高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第10课时直线与抛物线位置关系(原卷版+解析)

第10课时直线与抛物线位置关系编写：廖云波【回归教材】1.直线与椭圆的位置关系设直线，抛物线:，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当<0时，直线与抛物线相离，无交点.②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.2.弦长的求解当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与抛物线C相交于两个不同的点，则弦长..3.点差法设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得，.设线段的中点为，即，同理，对于抛物线，则有4.抛物线的切线过抛物线上的点的切线方程是.

过抛物线上的点的切线方程是.

【常用结论】直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角（1）y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).（2）弦长AB＝eq\f(2p,sin2α)．（3）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.（4），，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).（5）以AB为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.

【典例讲练】题型一直线与抛物线的位置关系【例1-1】设直线，抛物线，当为何值是，与相切？相交？相离？【例1-2】直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（

）A． B．，C．， D．或归纳总结：【练习1-1】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条题型二焦点弦问题【例2-1】已知抛物线的焦点为是过的直线与抛物线的两个交点，求证：（1）；（2）为定值；（3）以为直径的圆与抛物线的准线相切．（4）（为弦AB的倾斜角）．【例2-2】已知抛物线及圆，过的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为___________.归纳总结：【练习2-1】已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则_______.【练习2-2】过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则（

）A． B．2 C． D．【练习2-3】过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（

）A． B． C． D．【练习2-4】已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．题型三抛物线的切线【例3-1】过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为___________.【例3-2】如图，已知为二次函数的图像上异于顶点的两个点，曲线在点处的切线相交于点.(1)利用抛物线的定义证明：曲线上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：成等差数列，成等比数列；归纳总结：【练习3-1】已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为6，则___________；若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则这两条切线的斜率之积为___________.【练习3-2】设抛物线C：，过点的直线l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线相交于点P.(1)求点P的轨迹方程；(2)求的最大值.题型四中点弦问题【例4-1】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（

）A．4 B．2 C．1 D．归纳总结：【练习4-1】已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．3 C． D．－3题型五直线与抛物线的综合问题【例5-1】已知抛物线C：的焦点为F，过M（4，0）的直线交C于A、B两点，设，的面积分别为、，则的最小值为______．【例5-2】已知抛物线，，是C上两个不同的点．(1)求证：直线与C相切；(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．归纳总结：【练习5-1】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，坐标原点为.(1)若，求直线的方程；(2)若，求的面积.【完成课时作业（五十九）】

【课时作业（五十九）】A组础题巩固1．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．2．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，的中点为M．若．则点M的横坐标为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．4．已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．5．在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物线C：于不同的两点，则（

）A．16 B．32 C．64 D．566．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点为抛物线上一动点，当取得最大值时，直线的倾斜角为（

）A． B． C．或 D．或7．【多选题】已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是（

）A．若直线l⊥x轴，则|AB|=2B．C．y1·y2=-4 D．∠A1FB1=8．【多选题】已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，，，，．则下列选项正确的是（

）A． B．以线段为直径的圆与直线相离C．当时， D．面积的取值范围为9．【多选题】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点为线段AB的中点，且，则下列结论正确的为（

）A．N为的外心B．M可以为C的焦点C．l的斜率为 D．可以小于210．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______；的面积为_______．11．设为拋物线：的焦点，其准线与轴的交点为过点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，则的面积为______.12．平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为且，求证直线过定点．B组能力提升1．设抛物线的焦点为F，抛物线C上的两点A，B位于x轴的两侧，且（O为坐标原点），若与的面积分别为和，的最小值为（

）A． B． C． D．2．【多选题】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为B．C． D．3．直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为．4．已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程．(2)设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．第10课时直线与抛物线位置关系编写：廖云波【回归教材】1.直线与椭圆的位置关系设直线，抛物线:，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当<0时，直线与抛物线相离，无交点.②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.2.弦长的求解当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与抛物线C相交于两个不同的点，则弦长..3.点差法设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得，.设线段的中点为，即，同理，对于抛物线，则有4.抛物线的切线过抛物线上的点的切线方程是.

过抛物线上的点的切线方程是.

【常用结论】直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角（1）y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).（2）弦长AB＝eq\f(2p,sin2α)．（3）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.（4），，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).（5）以AB为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.

【典例讲练】题型一直线与抛物线的位置关系【例1-1】设直线，抛物线，当为何值是，与相切？相交？相离？【答案】当时，与相切；当时，与相交；当时，与相离.【解析】【分析】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可.【详解】解：联立方程，得消去并整理，得.当时，方程为一元二次方程.所以.当，即时，与相切；当，即且时，与相交；当，即时，与相离.当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点.综上所述，当时，与相切；当时，与相交；当时，与相离.【例1-2】直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（

）A． B．，C．， D．或【答案】D【解析】【分析】当时，直线符合题意；当时，联立直线与抛物线方程消去，得关于的一元二次方程，由即可得，的关系，进而可得正确答案.【详解】当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；当时，由可得：，若直线与抛物线有且只有一个公共点，则，整理可得：，所以，综上所述：或，故选：D.归纳总结：【练习1-1】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【答案】C【解析】【分析】由已知，根据题意，过点分别从与轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出满足题意的直线，然后即可做出判断.【详解】由已知，可得①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，，，解得，故直线方程.所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.故选：C.题型二焦点弦问题【例2-1】已知抛物线的焦点为是过的直线与抛物线的两个交点，求证：（1）；（2）为定值；（3）以为直径的圆与抛物线的准线相切．（4）（为弦AB的倾斜角）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）设直线方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，即可得到，再结合抛物线的方程，即可证得.（2）根据抛物线的定义，得到，将代入上式，即可得到结论；（3）设的中点为，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，证得，即可证得结论.【详解】（1）由抛物线，可得其焦点为，由题意可设直线方程为，联立方程组，可得，因为在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点，则是方程的两个实数根，所以，因为，所以，所以.（2）由抛物线的定义，可得，因为代入上式，可得.（3）设的中点为，分别过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，则，即圆心到准线的距离等于球的半径，所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．（4）如图，不妨设弦AB的倾斜角为锐角，作垂直于抛物线准线,垂足为M,N,由抛物线的定义可得，所以，同理可得，,所以，当为直角或钝角时，同理可证明，故.【例2-2】已知抛物线及圆，过的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为___________.【答案】13【解析】【分析】根据圆心即为抛物线C的焦点F，利用抛物线的定义，结合基本不等式求解.【详解】解：如图所示：圆心即为抛物线C的焦点F.所以，由抛物线的定义，，所以，又易知：，所以，当且仅当，即时等号成立.

所以的最小值为13，故答案为：13归纳总结：【练习2-1】已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则_______.【答案】10【解析】【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦长公式为，代入即可.【详解】根据抛物线的定义可得，所以.故答案为：10.【练习2-2】过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】作辅助线，根据抛物线的定义判断相关线段长度间的关系，结合角度关系及抛物线的定义求解，进而可求出结果.【详解】如图，过，分别作抛物线准线的垂线，垂足为，，再过，分别作轴的垂线，垂足为，.根据抛物线的定义可知，.结合焦点到抛物线的准线的距离为2，在中，，在中，，即，解得.所以.故.故选：D.【练习2-3】过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意设为，联立抛物线结合韦达定理求得，，再由线段的数量关系求，最后由列方程求p，写出抛物线方程即可.【详解】由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，∴若，则，，又易得，∴，则，即，∴，又，而，∴，即，又，则，故.故选：D【练习2-4】已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】【分析】设直线l的倾斜角为，求得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于.由抛物线定义求出和.在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出,即可解得．【详解】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于.由抛物线定义可得：.因为，所以.而.在直角三角形ABC中，,解得：．故选：C题型三抛物线的切线【例3-1】过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为___________.【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再利用直线方程的相关知识即可求出.【详解】抛物线可写成：且设，则两条切线的斜率分别为两条切线的方程为：又两条切线过点，所以所以直线AB的方程为：又，所以直线AB的方程为：.故答案为：.【例3-2】如图，已知为二次函数的图像上异于顶点的两个点，曲线在点处的切线相交于点.(1)利用抛物线的定义证明：曲线上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：成等差数列，成等比数列；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义证明即可；（2）求出函数的导函数，即可得到切线方程，从而求出两直线的交点坐标，即可得证；(1)证明：令，直线：，曲线上任意一点，又，则点到直线的距离，则，即曲线上任意一点到点的距离与到直线：的距离相等，且点不在直线：上，所以曲线上的每一个点都在一条抛物线上，抛物线的方程即为，焦点坐标为，准线方程为；(2)解：对于，则，所以，，即过点、的切线方程分别为、，又，，所以、，由，解得，即，即，，又，所以、、成等差数列，、、成等比数列；归纳总结：【练习3-1】已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为6，则___________；若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则这两条切线的斜率之积为___________.【答案】

##0.5【解析】【分析】由抛物线焦半径列出方程，求出，进而求出，设出切线方程，联立抛物线方程后用根的判别式求解.【详解】由抛物线定义，到抛物线的焦点距离为，得，代入方程得，设过点得切线为，联立抛物线得：，由，得，由韦达定理得：故答案为：，.【练习3-2】设抛物线C：，过点的直线l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线相交于点P.(1)求点P的轨迹方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)-4【解析】【分析】（1）根据题意可知，直线l斜率存在，设，，设直线l的方程为y=kx+1，与抛物线方程联立可求出，，再利用导数的几何意义求出过点A，B的切线方程，然后联立可得点的坐标，即可得到点P的轨迹方程；（2）由（1）可得，，化简运算可得，，即可求出的最大值.(1)如图，结合图象可知，当直线l的斜率不存在时，直线l与C只有一个交点，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，联立，化简可得.设，，则有，，由，可得，所以，，从而结合点A在抛物线C上有，即①，同理得②，联立①②可得交点，即，故点P的轨迹方程为y=-1.(2)结合（1）可得，，所以.因为，所以，故的最大值为-4.题型四中点弦问题【例4-1】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】【分析】设，，代入抛物线方程相减可得．【详解】设，，∵是AB的中点，∴，由，相减得，所以直线的斜率，故选：B．归纳总结：【练习4-1】已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．3 C． D．－3【答案】C【解析】【分析】利用点差法计算可得；【详解】解：设，，则，所以，整理得．因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．故选：C题型五直线与抛物线的综合问题【例5-1】已知抛物线C：的焦点为F，过M（4，0）的直线交C于A、B两点，设，的面积分别为、，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，，与抛物线的方程联立整理得，由三角形的面积公式求得，再根据基本不等式可得答案.【详解】解：由抛物线C：得焦点，又直线交C于A、B两点，所以直线的斜率不为0，则设直线的方程为，，联立，整理得，则，又，，所以，又，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【例5-2】已知抛物线，，是C上两个不同的点．(1)求证：直线与C相切；(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用证明即可；（2）设，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得，然后由可得，即可证明.(1)联立得，因为在C上，则，所以，因此直线与C相切．(2)由（1）知，设，切线的方程为，切线的方程为，联立得，因为，，所以．又因为，所以，解得，所以．故点P在定直线上．归纳总结：【练习5-1】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，坐标原点为.(1)若，求直线的方程；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程消元之后利用韦达定理和焦半径公式列式即可求解；（2）分割求面积，，，与可求(1)显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，则，所以由抛物线的定义可得：解得则直线的方程为，即(2)不妨设在轴上方，在轴下方若，则【完成课时作业（五十九）】

【课时作业（五十九）】A组础题巩固1．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B2．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，的中点为M．若．则点M的横坐标为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】由题意可得抛物线的焦点坐标，设点M、A、B的坐标，结合抛物线的定义和中点坐标公式即可求解.【详解】由题意知焦点，设，有则，所以，所以点M的横坐标为3，故选：B3．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．【答案】B【解析】【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，代入抛物线方程得，可得，根据抛物线的定义可知直线AB的长为．故选：B．4．已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据椭圆方程求得，写出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义求得，由此求得直线的方程.【详解】椭圆，，所以，，所以抛物线:.设，直线的方程为.联立消去，化简整理得，则.因此直线的方程是.故选：A.5．在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物线C：于不同的两点，则（

）A．16 B．32 C．64 D．56【答案】B【解析】【分析】将直线方程和抛物线方程联立，根据韦达定理和向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】易知直线斜率存在，设：，联立方程整理得所以所以故选：B.6．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点为抛物线上一动点，当取得最大值时，直线的倾斜角为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，分析可得，当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，设出直线的方程，将抛物线的方程，由可求得直线的斜率，即可求得直线的倾斜角.【详解】抛物线的准线为，焦点为，易知点，过点作，垂足点为，由抛物线的定义可得，易知轴，则，所以，，当取得最大值时，取最小值，此时最大，则直线与抛物线相切，由图可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立可得，则，解得，因此，直线的倾斜角为或.故选：D.7．【多选题】已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是（

）A．若直线l⊥x轴，则|AB|=2 B． C．y1·y2=-4 D．∠A1FB1=【答案】CD【解析】【分析】选项A，求解A，B点的坐标，从而求出AB的长；选项BC，设出直线l的方程，联立直线l与抛物线C的方程组，消元得一元二次方程，得到两根之积；D选项，由抛物线定义得到∠AFA1=∠A1FO=∠AFO，∠BFB1=∠B1FO=∠BFO，从而得到答案.【详解】抛物线C的焦点F（1，0），准线方程x=-1，显然l不垂直于y轴，设l的方程为x=my+1，由得：y2-4my-4=0，y1，y2是此方程的二根，选项A，直线l⊥x轴，m=0，y1=2，y2=-2，则|AB|=4，即选项A错误；选项B，y1·y2=-4，则，即选项B错误；选项C，y1·y2=-4，即选项C正确；选项D，如图中，由抛物线的定义知，|AF|=|A1A|，∴∠AA1F=∠AFA1，又AA1//x轴，∴∠AA1F=∠A1FO，∴∠AFA1=∠A1FO=∠AFO，同理可得，∠BFB1=∠B1FO=∠BFO，∴∠A1FB1=∠A1FO+∠B1FO=（∠AFO+∠BFO）=，即选项D正确.故选：CD8．【多选题】已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，，，，．则下列选项正确的是（

）A． B．以线段为直径的圆与直线相离C．当时， D．面积的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】求出抛物线C的焦点、准线，设出直线l的方程，与抛物线C的方程联立，再逐一分析各个选项，计算判断作答．【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，可得，，，故A错误；由，的中点到准线的距离为，可得，即有以为直径的圆与准线相切，则它与直线相离，故B正确；由，可得，即，又，，解得，，，，所以，故C错误；由即的导数为，可得处的切线的方程为，处的切线的方程为，联立两条切线的方程，解得，，即，到的距离为，，则的面积为，当时，取得等号，则面积的取值范围为，，故D正确．故选：BD．9．【多选题】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点为线段AB的中点，且，则下列结论正确的为（

）A．N为的外心 B．M可以为C的焦点C．l的斜率为 D．可以小于2【答案】AC【解析】【分析】由可得，即可判断A选项；设出直线，联立抛物线，由求出，即可判断B选项；由点差法即可求出l的斜率判断C选项；求出即可判断D选项.【详解】由可得，则N为的外心，A正确；易得直线斜率不为0，设，，联立可得，，则，则，由可得，即，则，则焦点为，B错误；由作差得，即，C正确；，则，D错误.故选：AC.10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______；的面积为_______．【答案】

5

【解析】【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.【详解】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5；.11．设为拋物线：的焦点，其准线与轴的交点为过点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，则的面积为______.【答案】##【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，求出直线方程，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长公式求出，再求出到直线的距离，从而可求出的面积【详解】拋物线：的焦点，准线，所以，过点且倾斜角为的直线方程为：，即0，设联立得，所以，所以点到直线0的距离所以．故答案为：12．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为且，求证直线过定点．【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得，进而即得；（2）设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理法结合条件可得，即得.(1)设C上任意一点P的坐标为，则有：，当时，有；