【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

12.在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为2.5m,那么影长为30m

的旗杆的高度是m.

【答案】18

【解析】

【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高即可.

【详解】；同一时刻物高与影长成正比例

.••1.5:2.5=旗杆的高：30

二旗杆的高为18米.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质.

13.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量没有断增大，五月份的产量提高

到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为%.

【答案】10

【解析】

【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000(1+x),五月份的产量

是1000(1+x)2,列出方程即可.

【详解】解：设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000(1+X),五月份的

产量是1000(1+x)2,据此列方程1000(1+x)2=1210,

解得xi=0.1，X2=-2.1(负值舍去)，

所以该厂四、五月份的月平均增长率为10%,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理清量之间的关系，列出方程.

14.在AABC中，NA、NB为锐角，且|tanA-1|+(：-co)2=0,则NC=___

【答案】75

【解析】

【详解】解：由题意得：taM=l,co=y,则N/=45°,NB=60°,则/C=180°-45°-60°=75°.

故答案为75.

15.如图，在口ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,则DF=

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【答案】—•

3

【解析】

【详解】解：令AE=4x,BE=3x,

，AB=7x.

•.•四边形ABCD为平行四边形，

/.CD=AB=7x,CD〃AB,

/.△BEF^ADCF.

.BFBE3x3

"PF-CD_7x-7,

14

；.DF=—

3

【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本

题的解题关键.

16.如图，ZXABC中，AB=BC,AC=8,点F是aABC的重心（即点F是aABC的两条中线AD、

【解析】

【详解】解：•.•点F是△/8C的重心,

.,.EF=ySF=yx6=3.

'：AB=BC,BE是中线，

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：.AE=^AC=yx8=4,BELAC.

在RtA4EF中，由勾股定理得：AF=yjAE2+EF2=^32+42=5.

i5

：.DF=^AF=-.

22

故答案为*.

2

【点睛】本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记三角形的重

心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半是解题的关键.

17.关于x的一元二次方程mx2+nx=O的一根为x=3,则关于x的方程m（x+2）2+nx+2n=0的根为

【答案】1或-2.

【解析】

【详解】解：关于x的一元二次方程，的一根为x=3,.,.9"?+3〃=0,解得〃=-3"7,

且...关于x的方程机（x+2）2+nx+2n=0为mx2+4mx+4m-3mx-6/n=0,整理可得mx2+mx

-2m=0.Vm^O）.'.x2+x-2=0,解得：尸1或:c=-2.故答案为1或-2.

点睛：本题主要考查了解一元二次方程，由方程根的定义求得，”和〃的关系是解题的关键.

18.AABC是一张等腰直角三角形纸板，ZC=RtZ,AC=BC=2,在这张纸板中剪出一个尽可能大

的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为如图1）；在余下的Rt^ADE和RtZ\BDF中，

分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为如

图2）；继续操作下去…；则第10次剪取时，S,o=_;第2012次剪取后，余下的所有小三角形的

面积之和是

【解析】

【详解】试题分析：根据题意，可求得SAA£D+SADBF=S任方般ECFD=S1=1,同理可得规律：Sn即是第n

次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案.

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试题解析：・・•四边形ECFD是正方形，

.*.DE=EC=CF=DF,ZAED=ZDFB=90°,

:△ABC是等腰直角三角形，

AZA=ZC=45°,

AAE=DE=EC=DF=BF=EC=CF,

VAC=BC=2,

ADE=DF=1,

***SAAED+SADBF=S正方形ECFD=Sl=l；

同理：S2即是第二次剪取后剩余三角形面积和，

Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，

・・・次剪取后剩余三角形面积和为：2-S1=1=S1,

第二次剪取后剩余三角形面积和为：Si-S2=l-y=}=S2,

第三次剪取后剩余三角形面积和为：S-S=y--=-=S,

232443

第n次剪取后剩余三角形面积和为：Sn.i-Sn=S后击.

1111

"JS10=210T=2^-；$2012=22012-1=22011'

考点：相似形综合题.

三、解答题(本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字，说明或演算步

骤

19.计算或解方程：

(1)计算：(—)2-4sin60°-tan450；

2

(2)3x2-2x-1=0；

(3)x2+3x+l=0(配方法)；

(4)(x+1)2-6(x+1)+5=0.

【答案】(1)3—;(2)Xi=l>X2=--；(3)x,—~,x,=后-;(4)Xi=4,

3122

X2=0.

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【解析】

【详解】试题分析：(1)根据三角函数计算即可；

(2)根据分解因式法解答即可；

(3)根据配方法解答即可；

(4)根据分解因式法解答即可.

试题解析：解：(1)原式=4—4xW—1=3—2JJ;

2

(2)原方程变形为：(x-1)(3x+l)=0,解得：x\=\,X2="-;

3

(3)原方程变形为：(X+?)2=3,解得：_3+修修=土

241222

(4)原方程变形为：(x+1-5)(x+1-1)=0,解得：x\=4,X2=0.

20.如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).

(1)在图中画出A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置;

(2)点M的坐标为;

(3)判断点D(5,-2)与。M的位置关系.

【答案】(1)见解析；(2)(2,0)；(3)点D在。M内；

【解析】

【详解】试题分析：(1)由网格容易得出的垂直平分线和8c的垂直平分线，它们的交点即

为点M-.

(2)根据图形即可得出点M的坐标；

(3)用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当。M小于圆的半径时点。在圆内.

试题解析：解：(1)如图1,点M就是要找的圆心；

(2)圆心”的坐标为(2,0).故答案为(2,0)；

(3)圆的半径力/=扬了不=2君.

线段A/D=J(5_2)2+22=回＜2#,所以点。在内.

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点睛：本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆

心M的坐标是解题的关键.

21.如图，四边形ABCD中，AC平分NDAB,ZADC=ZACB=90°,E为AB的中点,

(1)求证：AC2=AB»AD；

(2)求证：CE〃AD；

(3)若AD=4,AB=6,求王的值.

AF

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)由AC平分NDAB,ZADC=ZACB=90°,可证得AADCS/XACB,然后由相似三

角形的对应边成比例，证得AC2=AB・AD.

(2)由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得

CE=yAB=AE,从而可证得/DAC=NECA,得至ljCE〃AD.

AFAC

(3)易证得AAFDsacFE,然后由相似三角形的对应边成比例，求得一的值，从而得到——

CFAF

的值.

【详解】解：(1)证明：：AC平分NDAB

第11页/总2硕

/.ZDAC=ZCAB.

VZADC=ZACB=90°

AAADC^AACB.

.ADAC

**AC-AB

即AC2=AB*AD.

（2）证明：YE为AB的中点

ACE=yAB=AE

AZEAC=ZECA.

VZDAC=ZCAB

AZDAC=ZECA

・・・CE〃AD.

（3）VCE/7AD

/.△AFD^ACFE

.AD_AF

**CE-CF,

VCE=yAB

ACE=yx6=3.

VAD=4

・4_AF

3-CF

.AC7

•.=—.

AF4

22.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0

（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；

（2）是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26?若存在，求出满足条件的正数

m的值；若没有存在，请说明理由.

17

【答案】（1）见解析；（2）y

【解析】

【详解】试题分析：（1）求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；

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(2)根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以

用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26,即可得到一个关于，”的

方程，求得加的值.

试题解析：(1)证明：,关于x的方程x2+(m-3)x-m(2m-3)=0的判别式4=-3)2+4in

(2加-3)=9-1)220,.•.无论m为何值方程都有两个实数根；

(2)解：设方程的两个实数根为xi、X2，则xi+x2=-(w-3),xixX2=-(2m-3),XI2+X22=26,

得：(xi+%2)2-2XIX2=(m-3)2+2nt(2m-3)=26,整理得:5m2-12m-17=0,解这个方程得:

1717

m=彳或机=-l,所以存在正数加=y,使得方程的两个实数根的平方和等于26.

23.某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市

时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市

场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，

而且这种猴头菇在冷库中至多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏没有能出

售.

(1)若外商要将这批猴头菇存放x天后性出售，则x天后这批猴头菇的单价为元，量是

千克(用含x的代数式表示)；

(2)如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？(利润=总金额

-收购成本-各种费用)

【答案】(1)10+0.5X,2000-6x；(2)40.

【解析】

【分析】(1)根据猴头菇的单价市场价格+0.5X存放天数和量=原购入量-6X存放天数列出代数

式即可；

(2)利用总利润-各种费用-收购成本即可列出方程求解.

【详解】解：(1)10+0.5x,2000-6%；

(2)由题意得：(10+0.5x)(2000-6x)-10x2000-220尸24000,解得xi=40,x2=200(没有

合题意，舍去)

答：这位外商想获得利润24000元需将这批猴头菇存放40天后出售.

24.如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为50cm,与水平桌面所形成

的夹角ZOAM为75。.由光源0射出的边缘光线OC,OB与水平桌面所形成的夹角ZOCA,ZOBA

分别为90°和30°.(没有考虑其他因素，结果到0.1cm.sin75°=0.97,cos750=0.26,石"73

(1)求该台灯照亮水平桌面的宽度BC.

(2)人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角NEFC

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为60。，书的长度EF为24cm,点P为眼睛所在位置，当点P在EF的垂直平分线上，且到EF

距离约为34cm（人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺=34cm）时，称点P为"视点请通

过计算说明视点P在。没有在灯光照射范围内？

【答案】⑴该台灯照亮水平面的宽度BC大约是83.9cm;（2）视点P在灯光照射范围内，理由见解

析.

【解析】

OC

【详解】试题分析：（1）在直角三角形AC。中，根据Sin75o=—,求出OC,在直角三角形BCO

OA

OC

中，tan3（T=——,求出BC即可.（2）如图，过点P作PH_LAB于H,交OB于M,过点D作

BC

DG_LPH于G,DQ_LAB于Q,则四边形DGHQ为矩形，ZGDF=ZEFC=ZDPG=60°,求出PH,

MH的长即可判断.

nr

试题解析：（1）在直角三角形ACO中，Sin75°="

OA

解得OC=50x0.97=48.5,

oc

在直角三角形BC。中，tan30°=——，

BC

解得BC=1.73x48.5=83.9.

答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是83.9cm,

（2）如图，过点P作PH_LAB于H,交OB于M,过点D作DG1.PH于G,DQ_LAB于Q,则四

边形DGHQ为矩形，ZGDF=ZEFC=ZDPG=60°

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由题意DE=DF=12,DP=34,

APG=17,QH=DG=05QF=6,GH=DQ=65

/.PH=PH+GH=17+6y/j=27.38,

又：CH=6+176=35.41

.♦.HB=CB-CH=83.9-35.41=48.49,

VZOBC=30°,tanZOBC=l：Q,

MH=HB+G=48.490428.03,

V27.38<28.03,

考点：解直角三角形的应用；线段垂直平分线的性质；视点、视角和盲区.

25.如图，以点P(T,0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点(B在C的左侧)，交y轴于A、D

两点(A在D的下方)，AD=26，将△ABC绕点P旋转180。，得到AMCB.

(2)请在图中画出线段MB、MC,并判断四边形ACMB的形状(没有必证明)，求出点M的

坐标；

(3)动直线1从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线1与

CM交点为E,点Q为BE的中点，过点E作EGLBC于G,连接MQ、QG.请问在旋转过程

中NMQG的大小是否变化？若没有变，求出NMQG的度数；若变化，请说明理由.

【答案】(1)B(-3,0),C(l,0)；(2)作图见解析，四边形ACMB是矩形，点M的坐标为(-2,

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百）；（3）在旋转过程中NMQG的大小没有变，始终等于120。

【解析】

【分析】（1）连接AP,题意，根据圆的对称性，得4O=DO=LAD=5再根据勾股定理,

2

计算得AP；再根据圆的性质，得BP=CP=4P,从而得到B、C两点的坐标；

（2）题意，根据圆周角的性质，得ABAC=90°；再根据旋转的性质，得NBMC=ABAC=90，

BM=AC,CM=AB,从而推导得四边形ACMB是矩形；再根据旋转的性质，可计算得点

M的坐标；

（3）题意，得NBMC=NBGE=90。；再点Q是BE的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得

QM=QE=QB=QG,从而推导得点E、M、B、G在以点Q为圆心、QB为半径的圆上，故得

ZMQG=2ZMBG；再通过三角函数计算，得到/OCA=60。；从而完成求解.

【详解】（1）如图，连接AP

；以点P(T,0)为圆心的圆,AD=2百

:.AO=DO=、AD=6OP=l

2

22

AP=y/OP+OA=J+阴2=2

BP=CP=AP=2

又：P(T,0)

；.B(-3,0),C(l,0)；

(2)如图

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•以点P(T,0)为圆心的圆，交x釉于B、C两点(B在C的左侧)

ABC是圆的直径

ABAC=90°

:将AABC绕点P旋转180%得到AMCB

：-NBMC=NBAC=90°，BM=AC,CM=AB

四边形ACMB是矩形

过点M作MV_L8C交BC于点N

题意得：^MCB和^ABC关于点P旋转对称

:•AO=MN=6，NP=OP=1

又：P(-1,0)

.♦.点M的坐标为(-2,G)；

(3)如下图

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(2)的结论，四边形ACMB是矩形，ZBMC=90°

VEG1B0

Z.ZBGE=90°

ZBMC=ZBGE=90°

:点Q是BE的中点

AQM=QE=QB=QG

.•.点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上

/.ZMQG=2ZMBG

VZCOA=90°,OC=CP-OP=1,OA=73

.，OA「

..tanZOCA=-----=百

OC

：.ZOCA=60°

/.ZMBC=ZBCA=60°

；.NMQG=120。

在旋转过程中NMQG的大小没有变，始终等于120°.

【点睛】本题考查了圆、旋转、勾股定理、直角三角形斜边中线、直角坐标系、矩形、三角函

数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆心角、旋转、勾股定理、直角三角形斜边中线、

直角坐标系、矩形、三角函数的性质，从而完成求解.

26.如图，已知AB是O0的弦，OB=2,ZB=30°,C是弦AB上任意一点(没有与点A、B重

合)，连接CO并延长CO交。。于点D,连接AD.

(1)AB=_____；

(2)当ND=20。时，求ZBOD的度数.

(3)若4ACD与△BCO相似，求AC的长.

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D

【答案】⑴2石；(2)100°；(3)6

【解析】

【详解】试题分析：(1)过点。作于E,由垂径定理即可求得的长；

(2)连接。1,由。4=。5,OA=OD,可得NBAO=NB,NDAO=ND,则可求得ND45的度数,

又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得的度数；

(3)由NBCO=N4+Z。，可得要使△NC£)与△8C。相似，只能乙DC4=N8CO=90。，然后由

相似三角形的性质即可求得答案.

试题解析：解：(1)过点。作。于E,则ZOEB=90°.,：OB=2,/8=30°,

：.BE=OB,cosNB=2xB=yli，:.AB=26故答案为2百.

2

(2)连接04\"OA=OB,OA=^OD,；.NBAO=NB,ZDAO=ZD,

：.ZDAB=ZBAO+ZDAO=ZB+ZD.又；NB=30°,ZD=20°,：.ZDAB=50°,

：.ZBOD=2ZDAB=\00°；

(3):NBCO=NA+ND,：.ZBCO>ZA,ZBCO>ZD,；.要使△XCZ)与△BCO相似，只

能NDC4=NBCO=90°,此时N8OC=60°,NBOO=120°,AZDAC=60°,

:ADACS/\B0C.VZSCO90%BPOCA.AB,:.AC=^ABf,.,.若△/CD与△8CO相

似，/C的长度为

点睛：本题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.题目综合性

较强，解题时要注意数形思想的应用.

27.已知:x为实数，[x]表示没有超过x的整数，$D[3.14]=3,[1]=1,[-1.2]=-2.请你在学

习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数丫=*-W.

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(1)当x=2.15时,求y*=x-[x]的值;

(2)当0<x<2时，求函数y=x-[x]的表达式，并画出函数图象；

(3)当-2<x<2时，平面直角坐标系xOy中，以。为圆心，r为半径作圆，且rW2,该圆与

函数y=x-[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围.

VA

5-

4-

3-

2-

1-

--------i-1---->

12345x

5

【答案】⑴0.15；(2)①丫=*,②当ly=x-l,(3)r的取值范围是：0<r<±_或x=0.

2

【解析】

【详解】试题分析：(1)根据印的定义进行计算即可；

(2)由已知条件：0Vx<l,1±<2进行分类讨论，由此可求出结论；

(3)把自变题x在-2<x<2内分四种情况得出相应的函数关系式，并画出图形，确定厂的取值

即可.

试题解析：解：(1)当尸2.15时，y=x-M=2.15-[2.15]=2.15-2=0.15；

(2)①当OVxVl时，[x]=0.*/y=x-[x]»・,•产x；

②当&V2时,[x]=l

・.・尸X-[x],.••产X-1；

(3)函数(-2<x<2),如图，OA=y/2.

①当-2<x<-1,[x]=-2,y=x-[x]=x+2,②当-14<0时，[x]=-1,y=x-[x]=x+l,③当0q

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<1时，[x]=0,y=x-[x]=x,④当1%<2时，[x]=l,y=x-[x]=x-1,当r=OA=时，QO

与直线y=x-l相交于一点，OC=当0<r<42时，。。总与直线尸x相交于一

222

6

综上所述：，•的取值范围是：0</<注或x=也.

2

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了新定义，以及没有等式的整数解问题，解答本题的关键

是分类讨论.借助图象是解答本题的难点.

28.如图1,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1

个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，

过点P作PD〃BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时,

另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t>0).

(1)直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=

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（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若没有存在，说明理由.并

探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边