（人教B版2019必修第一册） 数学 第二章 等式与不等式 复习知识梳理+重点题型练习（学生版+解析版）

第二章等式与不等式

单元复习

【知识梳理】

一、等式的性质、恒等式

(1)等式的性质：①等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立.

②等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.

(2)常见的代数恒等式

①(a+份2=42+2"+:2,

(a—b)2=a2—2ab-\-b2；

②。2一序=(a+O)g一加；

@a3-\-b3=；

a3—b3=(4一。)(次+"+。2).

二'方程的解集

方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.把一个方程所有解组成的集合称为

这个方程的解集.

三、一元二次方程的解法

形如(X—左)2=/(/>0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一

直接开平方法

次方程

把一元二次方程加+法+0=0(〃/0)通过配方化成(%—左)2=

配方法

(三0)的形式，再用直接开平方法求解

一元二次方程of+bx+cuOmWO)满足〃一4〃C20,利用求

公式法加八t—b£^—4ac

根公式L2a

一元二次方程的一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘

因式分解法积，即可化成(冗+机)(x+〃)=0(〃W0)的形式，即可解得两根为：

xi=—m,X2=~n

四、不等关系与不等式

⑴不等关系与不等式

用数学符号“W”“三”“W”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关

系，含有这些不等号的式子，称为不等式.

⑵比较两个实数（代数式）大小

任意给定两个实数a,b,那么

a—b<G=a<b,a—b=boa=b,a—b>O=a>b.

五、不等式的性质及推论

⑴不等式的性质

性质别名内容

性质1可加性+c>b+c

性质2a>b,c>O=>ac>bc

可乘性

性质3a>b,c<O=>ac<bc

性质4传递性a>b,b>c=>a>c

性质5对称性a>b<^b<a

⑵不等式的推论

推论别名内容

推论1移项法则a+b>c=a>c—b

推论2同向不等式相加a>b,c>d=>a+c>b+d

推论3同向不等式相乘a>b>0,c>d>Q=>ac>bd

推论4可乘方性a>b>Q=>an>bn(n£N,n>l)

推论5可开方性a>b>O=>y[a>y[b

六、集合的基本概念

⑴不等式的解集

不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.

⑵不等式组的解集

对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解

集.

七'绝对值不等式

⑴绝对值不等式的概念

一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.

⑵两种简单的绝对值不等式的解集

①关于x的不等式国＞机（m＞0）的解为x＞机或机，解集为（一8,—m）U（m,+°°）；

②关于x的不等式|x|＜加（加＞0）的解为一机＜x＜"z,解集为（一"z,m）.

⑶数轴上两点之间的距离公式及线段中点的坐标公式

①一般地，如果实数a,6在数轴上对应的点分别为A,B,即A（a）,B（b）,则线段A3的长为

AB=\a-b\,这就是数轴上两点之间的距离公式.

②如果线段A3的中点〃对应的数为x,即M（x）,贝1］》=叼^；这就是数轴上的中点坐标公式.

八、一元二次不等式的解法

⑴一般地，形如ad+加:+°＞0的不等式称为一元二次不等式,其中a，b，c是常数，而且aWO.

⑵求一元二次不等式解集的方法

①因式分解法

一般地，如果X1＜X2,则不等式（X—X1＞（X—X2）＜0的解集是（XI,X2）,不等式（》一X1）（X—X2）＞0

的解集是（一8,xi）U（X2,+8）.

②配方法

一元二次不等式ad+Ox+cXXaWO）通过配方总是可以变为（x—/?）2＞左或（%—/?）2＜左的形式，

然后根据左的正负等知识，就可以得到原不等式的解集.

九、分式不等式的解法

分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形

,、ax+。、，、ax+。_

式普＞°伊°）或彳R（w°）.

十、均值不等式

⑴两个正数的算术平均值、几何平均值定义

给定两个正数a,b,数审称为a,6的算术平均值；数跑称为a,6的几何平均值.

⑵均值不等式

如果a,6都是正数，那么审芸丽，当且仅当a=O时,等号成立.

十一、均值不等式与最大（小）值

（1）已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积砂有最大值上.

（2）已知x,y都是正数，如果积砂等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2、但.

【热考题型】

【考点11等式的性质与方程的解集

一、单选题

1.（2023・高一课时练习）下列因式分解正确的是（）

A.x｛x-1）=x2-xB.（2x+l）（x-1）=2x2-x-1

C.5x2-2x-3=（x+l）（5x-3）D.5%?—2元-3=（x-l）（5%+3）

2.（2023・全国•高三专题练习）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（）

A.如果a=Z?,那么a+c=Z?—cB.如果々2=6〃，那么〃=6

nhnh

C.如果a=〃，那么g=2D.如果q=那么ai

3.（2023•高一课时练习）下列各数中，不属于方程,-44而1=0的解集的是（）

4.（2023秋•江苏南京•高三南京市第九中学校考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:

"今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五

关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的：，第2关收

税金为剩余金的;，第3关收税金为剩余金的;，第4关收税金为剩余金的：，第5关收税金为剩余金的;，

3456

5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（）

A.2斤B.一斤C.一斤D.—斤

5510

5.（2023•全国•高三专题练习）欧几里得的《几何原本》，形如无2+奴=〃的方程的图解法是：画RtABC,

®ZACB=90°,AC=b,BC=^,在斜边A3上截取8。=£,则该方程的一个正根是（）

ADB

A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.8的长

6.（2023•全国,高一专题练习）已知集合4=卜|2%2-尤-3=。｝,3=｛尤|加-x-3=。｝,若B三A,则实数a

的取值集合为（）

A.{2}B.{2,0}D.{2}

二、多选题

7.（2023秋・江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考开学考试）若^+*=（尤+〃）（£一办+9）对任意实数x都

成立，则实数。可能的值是（）

A.-9B.9C.-3D.3

8.（2023秋•福建宁德•高一福建省宁德第一中学校考开学考试）若x2+xy—2y2=0,则『+产：、的值可

x+y

以为（）

5115

A.——B.——C.—D.—

2552

三、填空题

9.（2023•高一课时练习）方程炉-2=0的解集为.

10.（2023春•上海嘉定•高一统考阶段练习）已知xeR,方程|x+1+|2-x|=3的解集为.

11.（2023,上海•高一专题练习）若2/+3x+5=a（2x+l）（x+l）+6恒成立，则4+6的值____.

四、解答题

12.（2023•高一课时练习）己知关于x的方程4（x-2）=ar的解为正整数，求实数a的取值集合.

13.（2023,高一课时练习）设a、beR,求关于尤的方程2ax=46+x+l的解集.

14.（2023・高一课时练习）已知等式犬+7〃y+3=O对任意实数施恒成立，求所有满足条件的实数

对（X，＞）的集合.

【考点2】一元二次方程的解集及其根与系数的关系

一、单选题

1.（2023・全国•高一专题练习）已知关于x的方程/—小+/一3=。的解集只有一个元素，则m的值为（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

2.⑵23秋广东揭阳•高一校考期末）如果方程加+法_2=0的解为＞2,则实数a力的值分别是（）

A.-4,-9B.-8,-10C.-1,9D.-1,2

3.（2023秋•山东济宁,高一嘉祥县第一中学校考期末）若加，〃满足m2_3m一1=0,H2-3n-l=0»且mW几，

则上+丝的值为（）

mn

A.-11B.-9C.9D.11

4.（2023秋•贵州遵义•高一校考阶段练习）已知关于x的方程/+（2Z-1）无+%2_1=0有两个实数根不,.若

%，%2满足/+君=16+%%2，则实数人的取值为（）

35

A.—2或6B.6C.-2D.-

4

5.（2023春•浙江•高三校联考开学考试）已知p,q是关于x的一元二次方程ax之一3+2）%+4〃=0的两根,

其中a,6wR,则（"-勿+甸的2-的+甸的值（）

A.仅与。有关B.仅与b有关

C.与。6均有关D.是与ab无关的定值

6.（2023秋・辽宁抚顺•高一抚顺一中校考阶段练习）若下列3个关于x的方程尤2一⑪+9=0,炉+6一2口=0,

V+S+1）龙+：=0中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是（）

A.（^»,-4]U[0,+oo）B.（-oo,6]u[2,+oo）

C.（-co,^l]L[2,-H»）D.（-4,0）

二、多选题

7.（2023春•安徽六安•高一校考阶段练习）已知函数/（%）=/-4彳+。有两个零点七，巧，则（）

A.。＜4B.无i＜0且马＜。

114

c.若西无2*0,则一+—=—D.函数y=/（|x|）有四个零点或两个零点

8.（2023春•黑龙江大庆•高一大庆中学校考开学考试）已知关于无的方程62+灰+。=0（。70）,下列说法

正确的是（）

A.若方程有两个互为相反数的实数根，则6=0

B.若方程灰+c=o没有实数根，则方程加+6尤_°=0必有两个不相等的实数根

C.若二次三项式依2+法+（?是完全平方式，则尸-4公=0

D.若c=0,则方程必有两个不相等的实数根

三、填空题

9.（2023•全国•高三专题练习）若方程2x（依-4）-/+6=0有两个不相等的实根，则上可取的最大整数值

是.

10.（2023•上海•高一专题练习）已知。、尸是关于x的方程％2-2府+病-4=0（〃2€用的两个根，贝1]

11.（2023・高一课时练习）已知看,三是关于x的一元二次方程炉-（2机+3）x+疗=0的两个不相等的实数根，

11,

并且满足一+—=1,则实数加为__________

%]x2

四、解答题

12.（2023春•黑龙江大庆•高一大庆中学校考开学考试）若毛、々分别是一元二次方程2/+叙-3=0的两

根，求下列代数式的值:

11

⑴，;

⑵归-可;

⑶X+X2-

13.（2023・全国•高一随堂练习）已知方程――2缶+1=0的两根为々与巧，求下列各式的值：

2211

（1）野马+玉石；（2）不+丁.

14.（2023・上海•高一专题练习）已知关于x的一元二次方程/-於左-l）x+左2+左_]=0有实数根.

（1）求上的取值范围；

（2）若此方程的两个实数根%超满足%2+W=11，求上的值.

【考点3】方程组的解集

一、单选题

⑵：_5y=3

1.（2023•高一课时练习）方程组0.c的解集为（）

\x-2y=2

A.(1,4)B.(4,1)C.{(1,4)}D.{(4,1)}

[x-2y-3z=0

2.(2023・高一课时练习)已知非零实数MV/满足《则%:y:z=()

[2x-y+3z=0

A.1:1:3B.3:3:1C.3:3:(-1)D.l：l：(-3)

\ax+5y=7

3.（2。23•高一课时练习）关于x,y的方程组“的解集为3I）｝,则―（)

A.1B.5C.6D.7

、.fox-3y=9

4.（2023•高一课时练习）关于x,y的方程组。/的解集，不正确的说法是（）

[x—2y=6

A.可能是空集B.可能是无限集C.可能是单元集D.可能是｛（0,-3）｝

、.|x-2y-3z=0

5.(2023・江苏•高一专题练习)方程组。/,八的解集可表示为()

\2x-y+3z=0

A.,(x,yz)I%=gz,y=!z,z£R|B.，(羽y,z)b=-gz,y=—《z,z£R

C.{(x,y,z)\x=3z,y=3z,zeR}D.{(羽y,z)I%=—3z,y=—3z,z£R}

6.（2023秋•广西南宁•高一校考开学考试）《九章算术》中记载：〃今有共买羊，人出五，不足四十五；人出

七，不足三问人数、羊价各几何?〃其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱,

还差3钱;，根据题意，可列方程组为

卜=5x+45\y=5x-45

*[y=7x+3・[y=lx+3

Jy=5x+45Jy=5x—45

Cjy=7尤_3D.jy=7x—3

二、填空题

fy=2x+3

7.（2023•高一单元测试）若关于x、y的二元一次方程组，,,的解集为0,则实数后=____.

[y=kx+\

8.（2023•上海,高一■专题练习）已知x，y，z是非负整数，且x+y+z=10,尤+2y+3z=30,贝!|x+5y+3z的范

围是—

9.（2023•全国•高一随堂练习）你知道吗？配平化学方程式其实可以通过解方程组来完成.例如，Mg在。2中

燃烧生成MgO,可以设方程式为皿+yQ邈zAfeO,其中尤、V、z均为正整数，且它们的最大公约数为1.

\X=Z

由方程式两边的同种原子数目相等可得c,令y=l,贝ljz=2,X=2.因此，配平后的化学方程式为

[2y=z

2%+。2堡2吸O.用这种方法配平化学方程式（）既+（）H2O=（）Fe3O4+（）凡个.

三、解答题

10.（2023•全国•高一随堂练习）求下列方程组的解集：

Sc2（x—3y）+1=0

2x+y=0、））

⑴k；14；⑵31<°­

\3x—2y=14-------5y=3

11.（2023•高一课时练习）已知关于x的方程/_2依+左2-左-1=0有两个不相等的实数根占,马.

⑴若左=5,求网*的值;

（2）若占-3%=2,求实数％的值.

12.（2023•全国•高一随堂练习）某校新成立A、8两个社团，第一年社团成员数相同，以后每年A社团以

相同的增长率招收新成员，而5社团每年都招收第一年成员数的80%.已知第二年A、5两个社团成员数之

和为310,第三年A社团成员数是8社团成员数的0.65倍.试求A社团成员数的增长率及B社团每年招收的成

员数.

【考点4]不等式及其性质

一、单选题

1.（2023春•云南昆明•高一统考期末）"/>0"是"2+?22”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023秋・江苏扬州•高三统考阶段练习）下列命题中，是真命题的是（）

A.如果<?c>bc,那么B.如果a2>秘2,那么

Qb

C.如果一>—,那么a>bD.如果a>>,c>d,那么a-c>〃一d

cc

{\<a+b<3

3.（2023•高一课时练习）已知a,6e7?且满足〈，，，，则4a+2b的取值范围是（）

[-1<a-b<\

A.。⑵B.[4,10]C.[2,10]D.[2,8]

4.（2023-|W）一■课时练习）已知a<6,x=a3—b,y=a~b—a,则x,V的大小关系为（）

A.x>yB.x<yc.x=yD.无法确定

5.（2023■全国,高一■专题练习）下列命题为真命题的是（）

A.若。<6<0,贝!|m2<瓦2B.若。<b<0,则6c6?

C.若a>b,c>d,贝!Jac>6dD.若q>6>c>0,贝!]£<£

ab

6.（2023•江苏•高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它

是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量

的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的祛

码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的祛码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之

平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

二、多选题

7.（2023秋•广东深圳•高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知a,"c,d均为实数，则下列命题正确

的是（）

A.若a>&c>d贝!|a—d>b—c.

B.若a>"c>d贝！Jac>.

nh

C.^a>b,c>d>0,则一〉一

dc

,八7j।Cd

D.attb>0,bc-ad>0,则n一〉一

ab

8.（2023秋•高一课时练习）下列说法正确的是（）

7cb+m

A.右a〉Z?〉0,m>0,则一<----B.若a>b,则a/〉。/

aa+m

C.若a>5>0,则Q+力H—D.若26£7?,则

ba2

三、填空题

9.（2023•全国•高一专题练习）若2<&<5,贝|2a—3》+1的取值范围为.

10.（2023•江苏•高一专题练习）已知-lv%+y<4,2<x-y<4,则3x+2y的取值范围是

IL（2023・全国•高三专题练习）若龙，y^R,设M—2孙+3V一工+y,则M的最小值为

四、解答题

1—2x1—2%

12.（2023•全国•高一专题练习）已知马>再>-5,证明：——7<——

x2+5石+5

13.（2023•全国•高一专题练习）（1）设a>6>0,比较『1与g的大小；

a-+ba+b

（2）已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证：«>——.

a-cb-d

【考点5】不等式的解集

一、单选题

1.（2023•高一课时练习）关于X的不等式办<1的解集，下列说法不正确的是（）

A.可能为0B.可能为RC.可能为1，+国］D.可能为［-巩

2.（2023•高一课时练习）已知关于x的不等式加-|x|N0的解集是［-1,1］,则实数机的取值集合为（）

A.{1}B.C.D.（0,1）

3.（2023春•山西大同•高二山西省阳高县第一中学校校考期末）设xeR,则"0<x<5"是朱-［<1"的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

l+x<a

4.（2023•高一课时练习）若不等式组x+9,x+l，有解，则实数。的取值范围是（）

123

A.a<-36B.aW-36

C.a>—36D.a、—36

5.（2023•高一课时练习）下表是某次运动会三种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用1200元预订15

张这三种球类比赛的各种门票，其中篮球比赛与乒乓球比赛的门票张数相同，且篮球比赛门票的费用不超

过足球比赛门票的费用.则可预订的足球比赛门票的张数为（）

比赛项目足球篮球乒乓球

门票价格（元）1008060

A.5B.6C.9D.10

二、填空题

6.（2023•高一课时练习）已知关于尤的不等式（片—1）尤4”1的解集为0,则。=

7.（2023・全国,高一■专题练习）不等式|尤-1|H------->%—1H--------的解集为__________-

x+1x+1

8.（2023春•辽宁铁岭•高二昌图县第一高级中学校考期末）李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了

两种促销方案.方案一：一次购买水果的总价达到100元,顾客就少付尤元.方案二：每笔订单按八折销售.在

促销活动中，某顾客购买水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案

一所付金额，则x的最大值为元.

三、解答题

9.（2023・高一课时练习）如果关于X的不等式组的整数解仅有1,2,试求整数a,b的所有可能

的值.

10.（2023•高一课时练习）解不等式组《

3（2讯>一1）<1?

11.（2023•全国•高一随堂练习）已知数轴上，A（-l）,B（x）,C（6）.

（1）若A与C关于点B对称，求X的值；

（2）若线段AB的中点到C的距离小于5,求x的取值范围.

【考点6]一元二次不等式的解法

一、单选题

1.（2023•全国•高一专题练习）若〃<0,则关于x的不等式的解集为（）

A.]x2<%<—>B.\x—<x<2>

2.（2023秋・天津河西•高三天津市第四中学校考期末）已知命题p:*<2x+3和命题q：|无-1区2,贝ijp是4

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2023•江苏•高一专题练习）已知使不等式/+（a+l）x+a40成立的任意一个x,都满足不等式3x-lV0,

则实数。的取值范围为（）

—,+00—,+00

33

4.（2023•江苏•高一专题练习）若关于x的不等式％2-（7W+3）X+3〃2<0的解集中恰有3个正整数，则实数加

的取值范围为（）

A.[-2,-1）B.（3,4）C,（5,6]D.（6,7]

5.（2023秋・福建福州•高一校考开学考试）不等式上二121的解集是（）

2x+l

A.[4,3]B.C-H，3}D.d

6.（2023秋•高一单元测试）“不等式V一彳+根>0在R上恒成立”的必要不充分条件是（）

11

A.m>0B.m<—C.m<lD.m>—

44

二、多选题

7.（2023•高一课时练习）已知关于x的一元二次不等式加-（2。-1卜-2>0,其中.<0,则该不等式的解

集可能是（）

A.0B.（2,一：JC.-）卜（2,+co）D.1一：』

8.（2023•江苏•高一专题练习）已知关于x的不等式加+灰+c>o的解集为（一'一2）53,+©）,则（）

A.a>Q

B.不等式Zzx+c〉0的解集是{X|x<-6}

C.a+b+c>0

D.不等式cd-Zw+acO的解集为（-8,-g）D（g,+co）

三、填空题

9.（2023•全国,高三专题练习）不等式62+彳+1>。的解集为（祖,1）,则机=.

10.（2023秋•高一课时练习）若实数尤、y满足孙=1,则无+y的最大值是.

11.（2023•全国•高一专题练习）已知方程YYZa+Dx+aS+lh。的两根分别在区间（0,1）,（1,3）之内，则

实数。的取值范围为.

四、解答题

12.（2023秋•陕西汉中•高二统考期末）设。：实数x满足炉-2依-3a2<0（。>0）,q:2c尤<4.

⑴若。=i,且乙q都为真命题，求x的取值范围；

⑵若q是。的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

13.（2023春・山东济宁•高二嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知集合

A={%|-l<x<2},B={x|m-l<x<m+l}.

⑴若〃xe5〃是〃xeA〃的充分不必要条件，求机的取值范围；

（2）若-2尤一〃+120成立，求a的取值范围.

14.（2023秋•安徽滁州•高一校考期末）若不等式（1-，）/一4%+6>0的解集是何-3〈犬<1}.

⑴解不等式2工2+（2-d）x-a>0；

⑵b为何值时，以2+公+32。的解集为艮

【考点7】均值不等式及其应用

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）若乃>0,且〃</?,则下列不等式一定成立的是（）

A.a2<b2B."<v

ab

2.（2023•全国•高一专题练习）已知x>0,>>。，且丁+—=1,则％+y的最小值为（）

（2023,全国•IWJ—*专题练习）已知0<xv4,则J%（4-力的最大值为（

C.V2

3

4.（2023•全国•高一专题练习）已知0<无<辛则必3-2%）取得最大值时x的值为（）

2Q

5.（2023秋,宁夏银川•高三宁夏育才中学校考阶段练习）已知a>0,b>0,且。+〃=2,则一：+一的

Q+1Z7+1

最小值是（

6.（2023•江苏•高一专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方

数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之

为无字证明.现有如图所示图形，点歹在半圆。上，点C在直径A3上，S.OF1AB,设AC=。，BC=b,

则该图形可以完成的无字证明为（）

F

B.a2+b2>2y[ab(«>0,Z?>0)

aka+bla2+b2

C.<yfab(a>0,b>0)D7

a+b-三气力>°)

二、多选题

7.（2023春・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）已知。力£（0,出）/=。+"4=屈，则（）

A.A-//<0B.几―〃之0

C.巴D.匕>西

2222

8.（2023春•湖南长沙•高二长郡中学校考期末）设正实数x,y满足2x+y=l,则（）

A.孙的最大值是5

4

21

B.一+—的最小值是9

元y

c.4'2+y2的最小值为5

D.7^+77的最大值为④

三、填空题

19

9.（2023春・山东济宁•高二校考阶段练习）已知正实数mb满足必=4,则一+：的最小值为____.

ab

10.（2023•全国•高一专题练习）若不等式必+改+420对一切无£口,31恒成立，则〃的最小值为.

11.（2023春・河南鹤壁•高二鹤壁高中校考阶段练习）若两个正实数％,y满足4%+y-肛=。，且不等式

孙2/-6加恒成立，则实数机的取值范围是.

四、解答题

12.（2023秋•全国•高一*专题练习）已知正实数。/满足2〃+〃=必.

（1）求a+2b的最小值；

⑵求就的最小值.

13.（2023春•山西运城•高二校考阶段练习）为持续推进〃改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村〃，某村委

计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影

部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米.

⑴若矩形草坪的长比宽至少多5米,求草坪宽的最大值;

⑵若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

14.（2023・四川雅安,统考模拟预测）已知a>0,b>0,且a+b=4,证明:

(1)3<72+Z72>12；

,、149

(2)----+->-.

a+\b5

第二章等式与不等式

单元复习

【知识梳理】

一、等式的性质、恒等式

(1)等式的性质：①等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立.

②等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.

(2)常见的代数恒等式

①(a+份2=42+2"+:2,

(a—b)2=a2—2ab-\-b2；

②。2一序=(a+O)g一加；

@a3-\-b3=；

a3—b3=(4一。)(次+"+。2).

二'方程的解集

方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.把一个方程所有解组成的集合称为

这个方程的解集.

三、一元二次方程的解法

形如(X—左)2=/(/>0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一

直接开平方法

次方程

把一元二次方程加+法+0=0(〃/0)通过配方化成(%—左)2=

配方法

(三0)的形式，再用直接开平方法求解

一元二次方程of+bx+cuOmWO)满足〃一4〃C20,利用求

公式法加八t—b£^—4ac

根公式L2a

一元二次方程的一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘

因式分解法积，即可化成(冗+机)(x+〃)=0(〃W0)的形式，即可解得两根为：

xi=—m,X2=~n

四、不等关系与不等式

⑴不等关系与不等式

用数学符号“W”“三”“W”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关

系，含有这些不等号的式子，称为不等式.

⑵比较两个实数（代数式）大小

任意给定两个实数a,b,那么

a—b<G=a<b,a—b=boa=b,a—b>O=a>b.

五、不等式的性质及推论

⑴不等式的性质

性质别名内容

性质1可加性+c>b+c

性质2a>b,c>O=>ac>bc

可乘性

性质3a>b,c<O=>ac<bc

性质4传递性a>b,b>c=>a>c

性质5对称性a>b<^b<a

⑵不等式的推论

推论别名内容

推论1移项法则a+b>c=a>c—b

推论2同向不等式相加a>b,c>d=>a+c>b+d

推论3同向不等式相乘a>b>0,c>d>Q=>ac>bd

推论4可乘方性a>b>Q=>an>bn(n£N,n>l)

推论5可开方性a>b>O=>y[a>y[b

六、集合的基本概念

⑴不等式的解集

不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.

⑵不等式组的解集

对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解

集.

七'绝对值不等式

⑴绝对值不等式的概念

一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.

⑵两种简单的绝对值不等式的解集

①关于x的不等式国＞机（m＞0）的解为x＞机或机，解集为（一8,—m）U（m,+°°）；

②关于x的不等式|x|＜加（加＞0）的解为一机＜x＜"z,解集为（一"z,m）.

⑶数轴上两点之间的距离公式及线段中点的坐标公式

①一般地，如果实数a,6在数轴上对应的点分别为A,B,即A（a）,B（b）,则线段A3的长为

AB=\a-b\,这就是数轴上两点之间的距离公式.

②如果线段A3的中点〃对应的数为x,即M（x）,贝1］》=叼^；这就是数轴上的中点坐标公式.

八、一元二次不等式的解法

⑴一般地，形如ad+加:+°＞0的不等式称为一元二次不等式,其中a，b，c是常数，而且aWO.

⑵求一元二次不等式解集的方法

①因式分解法

一般地，如果X1＜X2,则不等式（X—X1＞（X—X2）＜0的解集是（XI,X2）,不等式（》一X1）（X—X2）＞0

的解集是（一8,xi）U（X2,+8）.

②配方法

一元二次不等式ad+Ox+cXXaWO）通过配方总是可以变为（x—/?）2＞左或（%—/?）2＜左的形式，

然后根据左的正负等知识，就可以得到原不等式的解集.

九、分式不等式的解法

分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形

,、ax+。、，、ax+。_

式普＞°伊°）或彳R（w°）.

十、均值不等式

⑴两个正数的算术平均值、几何平均值定义

给定两个正数a,b,数审称为a,6的算术平均值；数跑称为a,6的几何平均值.

⑵均值不等式

如果a,6都是正数，那么审芸丽，当且仅当a=O时,等号成立.

十一、均值不等式与最大（小）值

（1）已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积砂有最大值上.

(2)已知x,y都是正数，如果积砂等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2、但.

【热考题型】

【考点11等式的性质与方程的解集

一、单选题

1.(2023・高一课时练习)下列因式分解正确的是()

A.x{x-1)=x2-xB.(2x+l)(x-1)=2x2-x-1

C.5x2-2x-3=(x+l)(5x-3)D.5%?—2元-3=(x-l)(5%+3)

【答案】D

【分析】逐项分解因式可得答案.

【详解】对于A,应该是f_%=旧_1),故A错误

对于B,应该是2%2_%_1=(2%+1)(%-1),故B错误；

对于C,—2x—3=(%—1)(5%+3),故C错误；

对于D,5%2一2%-3=(工-1)(5%+3),故D正确.

故选：D.

2.(2023・全国•高三专题练习)下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是()

A.如果。=力，那么a+c=b—cB.如果々2=6〃，那么0=6

C.如果“=》，那么q=2D.如果0=2,那么”=人

CCCC

【答案】D

【分析】取c*0,可判断A；Y=6aoa=6或。=0,可判断B；取c=0,可判断C；利用等式的性质,

可判断D

【详解】选项A,当"0时，