人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：4. 4 .1 对数函数的概念

4.4对数函数

4.4.1对数函数的概念

【学习目标】1.理解对数函数的概念2会求简单对数函数的定义域.3.了解对数函数在生产实

际中的简单应用.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点对数函数的概念

一般地，函数y=logQX(〃>0,且叫做对数函数，其中％是自变量，函数的定义域是

+8)

Y

思考函数y=logG,y=log2］是对数函数吗？

X

『答案』y=log7ix是对数函数，y=log2］不是对数函数.

■思考辨析判断正误

1.由y=\ogaX9得x=*所以x>0.(V)

2.y=log2%2是对数函数.(X)

3.若对数函数y=logd,则〃>0.(V)

4.函数y=loga(x—1)的定义域为(0,+°°).(X)

题型探究探究重点素养提升

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一、对数函数的概念及应用

例1(1)下列给出的函数：

©y=log5x+l；

®y=\ogax\a>0,且aWl)；③y=log(有_口尤；

④y=log3永©y=\og^3(x>Q,且xWl)；

⑥y=log2x.其中是对数函数的为()

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A.③④⑤B.②④⑥C.①③⑤⑥D.③⑥

(2)已知对数函数的图象过点M(8,3),则后)=.

『答案』(1)D(2)-1

『解析』(1)①中对数式后面加1,所以不是对数函数；②中真数不是自变量x,所以不是

对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数

是自变量x,而非常数所以不是对数函数，故③⑥正确.

(2)设於)=logRa>0,且aWl),由图象过点M(8,3),则有3=log“8,解得。=2.所以对数函

数的『解析』式为式x)=log*,所以yQ)=log2：=—1.

反思感悟判断一个函数是否为对数函数的方法

对数函数必须是形如y=log°x(a>0,且aWl)的形式，即必须满足以下条件：

⑴对数式系数为1.

⑵底数为大于0且不等于1的常数.

(3)对数的真数仅有自变量x.

跟踪训练1⑴下列函数表达式中，是对数函数的有()

①y=logt2；②y=logaX(aGR)；③y=log5；④y=lnx；@y=logr(x+2)；@y=log2(x+1).

A.1个B.2个C.3个D.4个

『答案』B

(2)若对数函数式x)的图象过点(4,-2),则近8)=.

『答案』-3

二、与对数函数有关的定义域

例2求下列函数的定义域.

(l)y=logfl(3-x)+loga(3+x)；

v

(2)y=log2(16-4)；

(3)y=logi-x5.

考点对数函数的定义域

题点对数函数的定义域

[3—x>0,

解⑴由一c得一3<x<3,

〔3+x>0,

•••函数的定义域是(一3,3).

(2)由16—4*>0,得不<16=42,

由指数函数的单调性得尤<2,

函数y=log2(16一平)的定义域为(一8,2).

f1—x>0,

(3)依题意知，)得x<l且xWO,

[1一xWl,

...定义域为(一8,O)U(O,1).

反思感悟求含对数式的函数定义域关键是真数大于0,底数大于0且不为1.如需对函数式

变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变.

跟踪训练2求下列函数的定义域.

dr-4

⑴尸%+3)；

(2)y=^^^+ln(x+1).

考点对数函数的定义域

题点对数函数的定义域

X2—4^0,

解⑴要使函数有意义，需卜+3>0,

、x+3Wl,

"尤W—2或九22,

即<x>一3,即一3<x<—2或％N2,

2,

故所求函数的定义域为(一3,-2)U『2,+8).

2—x>0,

⑵要使函数有意义，需,c

Lx+i>o,

[x<2,

即")—1<JC<2.

[x>—1,

故所求函数的定义域为(一1,2).

三、对数函数模型的应用

例3大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鞋鱼的游速可以表示为函

数。=；log3端，单位是m/s,。是表示鱼的耗氧量的单位数.

(1)当一条鞋鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

(2)某条鞋鱼想把游速提高lm/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？

解(1)由O=5og3*可知，

当0=900时，v=^log3Y^=|log39=1(m/s).

所以当一条鞋鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是lm/s.

(2)设色圭鱼原来的游速、耗氧量为611,提速后的游速、耗氧量为。2,仇.

由02—01=1,Kp110g3^-110g3^=1,

吟》

所以耗氧量的单位数为原来的9倍.

反思感悟对数函数应用题的解题思路

⑴依题意，找出或建立数学模型.

⑵依实际情况确定『解析』式中的参数.

(3)依题设数据解决数学问题.

(4)得出结论.

随堂演练基础巩固学以致用

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1.下列函数为对数函数的是()

A.y=logax+l(a>0且aWl)

B.y=loga(2x)(cz>0且aW1)

C.y=log(a-i)x(a>l且aW2)

D.y=21ogM(a>0且aWl)

考点对数函数的概念

题点对数函数的概念

『答案』C

2.函数y=log2(x—2)的定义域是()

A.(0,+°°)B.(1,+°0)

C.(2,+°°)D.『4,+°0)

考点对数函数的定义域

题点对数函数的定义域

『答案』C

3.函数人。=玲3—尤+lg(x+l)的定义域为()

A.r-1,3)B.(-1,3)C.(一L3』D.『一1,3』

『答案』C

4.对数函数式x)过点(9,2),则6)=.

『答案』-1

『解析』设八工)=logaX(a>0且aWl),loga9=2,

・・.〃2=9,.・・4=3(舍〃=—3),

・・・«X)=10g3X,・•,娟=10g3]=—l.

5.函数«x)=logd+〃2