高中数学《求曲线的方程》导学案

2.1.2求曲线的方程

卜课前自主预习

R基础导学

求曲线方程的一般步骤

自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“x”)

(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方

程也不一样.()

(2)化简方程“国=飙”为“y=x”是恒等变形.()

(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.()

答案(1)V(2)X(3)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是.

(2)直角坐标平面xOy中，若定点A(l,2)与动点P(x,y)满足够应=4,则点P

的轨迹方程是.

(3)已知点。(0,0),4(1,-2),动点尸满足|朋|=31P0|,则点P的轨迹方程是

答案(l)f+V=4(2)x+2y—4=0

(3)8』+2x+8y2—4y—5=0

卜课堂互动探究

探究1直接法求曲线方程

例1A为定点，线段在定直线/上滑动.已知［8。=4,A到/的距离为

3,求△ABC的外心的轨迹方程.

［解］解法一(直接法)：建立平面直角坐标系，使光轴与/重合，A点在y轴

上(如图所示),则4(0,3).设外心P(x,y),

在3C的垂直平分线上，

二・B(x+2,0),C(x—2,0).

VP也在AB的垂直平分线上，

：.\PA\=\PB\,即d/+(y—3)2=产三.

化简，得x2—6y+5=0.这就是所求的轨迹方程.

解法二(参数法)：建立坐标系，得A(0,3).

设8C边的垂直平分线的方程为x=r,①

〃+21)■

则点3的坐标为“+2,0),于是A8的中点是匕一，

从而AB的垂直平分线方程为y-1=胃干一等)•②

由①②式消去f,得x2—6y+5=0,即为所求.

拓展提升

求曲线方程分直接法和间接法，直接法的步骤如下：①建立适当坐标系；②

设出动点坐标M(x,>)；③写出动点M满足的条件等式；④将条件等式坐标化；

⑤验证满足所求方程的点是否均在曲线上.

【跟踪训练1】已知在直角三角形ABC中，NC为直角，点A(—l,0),点

8(1,0),求满足条件的点。的轨迹方程.

解如图，设C(x,y),贝!］

AC=(x-\-1,y),BC=(x—1,y).

为直角，

S.ACLBC,即亦反'=0.

.*.(%+l)(x—l)+y2=0,化简得f+yul.

VA,B,C三点要构成三角形,

，A,B,C三点不共线，.'.yWO.

.。.点C的轨迹方程为/+9=1。工0).

探究2定义法求曲线方程

例2已知圆C：(x—l)2+y2=i,过原点。作圆的任意弦，求所作弦的中点

的轨迹方程.

［解］如图，

设0Q为过0点的一条弦，P(x,y)为其中点，则CP_LOQ.

设M为。。的中点，则M的坐标为色,0).

,/ZOPC=90°,

动点P在以点*,0)为圆心，。。为直径的圆上，

由圆的方程得Q-02+y2=((oaw1).

拓展提升

如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点

的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.

【跟踪训练2】已知定长为6的线段，其端点A,8分别在x轴、y轴上移

动，线段A3的中点为M,求点M的轨迹方程.

解作出图象如图所示，

根据直角三角形的性质可知

所以M的轨迹是以原点。为圆心，以3为半径的圆，

故点M的轨迹方程为f+y2=9.

探究3相关点法(代入法)求曲线的方程

例3已知△ABC,A(—2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3f—l上

移动，求△4BC的重心的轨迹方程.

［解］设△ABC的重心为G(x,y),顶点C的坐标为(xi,y).

C-2+0+xi

x=,

由重心坐标公式得《

O-2+yi

［尸3，

fxi=3x+2,

所以℃

［yi=3y+2.

代入yi=3xj—1,得3y+2=3(3x+2)2—1,

所以y=9尤2+12X+3即为所求轨迹方程.

拓展提升

代入法的定义及解题步骤

(1)定义

若动点P依赖于已知曲线上的动点M,借助于动点M求动点P的轨迹方程

的方法通常叫代入法，又叫相关点法(动点M叫相关动点).

(2)求解步骤

①设动点P(x,y),相关动点M(xo,yo)；

②利用条件求出两动点坐标之间的关系

[xo=7(x，y)，

[yo=g(x,y)；

③代入相关动点的轨迹方程；

④化简、整理，得所求轨迹方程.

其步骤可总结为“一设二找三代四整理”.

【跟踪训练3】动点M在曲线f+V=l上移动，M和定点以3,0)连线的中

点为P,求P点的轨迹.

解设动点P(光，y),M(xo,yo).

因为尸为MB的中点，且8(3,0),

"_xo+3

x2'(xo=2x—3,

所以〈贝M—

_义lyo=2y.

又因为M在曲线f+y2=l上，所以(2x—3)2+4尸=1,

所以(无一,+尸；

因此点P的轨迹是以修，0)为圆心，T为半径的圆.

f-----------------------1篇翩刈------------------------

1.求解曲线方程的步骤

(1)第一步在具体问题中有两种情况：①所研究的问题中已给定了坐标系，直

接在给定的坐标系中求方程；②原题中没有确定的坐标系，需先建立适当的坐标

系，选取特殊点为原点.

(2)第二步是求方程最重要的一步，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条

件，抓住曲线上任意点满足的等量关系，列出几何关系式，但在具体解题的过程

中经常不出现这一步(被省略).

(3)第三步将几何关系式转化为代数中的方程.

(4)化简过程中，注意运算的合理性与准确性，避免增解与漏解，第五步从理

论上讲很有必要，但在没有特殊情况的时候，常省略，有特殊情况时则不能省，

可以说是对第四步的完善.

2.很多时候在求出曲线方程后，第五步直接省略了，没将特殊情况进行说明，

该剔除的没剔除，该补充的没补充，因此出现错误.

卜随堂达标自测

1.若点M到两坐标轴的距离的积为2019,则点M的轨迹方程是()

A.孙=2019B.q=一2019

C.盯=±2019D.xy=±2019(x>0)

答案C

解析设M(x,y),则由题意知|加'|=2019,所以孙=±2019.

2.下列各点中，在曲线X2—xy+2y+l=0上的点是()

A.(2,-2)B.(4,-3)C.(3,10)D.(-2,5)

答案C

解析依次把四个选项代入X2—xy+2y+l,当x=3,y=10时，^—xy+ly

+1=0.故选C.

3.平面内有两定点A,8,月」AB|=4,动点P满足曲十两=4,则点P的轨

迹是()

A.线段B.半圆C.圆D.直线

答案C

解析以A8的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则

A(—2,0),B(2,0).设尸(x,y),则应+磅=2瓦=2(一九，一y).所以/+产=4.

4.若动点P在曲线y=2f+l上移动，连接点P与点。(0,-1),则线段产。

中点的轨迹方程是.

答案尸41

解析设尸(xi,yi),线段P。中点为M(x,y),

A2'(xi=2x,

因为0(0,-1),所以I,所以c,,

yi-1lyi=2y+l.

L2'

因为尸(xi,yi)在曲线y=2/+l上，所以yi=2x：+l,所以2y+1=2(2xA+1,

化简为y=4f,所以线段PQ中点的轨迹方程为y=4/.

5.设尸为y=f+l上的一动点，A(0,-3),AQ=^AP,求点。的轨迹方程.

解设。(x,y),P{x\,yi),

->1-

•：AQ=^AP,

X=X5

■■|,+3='^,+3),"»[xi==3xy,+6,

又(xi,yi)在yuf+l上，

.,.3y+6=(3x)2+l=9x2+l,

，y=3f—|即为所求的轨迹方程.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.已知点4—1,0),5(1,0),且砺•砺=0,则动点M的轨迹方程是()

A.x2+y2=1B.x2+y2=2

C./+产=D.x2+y2=2(x^±\/2)

答案A

解析设动点M(x,y),则法=(—l—x,—y),砺=(l—x,—y).由法.砺=

0,得(一1一x)(l—x)+(—y)(—y)=0,即f+Vnl.

2.曲线,/(x,y)=0关于直线x—y—3=0对称的曲线方程为()

A._/u—3,>)=oB.y(y+3,%)=o

C.fy-3,x+3)=0D.fiy+3,x—3)=0

答案D

解析在对称曲线上任选一点(x,y),则它关于x—y—3=0对称的点为。+3,

%—3).故所求曲线方程为心'+3,%—3)=0.

3.已知两定点A(—2,0)、8(1,0),如果动点P满足照|=2|P8],则点P的轨

迹所围成的图形的面积等于()

A.兀B.4兀C.8兀D.9兀

答案B

解析设尸(匚y),由|Rl|=2|PB|,得

y](x+2)2+y2=2yl(x-l)2+y2,

整理，得/-4元+y2=0,

即(x—2)2+V=4,所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S

=4无.

4.已知lg(x-2),lg|2y|,lg16x成等差数列，则动点P(x,y)的轨迹方程为()

A.y2=4x2—Sx(x>2)

B.V=4f+8xQ>2)

C.y=y4/_8x(x>2)

D.产74/+8X(X>2)

答案A

解析..」g(x—2),1g|2y|,1g16x成等差数列，

••.21g|2y|=lg(%-2)+lg16x,

...4y2=(x-2>16x,得y1=4x^—8X(A:>2).

5.已知A(—1,0),8(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()

A.4x—3y—16=0或4x—3y+16=0

B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0

C.4x—3y+16=0或4x—3y+24=0

D.4x—3y+16=0或4x—3y—24=0

答案B

v—0r—I—1

解析由两点式，得直线A3的方程是音=干，即4x-3y+4=0,线段

AB的长度|AB|='(2+1)2+42=5.设C点的坐标为(x,y),ffll|x5Xl4A~-g>，+4|=

10,即4x-3y-16=0或4x-3y+24=0.

6.已知定点尸i(一2,0)与尸2(2,0),动点M满足|M」FI|一|MF2|=4,则点M的轨

迹方程是()

A喘一叁=1B.，一方=0(x22)

C.y=0(|x|22)D.y=0(x»2)

答案D

解析假设M(x,y),根据-|MF2|=4,可以得到：^/(Jc+2)2+y2—

q(x—2)2+y2=4,两边平方，化简可以得到y=0,又因为旧宙2|=4,且

所以动点M的轨迹是一条射线，起点是(2,0),方向同光轴正方向.

二'填空题

7.设A为圆(x—1)2+丁=1上的动点，RL是圆的切线，且|刑|=1,则动点P

的轨迹方程是.

答案（x—1）2+产=2

解析圆(X—l)2+y2=1的圆心为3(1,0),半径r=],

则|PB|2=|网2+月

，|P8|2=2.

,动点P的轨迹方程为(尤一l)2+y2=2.

8.过点P(0,l)的直线与曲线园一1=/71二于相交于A,B两点，则线段

AB长度的取值范围是.

答案[2啦，4]

解析曲线氏|一1=71一(1一)02可化为尤21,(%—l)2+(y—1)2=1,或尤<—1,

(x+l)2+(y-1)2=1,图象如图所示，

线段45长度的取值范围是[2啦，4].

三'解答题

9.在平面直角坐标系中，已知动点P(x,y),轴，垂足为M,点N与

点P关于x轴对称，且行砺;=4,求动点P的轨迹方程.

解由已知得M(0,y),N(x,~y),则疏i(x,-2y),

故宓茄—(x,y>(x,—2y)=x1—2y2,

依题意知，x2~2y2=4,

因此动点P的轨迹方程为X2-2/=4.

10.已知圆O：/+y2=4,点4—3,5),点M在圆。上移动，且点P满足方

=g询,求点p的轨迹方程.

解设P(x,y),M(xo,yo).

因为^=(x+3,y—5),^#=(xo+3,5),

且帝=g就，

所以(x+3,y—5)=/xo+3,yo—5),

1+3=秒+1,

(xo=3x+6,

即[yo=3y—10.

因为点M(xo,yo)在圆。上，所以xo+yi=4,

即(3x+6)2+(3y-10)2=4,

1.直线/：y=Z(x—5)(Z#0)与圆O：f+y2=]6相交于A,B两点,。为圆

心，当人变化时，求弦A3的中点M