高中数学-生活中的优化问题举例教学设计学情分析教材分析课后反思

生活中的优化问题举例

一、课标分析：

知识与技能目标：

会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题

中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。

过程与方法目标：

在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生

通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。

情感、态度与价值观目标：

情感、态度与价值观：

在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，

以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。

二、教材分析：

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.

教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题.

三、学情分析

我班共36人。班中学生学习数学的兴趣比较浓，大部分学生能按预定目标完成学习任务。

只有几个同学运算能力较差,运算速度慢。通过一学期的学习,我发现我班同学观察能力较

弱，分析题干能力较差，粗心大意的毛病严重，语言表达能力较差，因此我决定在本学期的

教学活动中要注重培养学生的观察能力和语言表达能力，特别是要多组织学生进行实践性、

探索性的学习交流活动,从而提高学生的学习应变能力.

针对学生运算能力差，运算速度慢的问题，本学期我会把重点放在对学生学习方法的引

导上，力求每个学生都能达到熟练掌握的程度，在此基础上充分利用每日一练，加强练习，

提高运算速度。

四、教学方法

自主探究与合作探究相结合，启发引导式教学

新授课教学基本环节：创设情景、新课引入一展示目标一合作探究、典例探究一反思总结、

当堂检测一发导学案、布置预习

五、课前准备

1.学生的学习准备：

2.教师的教学准.备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

六、课时安排：2课时

七、教学过程：

（-）.创设情景、新课引入

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问

题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具.这一节，我们利

用导数，解决一些生活中的优化问题.

设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标

（二）.师生互动，新课讲解

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下

几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

(三)合作探究、精讲点拨。

例1(课本例1).海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4T所示的

竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm;上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何

设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

172

解：设版心的高为xdm,则版心的宽为——dm,此时四周空白面积为

x

।92512

S(x)=(x+4)(——+2)—128=2%+——+8,x>0o

XX

求导数，得

S(x)=2—当

厂

519

令S'(x)=2——-=0,解得了=16(x=—16舍去)。

x

于是宽为竽端登

当XG(0,16)时，S(x)<0；当xe(16,+oo)时，S(x)>0.

因此，X=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm,宽为8dm

时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

变式1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折

起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是

60

解法一：设箱底边长为xcm,则箱高〃二空士加，得箱子容积

2

Y2—1*3

V(x)=x2h------:—(0<x<60).

3%2

VV)=60x-^-(0<x<60)

3f

令V'(x)=60x-----=0,解得x=0(舍去)，x=40,

2

并求得V(40)=16000

由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16000

是最大值.

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3

解法二：设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积

V(x)=(60-2X)。(0<x<30).(后面同解法一>略)

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值

点处.

60丫2_尤3

事实上，可导函数V(x)=x2〃=上上——,V(x)=(60-2x)2x在

各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个

极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关

系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当

的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，

导数是一个有力的工具.

例2(课本例2).饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8万/分,

其中r是瓶子的半径，单位是厘米。己知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且

制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm

问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是

y=/(r)=0.2x^^-r3-0.8^r2=0.8乃,0<r<6

令r⑺=0.8乃(产一2「)=0解得r=2(厂=()舍去)

当r«0,2)时，/'⑺<0；当re(2,6)时,/f(r)>0.

当半径r>2时，/'(r)>0它表示/(r)单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径厂<2时，/(r)<0它表示/(r)单调递减，即半径越大，利润越低.

(1)半径为2cm时，利润最小，这时/(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶

子的成本，此时利润是负值.

(2)半径为6cm时，利润最大.

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当厂=3时，/(3)=0,即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的

成本恰好相等；当厂>3时，利润才为正值.

当re(O,2)时，/'(r)<0，/(r)为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm

时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm时，利润最小.

变式2、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的

价格p(元/吨)之间的关系式为：p=24200—*2,且生产x吨的成本为R=50000

+200x(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多

少？

【解】每月生产x吨时的利润为

7(x)=(24200-1x2^—(50000+200x)

=一1?+24OOOx-50000(x20),

3

由/(X)=-^X2+24000=0,解得：％=20。或x=-200(舍去).

因共©在［0,+8)内只有一个点％=200使/(幻=0,故它就是最大值点，

且最大值为4200)=—/义2003+24000X200—50000=3150000(元)，故每月生

产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.

多媒体展示探究思考题。

在学生分组讨论的过程中教师巡回观察指导。

（四）反思总结，当堂检测。

1.利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题建立数学模型用函数表示的数学问题

解决数学模型

__________n__________

--------------------作竺

优化问题的答案—用导数解决数学问题

2.解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研

究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决.在这个过程中，导数往往是一个有利

的工具。

（五）发导学案、布置预习。

设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸

拓展训练。

八、板书设计导数概念几何意义：变式1例2变式2

函数单调性与导数：

例1

九、教学反思

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课

堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，

最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，

也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步！

十、学案设计（见下页）

生活中的优化问题举例

【学习目标】

1.体会导数在解决实际问题中的作用.

2.能利用导数解决简单的实际问题.

【学习过程】

（一）知识回顾：

1、函数单调性与导数之间的关系：

在某个区间伍，力)内，如果f'(x)>0,那么函数y=/(x)在这个区间内

；如果/'(x)<0,那么函数y=*x)在这个区间内.

2、利用导数求函数单调区间的步骤

(1)确定函数外)的定义域；

(2)求导数/'(x)；

(3)由/(幻〉0(或(x)<0),解出相应的x的范围.当/(幻〉0时，/U)在相

应的区间上是增函数；当/(x)<0时，式x)在相应区间上是减函数；

(4)结合定义域写出单调区间.

(二)知识新授：

1、你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

2、是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

探究一：海报版面尺寸的设计

例1(课本例1).

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的

竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何

设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

解：

变式1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折

起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是

60

探究二：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

例2（课本例2）.

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识工某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8〃,分,

其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且

制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm

问题：（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：

变式2某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元

/吨）之间的关系式为：p=24200-jx2,且生产x吨的成本为R=50000+

200x（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

（三）反思总结

请同学们归纳：1.利用导数解决优化问题的基本思路：

2.解决优化问题的方法：

（四）当堂检测

1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙

壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分

别为（单位：米）（）

A.32,16B.30,15C.40,20D.36,18

2.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加

100元，已知总营业收入R与年产量X的关系是R=R（x）=

400A—p：2,0WxW400,

则总利润最大时，每年生产的产品是（)

80000,x>400,

A.100B.150

C.200D.300

3.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为米.

4.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h

时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每

千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为.

5.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm,要使体积最大，则其高应为（）

.5s!Oj3

A.3cmDB.3m

C.5小mD2。产m

6.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为

-4>0）,且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的

存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x,xw（00.048）,则当x为多少时，银行可获得

最大收益？

说一说，同学们，这节课学到了什么？

我班共36人。班中学生学习数学的兴趣比较浓，大部分学生能按预定目标完成学习任务。

只有几个同学运算能力较差,运算速度慢。通过一学期的学习,我发现我班同学观察能力较

弱，分析题干能力较差，粗心大意的毛病严重，语言表达能力较差，因此我决定在本学期的

教学活动中要注重培养学生的观察能力和语言表达能力，特别是要多组织学生进行实践性、

探索性的学习交通活动，从而提高学生的学习应变能力。

针对学生运算能力差，运算速度慢的问题，本学期我会把重点放在对学生学习方法的引

导上，力求每个学生都能达到熟练掌握的程度，在此基础上充分利用每日一练，加强练习，

提高运算速度。

没有一位数学教师不希望自己的数学课精彩,没有一名学生不想在充满生机和活力的氛

围中学习，没有一名学生不想在充满愉悦的心情下学习数学，我教过的一些同学跟我讲：“听

了您的数学课，我感到数学不再可怕了，恰恰相反，我感到：堂堂有大收获，天天有成功”。

要让你教的学生喜欢你，让他们终生无法忘记你，经常回味您上数学课的情景，你就要吃苦

耐劳，花大气力搞好教学设计；就要充分地发扬教学民主，营造一个充满生机和活力的数学

课堂；就要努力锤炼你的教学语言，努力了解一些和数学教学内容相关的趣闻趣事。一位立

志教好数学的朋友，只要不辞辛苦地在这三大方面下功夫，就一定能成为一名优秀的深受学

生和学生家长爱戴的数学教师。

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.

教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题.

王敏评价：

根据自己多年的高中数学教学实践和亲身感悟，针对教学设计、师生关系和教学语言几

个方面谈谈英老师的这节课。

一、课堂教学设计

先复习学生学过的、和本节课的研究内容关系极为密切的知识和方法，主要目的是为新

的研究内容的进行铺平道路，整堂课的内容浑然一体，让学生和听课的老师感到课堂内容丰

富，但又没有一个多余的研究内容，由一个问题过渡到另一个问题的研究是人们很自然的想

法。结尾小节让学生抓住本节课要掌握的重点内容，让本节课的重点在学生头脑中历历在目，

让学生意犹未尽，让学生对下一节课的研究充满了期待。结尾小节让学生更多地完成，颇有

特色。

二、课堂教学方法和课堂上的师生关系

在课堂教学中，英老师创设民主、平等、和谐的课堂氛围。从创设生动具体的问题情境

入手，组织师生共同参与活动。英老师以平等的态度点拨调动学生的积极性，把微笑带进课

堂。充分发挥自己的人格魅力和不断提升课堂艺术，点燃学生思维的火花，使学生达到愿学、

爱学、乐学的境界。

三、看课堂上教师的教学语言

课堂上英老师的语言准确，简捷明了，得当。特别是对于数学问题的描述要准确无误，

课堂上英老师语言抑扬顿挫，生动形象，具有趣味性，有幽默感，能让学生在轻松愉快的气

氛下完成数学的学习。

四、看课堂教学效果

从学生的表情看出学生的心理，看出学生的愉悦，看出学生对本节知识和方法掌握的大

致很好。从课堂练习和学生回答问题和主动发言的情况看出学生对本节知识和方法的掌握情

况不错。学生主动发言，学生会答问题准确无误，绝大多数同学较顺利地进行课堂练习，说

明课堂效果很好。

评测练习

一'选择题

1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有

的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽

应分别为（单位：米）（）

A.32,16B.30,15C.40,20D.36,18

2.将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为（）

A.2和6B.4和4

C.3和5D.以上都不对

3.内接于半径为火的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为（）

A.号和全B.哈?和华R

47

C.凯和D.以上都不对

4.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本

增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R（x）=

400A—0<xW400,

<2则总利润最大时，每年生产的产品是（）

,80000,心>400,

A.100B.150

C.200D.300

5.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p

元，销售量为。件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q=8300—170p—p2.

则最大毛利润为（毛利润=销售收入一进货支出）（）

A.30元B.60元

C.28000元D.23000元

6.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm,要使体积最大，则其高应

为（）

.5s!Oj3

A.-cmB.-m

C.5y[3mm

二、填空题

7.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为米.

8.已知矩形的两个顶点A、。位于x轴上，另两个顶点从C位于抛物线y

=4—/在*轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为.

9.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10

km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行

驶每千米的费用总和最小时，此轮