高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)8.5空间直线、平面的平行(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

8.5空间直线、平面的平行（讲义+例题+小练）一、直线与直线平行平行与同一直线的两直线平行等角定理如果空间中两个角的两边分别对应平行，这两个角相等或互补例1：1.（1）基本事实：平行于同一条直线的两条直线_______________．（2）等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________或___________图形语言作用判断或证明两个角相等或互补[微思考]如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？______________2．已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．举一反三1．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线_______所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）空间两条直线所成角的取值范围：_____________．空间两直线垂直如果两条异面直线所成的角是____________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作______________．2．如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是()A．梯形

B．平行四边形

C．菱形

D．矩形二、直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号：例2如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.求证：平面.注：证明线面垂直1，找中位线2，找平行四边形3，正两个面平行举一反三如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点。求证：平面三．直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行，则线线平行.符号:例3如图，在三棱锥中，分别是中点，平面平面.求证：.举一反三1．如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：平面EFGH．2．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.求证:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．四．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为：线面平行，则面面平行.符号：例4如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.举一反三1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中点．(1)求证：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中点，求证：平面B1DF∥平面ACE．五．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。简记为：面面平行，则线线平行.符号：补充：平行于同一平面的两平面平行；夹在两平行平面间的平行线段相等；两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行例5如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．举一反三1．如图，已知平面平面，点P是平面，外一点，且直线PB，PD分别与，相交于点A，B和点C，D．如果，，，求PD的长．2．如图，是边长为2的等边三角形，在平面四边形ACDE中，，，，，求证：平面ABC．巩固提升1．设为两个不同的平面，则的充要条件是（

）A．内有无数条直线与平行B．垂直于同一平面C．平行于同一条直线D．内的任何直线都与平行2．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）A． B．C． D．3．三棱锥中，为的重心，在棱上，且，则与平面的位置关系为（

）A．在平面内 B．在平面外C．与平面相交 D．与平面平行4．如图，已知圆锥的顶点为，是底面圆的直径，点在底面圆上且，点为劣弧的中点，过直线作平面，使得直线平面，设平面与交于点，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则6．如图，在正四面体中，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（

）A．OM∥PD B．OM∥平面PACC．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA8．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，下列四个推断中正确的是（

）A．平面B．平面C．平面D．平面平面三、填空题9．设平面，直线，则___________.10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：①平面DE；②平面AF；③平面平面AFN；④平面平面NCF.其中正确结论的序号是______.四、解答题11．如图，四棱锥中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：平面DCF．12．如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图（单位：cm）．（1）画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；（2）设为上的一点，为中点，且，证明：平面平面．．13．长方体中，分别为棱的中点.（1）求证：；（2）求证：.14．如图，，直线AC分别交平面，，于点A，B，C，直线DF分别交平面，，于点D，E，F．求证：．8.5空间直线、平面的平行（讲义+例题+小练）一、直线与直线平行平行与同一直线的两直线平行等角定理如果空间中两个角的两边分别对应平行，这两个角相等或互补例1：1.（1）基本事实：平行于同一条直线的两条直线_______________．（2）等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________或___________图形语言作用判断或证明两个角相等或互补[微思考]如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？______________【答案】

平行

相等

互补

比一定平行，可以相交、异面、平行2．已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．【答案】证明见解析【解析】【分析】连接AC，利用正方体的性质，得到四边形AA′C′C为平行四边形，再结合M，N分别是CD，AD的中点，得到MN∥A′C′且MN=A′C′证明.【详解】证明：如图所示：连接AC，由正方体的性质可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四边形AA′C′C为平行四边形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四边形MNA′C′是梯形．举一反三1．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线_______所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）空间两条直线所成角的取值范围：_____________．空间两直线垂直如果两条异面直线所成的角是____________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作______________．【答案】

与

直角

2．如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是()A．梯形

B．平行四边形

C．菱形

D．矩形【答案】B【解析】【详解】根据中位线定理可知：//且，可知四边形为平行四边形故选：B二、直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号：例2如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.求证：平面.【答案】证明见解析【分析】根据图像，连接，与相交与，连接，是平行四边形，是的中点，根据中位线的性质即可得证.【详解】如图，连接，与相交与，连接，∵是平行四边形，∴是的中点，又是的中点，∴，又平面，平面，∴平面.注：证明线面垂直1，找中位线2，找平行四边形3，正两个面平行举一反三如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点。求证：平面【答案】证明见解析.【分析】取的中点，连接，由三角形的中位线定理可得∥,，而已知∥，，从而得∥，，所以四边形为平行四边形，从而得，再利用线面平行的判定定理可证明【详解】证明：取的中点，连接因为为的中点，所以∥,，因为∥，，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.三．直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行，则线线平行.符号:例3如图，在三棱锥中，分别是中点，平面平面.求证：.【答案】证明见解析【分析】先根据线面平行证明，结合平行的传递性可得.【详解】因为分别是的中点，所以，所以.又平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以.又，所以.【点睛】本题主要考查空间中的直线与直线平行，线线平行可以通过线面平行转化，侧重考查逻辑推理的核心素养.举一反三1．如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：平面EFGH．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据线面平行的判定定理、性质定理即可得证【详解】因为四边形EFGH为平行四边形，所以，因为平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，又因为平面ACD，且平面平面BCD，所以，又因为平面EFGH，平面EFGH，所以平面EFGH2．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.求证:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先由BC∥AD证明BC∥平面PAD，再结合平面PBC∩平面PAD=l，由线面平行推出线线平行，即得证；（2）取PD的中点E，连接AE，NE，可证明四边形AMNE是平行四边形，即MN∥AE，由线线平行推线面平行，即得证【详解】（1）∵▱ABCD∴BC∥AD，又BC平面PAD，平面PAD∴BC∥平面PAD.又∵平面PBC∩平面PAD=l，平面PBC∴l∥BC.（2）如图，取PD的中点E，连接AE，NE，则NE∥CD，且NE=CD，又AM∥CD，且AM=CD，∴NE∥AM，且NE=AM.∴四边形AMNE是平行四边形.∴MN∥AE.又∵AE⊂平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.四．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为：线面平行，则面面平行.符号：例4如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.【答案】见解析【分析】由正方形的性质得出，可得出平面，由线面垂直的性质定理得出，可得出平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论.【详解】由于四边形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.【点睛】本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.举一反三1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中点．(1)求证：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中点，求证：平面B1DF∥平面ACE．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）连BD，使BD∩AC＝G，连EG，由中位线定理以及线面平行判定定理证明即可；（2）证明B1F∥平面ACE，结合B1D∥平面ACE，利用面面平行判定定理证明即可.(1)连BD，使BD∩AC＝G，连EG．∵ABCD是正方形，BD∩AC＝G，∴DG＝BG．又∵E是BB1中点，∴B1E＝BE，∴DB1∥GE，又平面ACE，平面ACE，∴B1D∥平面ACE．(2)∵E是棱BB1的中点，F是棱CC1的中点．∴B1E∥CF且B1E＝CF，∴四边形B1ECF是平行四边形，∴B1F∥CE，又∴平面ACE，平面ACE，∴B1F∥平面ACE，由（1）B1D∥平面ACE，又∵DB1∩B1F＝B1，∴平面B1DF∥平面ACE．五．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。简记为：面面平行，则线线平行.符号：补充：平行于同一平面的两平面平行；夹在两平行平面间的平行线段相等；两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行例5如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．【答案】见解析．【分析】先通过中位线，通过线线平行，证得平面平面，在根据面面平行的性质定理证得.【详解】因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM．【点睛】本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及到了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质定理.在平行转化的过程中，已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件来判断.举一反三1．如图，已知平面平面，点P是平面，外一点，且直线PB，PD分别与，相交于点A，B和点C，D．如果，，，求PD的长．【答案】【解析】【分析】根据面面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可【详解】由题意可知：平面，平面，因为平面平面，所以，因此有.2．如图，是边长为2的等边三角形，在平面四边形ACDE中，，，，，求证：平面ABC．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据给定条件证明平面平面即可推理作答.【详解】因为，则四边形ACDE是菱形，有，而平面ABC，平面ABC，于是得平面ABC，又，平面ABC，平面ABC，则平面ABC，因为，且平面，因此，平面平面ABC，又因平面，所以平面ABC.巩固提升1．设为两个不同的平面，则的充要条件是（

）A．内有无数条直线与平行B．垂直于同一平面C．平行于同一条直线D．内的任何直线都与平行【答案】D【解析】【分析】根据面面平行、相交的知识确定正确选项.【详解】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.故选：D2．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行：对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故选：A．3．三棱锥中，为的重心，在棱上，且，则与平面的位置关系为（

）A．在平面内 B．在平面外C．与平面相交 D．与平面平行【答案】D【解析】【分析】通过对应线段成比例得到线线平行，从而得到线面平行.【详解】如图，延长交于点，连接，因为为的重心，所以，又，平面，平面，平面.故选：D4．如图，已知圆锥的顶点为，是底面圆的直径，点在底面圆上且，点为劣弧的中点，过直线作平面，使得直线平面，设平面与交于点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】连接交于点，连接，根据线面平行的性质定理知，再根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据圆的性质得到，进而得，即可求出的值.【详解】解：如图，连接交于点，连接，则平面平面，又平面，所以，所以.因为是底面圆的直径，，点为劣弧的中点，连接，所以，所以，易得，所以，则.故选：B.5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则【答案】D【解析】【分析】利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解【详解】选项A：有可能出现的情况；选项B：和有可能异面；选项C：和有可能相交；选项D：由，，得直线和平面没有公共点，所以，故选：D6．如图，在正四面体中，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】作出辅助线，找到异面直线与所成角即为（或其补角），利用余弦定理求出，由勾股定理求出，利用余弦定理求出答案.【详解】设为棱上与点最近的一个四等分点，连接，，，，则，所以异面直线与所成角即为（或其补角）．不妨设正四面体的棱长为4，则．在中，，，，由余弦定理得：，解得：，同理，．在等腰三角形中，．在中，，，，由余弦定理得，解得：．在中，由余弦定理得:．故选：C二、多选题7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（

）A．OM∥PD B．OM∥平面PACC．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA【答案】AC【解析】【分析】根据已知条件，利用三角形中位线定理判定A正确；利用线面平行的判定定理判定C正确；根据线面平行的定义——没有公共点，判定BD错误.【详解】因为矩形对角线的交点为O，所以O是BD的中点，又M为PB的中点，为△的中位线，,又平面,平面,所以OM∥平面PDA，故正确；与平面有公共点,与平面有公共点,故BD错误.故选：.8．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，下列四个推断中正确的是（

）A．平面B．平面C．平面D．平面平面【答案】AC【解析】【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断A；由，与平面相交可判断B；由，根据线面平行的判定定理可判断C，由与平面相交可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为在正方体中，，，分别是，，的中点，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以平面，故选项A正确；对于B：因为，与平面相交，所以与平面相交，故选项B错误；对于C：因为，，分别是，，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故选项C正确；对于D：与平面相交，所以平面与平面相交，故选项D错误.故选：AC三、填空题9．设平面，直线，则___________.【答案】9【解析】【分析】根据题意作出可能的示意图，根据面面平行的性质，可得到线线平行，从而列出比例式，解得答案,【详解】根据题意可作图如下：因为直线，故可设它们确定的平面为m,则m和α的交线为AC,和β的交线为BD,因为，故,故,即，则,故答案为：9.10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：①平面DE；②平面AF；③平面平面AFN；④平面平面NCF.其中正确结论的序号是______.【答案】①②③④.【解析】【分析】将图形还原为正方体，进而根据点线面的位置关系及线面平行和面面平行的判定定理判断答案.【详解】如图，对①，因为，所以四边形是平行四边形，所以，而平面DE，平面DE，则平面DE.正确；对②，因为，所以四边形是平行四边形，所以，而平面AF，平面AF，则平面AF.正确；对③，因为，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，而，所以平面B