高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题48诱导公式二、三、四(原卷版+解析)

专题48诱导公式二、三、四1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα；cos(π＋α)＝－cosα；tan(π＋α)＝tanα.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα；cos(－α)＝cosα；tan(－α)＝－tanα.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sinα；cos(π－α)＝－cosα；tan(π－α)＝－tanα.4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．5．四组诱导公式的记忆四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.6．四组诱导公式的作用公式一的作用：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角；公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.题型一给角求值问题1．求下列各三角函数值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)；(4)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))；(5)(5)sineq\f(2π,3)；(6)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)))2．求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)coseq\f(119π,6).3．计算：(1)coseq\f(π,5)＋coseq\f(2π,5)＋coseq\f(3π,5)＋coseq\f(4π,5)；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．(3)taneq\f(π,5)＋taneq\f(2π,5)＋taneq\f(3π,5)＋taneq\f(4π,5)；(4)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.(5)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．4．利用公式求下列三角函数值：(1)coseq\f(47,6)π；(2)tan(－855°)；(3)sin(－945°)＋cos(－eq\f(29,6)π)；(4)taneq\f(3,4)π＋sineq\f(11,6)π.5．求下列各三角函数值：(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(2)tan(－765°)；(3)sineq\f(4π,3)·coseq\f(25π,6)·taneq\f(5π,4).6．求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；(2)sineq\f(8π,3)coseq\f(31π,6)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))).7．求值：sin(－1200°)×cos1290°＋cos(－1020°)×sin(－1050°)＋tan855°.8．eq\f(cos－585°,sin495°＋sin－570°)的值等于________．9．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是10．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为11．设sin160°＝a，则cos340°的值是()A．1－a2 B.eq\r(1－a2)C．－eq\r(1－a2) D．±eq\r(1－a2)12．已知a＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)))，b＝coseq\f(23π,4)，c＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33π,4)))，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．b＞c＞a D．c＞a＞b14．若f(n)＝sineq\f(nπ,3)(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝________．题型二给值(式)求值问题1．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,3)，则cosα的值为2．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)π<α<2π，则sin(2π＋α)等于()A.eq\f(1,2)B．±eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)3．已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于()A．－eq\f(12,13)B.eq\f(12,13)C．±eq\f(12,13) D.eq\f(5,12)4．已知cos(π－α)＝－eq\f(3,5)，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是()A.eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C．±eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)5．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))等于6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,6)))＝________．7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,6)))＝________.8．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝________.9．已知α为第二象限角，且sinα＝eq\f(3,5)，则tan(π＋α)的值是10．已知cos(α－55°)＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；11．已知sin(π＋α)＝eq\f(3,5)，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是12．已知sin(π＋α)＝eq\f(4,5)，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是13．若cos(2π－α)＝eq\f(\r(5),3)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则sin(π－α)＝14．若sin(π＋α)＝eq\f(1,2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tan(π－α)等于15．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于16．已知sineq\f(5π,7)＝m，则coseq\f(2π,7)＝________.17．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于18．已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．19．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－α))的值为20．已知cos(508°－α)＝eq\f(12,13)，则cos(212°＋α)＝________.21．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，tan(α－7π)＝－eq\f(3,4)，则sinα＋cosα的值为22．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋7，α，β均为实数，若f(2018)＝8，则f(2019)的值为________．题型三化简求值问题1．以下四种化简过程，其中正确的有()①sin(360°＋200°)＝sin200°；②sin(180°－200°)＝－sin200°；③sin(180°＋200°)＝sin200°；④sin(－200°)＝sin200°.A．0个 B．1个C．2个 D．3个2．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为4．设f(α)＝eq\f(2sin（2π－α）cos（2π＋α）－cos（－α）,1＋sin2α＋sin（2π＋α）－cos2（4π－α）)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,6)π))的值为5．化简(1)eq\f(sin540°＋α·cos－α,tanα－180°)；(2)eq\f(sin2π＋αcos－π＋α,cos－αtanα).6．化简：(1)eq\f(cos－αtan7π＋α,sinπ－α)；(2)eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)；(3)eq\f(sin1440°＋α·cos1080°－α,cos－180°－α·sin－α－180°).7．化简下列各式．(1)eq\f(cosπ＋α·sin2π＋α,sin－α－π·cos－π－α)；(2)eq\f(cos190°·sin－210°,cos－350°·tan－585°).(3)eq\f(cosθ＋4π·cos2θ＋π·sin2θ＋3π,sinθ－4πsin5π＋θcos2－π＋θ).8．已知tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，则eq\f(2cosπ－α－3sinπ＋α,4cosα－2π＋sin4π－α)＝________.9．已知tan(π＋α)＝3，求eq\f(2cos（π－α）－3sin（π＋α）,4cos（－α）＋sin（2π－α）)的值．10．已知tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，求下列各式的值：(1)eq\f(2cosπ－α－3sinπ＋α,4cosα－2π＋sin4π－α)；(2)sin(α－7π)cos(α＋5π)．11．eq\r(2＋2sin2π－θ－cos2π＋θ)可化简为________．12．eq\r(2＋2sin2π－θ－cos2π＋θ)可化简为________．13．化简：eq\r(1＋2sinπ－2·cosπ－2)＝________.14．已知sin(α＋π)＝eq\f(4,5)，且sinαcosα＜0，则eq\f(2sinα－π＋3tan3π－α,4cosα－3π)＝________.15．若tan(7π＋α)＝a，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值为16．已知tan(7π＋α)＝2，求eq\f(2cosπ－α－3sin3π＋α,4cos－α＋sin2π－α)的值．17．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：eq\f(sin（π－α）＋5cos（2π＋α）,3cos（π－α）－sin（－α）)＝－eq\f(3,5).18．已知f(α)＝eq\f(sinπ＋αcos2π－αtan－α,tan－π－αsin－π－α).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(3)若α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值．19．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是()A．sinα＝sinβ B．sin(α－2π)＝sinβC．cosα＝cosβ D．cos(2π－α)＝－cosβ20．在△ABC中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③sin(2A＋2B)＋sin2C；④cos(2A＋2B)＋cos2C.其中为常数的是()A．①③B．②③C．①④ D．②④21．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．22．当θ＝eq\f(5π,4)时，eq\f(sin[θ＋（2k＋1）π]－sin[－θ－（2k＋1）π],sin（θ＋2kπ）cos（θ－2kπ）)(k∈Z)的值等于________．23．下列三角函数式：①sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(3π,4)))；②coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ－\f(π,6)))；③sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(π,3)))；④coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋1π－\f(π,6)))；⑤sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n－1π－\f(π,3))).其中n∈Z，则函数值与sineq\f(π,3)的值相同的是()A．①② B．②③④C．②③⑤ D．③④⑤24．设k为整数，化简：(1)eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α);(2)eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°)；(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(4π,3)))(k∈Z)．25．化简：eq\f(sinα＋nπ＋sinα－nπ,sinα＋nπcosα－nπ)(n∈Z)．26．已知函数f(x)＝eq\f(6cosπ＋x＋5sin2π－x－4,cos2π－x)，且f(m)＝2，试求f(－m)的值．27．已知eq\f(1＋tanθ＋720°,1－tanθ－360°)＝3＋2eq\r(2)，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·eq\f(1,cos2－θ－2π)的值．专题48诱导公式二、三、四1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα；cos(π＋α)＝－cosα；tan(π＋α)＝tanα.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα；cos(－α)＝cosα；tan(－α)＝－tanα.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sinα；cos(π－α)＝－cosα；tan(π－α)＝－tanα.4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．5．四组诱导公式的记忆四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.6．四组诱导公式的作用公式一的作用：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角；公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.题型一给角求值问题1．求下列各三角函数值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)；(4)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))；(5)(5)sineq\f(2π,3)；(6)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)))[解析](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)法一：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\f(31π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).法二：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.(4)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(2π,3)))＝taneq\f(2π,3)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－taneq\f(π,3)＝－eq\r(3).(5)sineq\f(2π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).(6)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)))＝coseq\f(7π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).2．求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)coseq\f(119π,6).[解析](1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.(3)coseq\f(119π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20π－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).3．计算：(1)coseq\f(π,5)＋coseq\f(2π,5)＋coseq\f(3π,5)＋coseq\f(4π,5)；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．(3)taneq\f(π,5)＋taneq\f(2π,5)＋taneq\f(3π,5)＋taneq\f(4π,5)；(4)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.(5)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．[解析](1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)＋cos\f(4π,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)＋cos\f(3π,5)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,5)))))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)－cos\f(π,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)－cos\f(2π,5)))＝0.(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.(3)原式＝taneq\f(π,5)＋taneq\f(2π,5)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,5)))＝taneq\f(π,5)＋taneq\f(2π,5)－taneq\f(2π,5)－taneq\f(π,5)＝0.(4)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－eq\f(\r(3),2)－cos45°－tan45°＝－eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)－1＝－eq\f(\r(2)＋\r(3)＋2,2).(5)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.4．利用公式求下列三角函数值：(1)coseq\f(47,6)π；(2)tan(－855°)；(3)sin(－945°)＋cos(－eq\f(29,6)π)；(4)taneq\f(3,4)π＋sineq\f(11,6)π.[解析](1)coseq\f(47,6)π＝cos(eq\f(11,6)π＋6π)＝coseq\f(11,6)π＝cos(2π－eq\f(π,6))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(,3),2).(2)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan45°＝1.(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π－\f(5π,6)))＝sin(－225°)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))＝－sin(180°＋45°)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝sin45°－coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(,2),2)－eq\f(\r(,3),2)＝eq\f(\r(,2)－\r(,3),2).(4)原式＝tan(π－eq\f(π,4))＋sin(2π－eq\f(π,6))＝－taneq\f(π,4)－sineq\f(π,6)＝－1－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2).5．求下列各三角函数值：(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(2)tan(－765°)；(3)sineq\f(4π,3)·coseq\f(25π,6)·taneq\f(5π,4).[解析](1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\f(31π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).(2)tan(－765°)＝－tan765°＝－tan(45°＋2×360°)＝－tan45°＝－1.(3)sineq\f(4π,3)·coseq\f(25π,6)·taneq\f(5π,4)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)))＝－sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)taneq\f(π,4)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)×1＝－eq\f(3,4).6．求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；(2)sineq\f(8π,3)coseq\f(31π,6)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))).[解析](1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－1＝0.(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(π,4)))＝sineq\f(2π,3)coseq\f(7π,6)＋taneq\f(π,4)＝sineq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))＋taneq\f(π,4)＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＋1＝eq\f(1,4).7．求值：sin(－1200°)×cos1290°＋cos(－1020°)×sin(－1050°)＋tan855°.[解析]原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)＝－sin120°×cos210°－cos300°×sin330°＋tan135°＝－sin(180°－60°)×cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°)＝sin60°×cos30°＋cos60°×sin30°－tan45°＝eq\f(\r(,3),2)×eq\f(\r(,3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－1＝0.8．eq\f(cos－585°,sin495°＋sin－570°)的值等于________．[解析]原式＝eq\f(cos360°＋225°,sin360°＋135°－sin360°＋210°)＝eq\f(cos180°＋45°,sin180°－45°－sin180°＋30°)＝eq\f(－cos45°,sin45°－－sin30°)＝eq\f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)＋\f(1,2))＝eq\r(2)－2.9．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是[解析]因为sin150°＝sin(180°－30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)，sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2)，cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－eq\f(\r(2),2)，所以原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)－1＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).10．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为[解析]由题意得tan600°＝－eq\f(3,a)，又因为tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝eq\r(3)，所以－eq\f(3,a)＝eq\r(3)，所以a＝－eq\r(3).11．设sin160°＝a，则cos340°的值是()A．1－a2 B.eq\r(1－a2)C．－eq\r(1－a2) D．±eq\r(1－a2)[解析]因为sin160°＝a，所以sin(180°－20°)＝sin20°＝a，而cos340°＝cos(360°－20°)＝cos20°＝eq\r(1－a2).12．已知a＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)))，b＝coseq\f(23π,4)，c＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33π,4)))，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．b＞c＞a D．c＞a＞b[解析]a＝－taneq\f(7π,6)＝－taneq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),3)，b＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，c＝－sineq\f(33π,4)＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，∴b＞a＞c.13．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπxx＜0，,fx－1－1x＞0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))的值为________．[解析]feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)－1))－1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)－1))－2＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))－2＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－2＝－sineq\f(π,6)－2＝－eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝eq\f(1,2)－eq\f(5,2)＝－2.14．若f(n)＝sineq\f(nπ,3)(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝________．[解析]f(1)＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(,3),2)，f(2)＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(,3),2)，f(3)＝sinπ＝0，f(4)＝sineq\f(4π,3)＝－eq\f(\r(,3),2)，f(5)＝sineq\f(5π,3)＝－eq\f(\r(,3),2)，f(6)＝sin2π＝0，f(7)＝sineq\f(7π,3)＝sineq\f(π,3)＝f(1)，f(8)＝f(2)，…，因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋336×0＝eq\f(\r(,3),2).题型二给值(式)求值问题1．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,3)，则cosα的值为[解析]cos(π＋α)＝－cosα，所以cosα＝eq\f(1,3).2．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)π<α<2π，则sin(2π＋α)等于()A.eq\f(1,2)B．±eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)[解析]由cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，得cosα＝eq\f(1,2)，故sin(2π＋α)＝sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2)(α为第四象限角)．3．已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于()A．－eq\f(12,13)B.eq\f(12,13)C．±eq\f(12,13) D.eq\f(5,12)[解析]由cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，得cosα＝eq\f(5,13).又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sinα＝－eq\r(,1－cos2α)＝－eq\f(12,13).4．已知cos(π－α)＝－eq\f(3,5)，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是()A.eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C．±eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)[解析]因为cos(π－α)＝－cosα，所以cosα＝eq\f(3,5).因为α是第一象限角，所以sinα>0.所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－eq\f(4,5).5．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))等于[解析]因为taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝－eq\f(1,3).6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,6)))＝________．【解析】)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,6)))＝________.[解析]coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3).8．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝________.[解析])因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3)，sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝sin2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＝eq\f(2,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(2＋\r(3),3).9．已知α为第二象限角，且sinα＝eq\f(3,5)，则tan(π＋α)的值是[解析]因为sinα＝eq\f(3,5)且α为第二象限角，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).所以tan(π＋α)＝tanα＝－eq\f(3,4).10．已知cos(α－55°)＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；[解析]∵cos(α－55°)＝－eq\f(1,3)<0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－eq\r(1－cos2α－55°)＝－eq\f(2\r(2),3).∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝eq\f(2\r(2),3).11．已知sin(π＋α)＝eq\f(3,5)，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是[解析]因为sin(π＋α)＝－sinα＝eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\f(3,5).又α是第四象限角，所以cosα＝eq\f(4,5)，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(4,5).12．已知sin(π＋α)＝eq\f(4,5)，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是[解析]∵sin(π＋α)＝－sinα＝eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(4,5)，且α为第四象限角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5).又∵cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cosα＝eq\f(3,5)13．若cos(2π－α)＝eq\f(\r(5),3)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则sin(π－α)＝[解析]因为cos(2π－α)＝cosα＝eq\f(\r(5),3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(2,3)，所以sin(π－α)＝sinα＝－eq\f(2,3).14．若sin(π＋α)＝eq\f(1,2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tan(π－α)等于[解析]因为sin(π＋α)＝－sinα，根据条件得sinα＝－eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴cosα>0，所以cosα＝eq\r(1－sin2\f(α,2))＝eq\f(\r(3),2).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,\r(3))＝－eq\f(\r(3),3).所以tan(π－α)＝－tanα＝eq\f(\r(3),3).15．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于[解析]因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sinα＝－m，所以sinα＝eq\f(m,2)，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq\f(3,2)m.16．已知sineq\f(5π,7)＝m，则coseq\f(2π,7)＝________.[解析]因为sineq\f(5π,7)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,7)))＝sineq\f(2π,7)＝m，且eq\f(2π,7)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以coseq\f(2π,7)＝eq\r(1－m2).17．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于[解析]sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosα＝eq\f(sinα＋cosα2－1,2)＝eq\f(m2－1,2).18．已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[解析]∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－eq\r(1－cos2α－75°)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq\f(2\r(2),3).19．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－α))的值为[解析]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)－α))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2).20．已知cos(508°－α)＝eq\f(12,13)，则cos(212°＋α)＝________.[解析]由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13)，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13).21．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，tan(α－7π)＝－eq\f(3,4)，则sinα＋cosα的值为[解析]∵tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝－tan(6π＋π－α)＝－tan(π－α)＝tanα＝－eq\f(3,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，且tanα＜0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＞0，cosα＜0.又∵tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，①而sin2α＋cos2α＝1,②由①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(3,5)，,cosα＝－\f(4,5).))∴sinα＋cosα＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,5).22．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋7，α，β均为实数，若f(2018)＝8，则f(2019)的值为________．[解析]因为f(2018)＝asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＋7＝asinα＋bcosβ＋7，所以asinα＋bcosβ＋7＝8，所以asinα＋bcosβ＝1，又f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＋7＝－asinα－bcosβ＋7＝－1＋7＝6.所以f(2019)＝6.题型三化简求值问题1．以下四种化简过程，其中正确的有()①sin(360°＋200°)＝sin200°；②sin(180°－200°)＝－sin200°；③sin(180°＋200°)＝sin200°；④sin(－200°)＝sin200°.A．0个 B．1个C．2个 D．3个[解析]由诱导公式一知①正确；由诱导公式四知②错误；由诱导公式二知③错误；由诱导公式三知④错误．[答案]B2．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是[解析]原式＝sin2α＋(－cosα)·(－cosα)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为[解析]∵原式＝sin2α－(－cosα·cosα)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝24．设f(α)＝eq\f(2sin（2π－α）cos（2π＋α）－cos（－α）,1＋sin2α＋sin（2π＋α）－cos2（4π－α）)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,6)π))的值为[解析]f(α)＝eq\f(2sin（－α）cosα－cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(－cosα（2sinα＋1）,sinα（2sinα＋1）)＝－eq\f(1,tanα).所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,6)π))＝－eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,6)π)))＝－eq\f(1,tan\f(π,6))＝－eq\r(3).5．化简(1)eq\f(sin540°＋α·cos－α,tanα－180°)；(2)eq\f(sin2π＋αcos－π＋α,cos－αtanα).[解析](1)eq\f(sin540°＋α·cos－α,tanα－180°)＝eq\f(sin180°＋α·cosα,tanα)＝eq\f(－sinα·cosα,tanα)＝－cos2α.(2)eq\f(sin2π＋αcos－π＋α,cos－αtanα)＝eq\f(sinα－cosα,cosαtanα)＝－cosα.6．化简：(1)eq\f(cos－αtan7π＋α,sinπ－α)；(2)eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)；(3)eq\f(sin1440°＋α·cos1080°－α,cos－180°－α·sin－α－180°).[解析](1)eq\f(cos－αtan7π＋α,sinπ－α)＝eq\f(cosαtanπ＋α,sinα)＝eq\f(cosα·tanα,sinα)＝eq\f(sinα,sinα)＝1.(2)原式＝eq\f(－tanαsin－αcos－α,cosπ－αsinπ－α)＝eq\f(tanα·sinα·cosα,－cosα·sinα)＝－tanα.(3)原式＝eq\f(sin4×360°＋α·cos3×360°－α,cos180°＋α·[－sin180°＋α])＝eq\f(sinα·cos－α,－cosα·sinα)＝eq\f(cosα,－cosα)＝－1.7．化简下列各式．(1)eq\f(cosπ＋α·sin2π＋α,sin－α－π·cos－π－α)；(2)eq\f(cos190°·sin－210°,cos－350°·tan－585°).(3)eq\f(cosθ＋4π·cos2θ＋π·sin2θ＋3π,sinθ－4πsin5π＋θcos2－π＋θ).[解析](1)原式＝eq\f(－cosα·sinα,－sinπ＋α·cosπ＋α)＝eq\f(cosα·sinα,sinα·cosα)＝1.(2)原式＝eq\f(cos180°＋10°·[－sin180°＋30°],cos－360°＋10°·[－tan360°＋225°])＝eq\f(－cos10°·sin30°,cos10°·[－tan180°＋45°])＝eq\f(－sin30°,－tan45°)＝eq\f(1,2).(3)原式＝eq\f(cosθ·cos2θ·sin2θ,sinθ·－sinθ·cos2θ)＝－cosθ.8．已知tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，则eq\f(2cosπ－α－3sinπ＋α,4cosα－2π＋sin4π－α)＝________.[解析]tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，则tanα＝－eq\f(1,2)，原式＝eq\f(－2cosα－3－sinα,4cosα＋sin－α)＝eq\f(－2cosα＋3sinα,4cosα－sinα)＝eq\f(－2＋3tanα,4－tanα)＝eq\f(－2＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝－eq\f(7,9).9．已知tan(π＋α)＝3，求eq\f(2cos（π－α）－3sin（π＋α）,4cos（－α）＋sin（2π－α）)的值．[解析]因为tan(π＋α)＝3，所以tanα＝3.故eq\f(2cos（π－α）－3sin（π＋α）,4cos（－α）＋sin（2π－α）)＝eq\f(－2cosα＋3sinα,4cosα－sinα)＝eq\f(－2＋3tanα,4－tanα)＝eq\f(－2＋3×3,4－3)＝7.10．已知tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，求下列各式的值：(1)eq\f(2cosπ－α－3sinπ＋α,4cosα－2π＋sin4π－α)；(2)sin(α－7π)cos(α＋5π)．[解析]由tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，得tanα＝－eq\f(1,2).(1)原式＝eq\f(－2cosα－3－sinα,4cosα＋sin－α)＝eq\f(－2cosα＋3sinα,4cosα－sinα)＝eq\f(－2＋3tanα,4－tanα)＝eq\f(－2＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝－eq\f(7,9).(2)原式＝sin(－6π＋α－π)cos(4π＋α＋π)＝sin(α－π)cos(α＋π)＝－sinα(－cosα)＝sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(2,5).11．eq\r(2＋2sin2π－θ－cos2π＋θ)可化简为________．[解析]eq\r(2＋2sin2π－θ－cos2π＋θ)＝eq\r(2－2sinθ－cos2θ)＝eq\r(2－2sinθ－1－sin2θ)＝eq\r(sin2θ－2sinθ＋1)＝eq\r(sinθ－12)＝1－sinθ.12．eq\r(2＋2sin2π－θ－cos2π＋θ)可化简为________．[解析]原式＝eq\r(2－2sinθ－cos2θ)＝eq\r(2－2sinθ－1－sin2θ)＝eq\r(sinθ－12)＝1－sinθ.13．化简：eq\r(1＋2sinπ－2·cosπ－2)＝________.[解析]eq\r(1＋2sinπ－2·cosπ－2)＝eq\r(1－2sin2cos2)＝eq\r(sin2－cos22)＝|sin2－cos2|，因2弧度在第二象限，故sin2>0>cos2，所以原式＝sin2－cos2.14．已知sin(α＋π)＝eq\f(4,5)，且sinαcosα＜0，则eq\f(2sinα－π＋3tan3π－α,4cosα－3π)＝________.[解析]因为sin(α＋π)＝－sinα＝eq\f(4,5)，且sinαcosα＜0，所以sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3)，所以eq\f(2sinα－π＋3tan3π－α,4cosα－3π)＝eq\f(－2sinα－3tanα,－4cosα)＝eq\f(\f(8,5)＋4,－4×\f(3,5))＝－eq\f(7,3).15．若tan(7π＋α)＝a，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值为[解析]由tan(7π＋α)＝a，得tanα＝a，∴eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)＝eq\f(－sin3π－α－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(a＋1,a－1).16．已知tan(7π＋α)＝2，求eq\f(2cosπ－α－3sin3π＋α,4cos－α＋sin2π－α)的值．[解析]∵tan(7π＋α)＝2，∴tanα＝2，∴eq\f(2cosπ－α－3sin3π＋α,4cos－α＋sin2π－α)＝eq\f(－2cosα＋3sinα,4cosα－sinα)＝eq\f(－2＋3tanα,4－tanα)＝eq\f(－2＋3×2,4－2)＝2.17．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：eq\f(sin（π－α）＋5cos（2π＋α）,3cos（π－α）－sin（－α）)＝－eq\f(3,5).[解析]因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，所以－sinα＝2cosα，所以sinα＝－2cosα.所以左边＝eq\f(sinα＋5cosα,－3cosα＋sinα)＝eq\f(－2cosα＋5cosα,－3cosα－2cosα)＝eq\f(3cosα,－5cosα)＝－eq\f(3,5)＝右边，所以原式得证．18．已知f(α)＝eq\f(sinπ＋αcos2π－αtan－α,tan－π－αsin－π－α).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(3)若α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值．[解析](1)f(α)＝－eq\f(sinαcosα－tanα,－tanαsinα)＝－cosα.(2)∵sin(α－π)＝－sinα＝eq\f(1,5)，∴sinα＝－eq\f(1,5).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝eq\f(2\r(6),5).(3)∵－eq\f(31π,3)＝－6×2π＋eq\f(5π,3)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(5π,3)))＝－coseq\f(5π,3)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).19．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是()A．sinα＝sinβ B．sin(α－2π)＝sinβC．cosα＝cosβ D．cos(2π－α)＝－cosβ[解析]由α和β的终边关于x轴对称，故β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cosα＝cosβ.[答案]C20．在△ABC中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③sin(2A＋2B)＋sin2C；④cos(2A＋2B)＋cos2C.其中为常数的是()A．①③B．②③C．①④ D．②④[解析]①sin(A＋B)＋sinC＝2sinC；②cos(A＋B)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0；③sin(2A＋2B)＋sin2C＝sin[2(A＋B)]＋sin2C＝sin[2(π－C)]＋sin2C＝sin(2π－2C)＋sin2C＝－sin2C＋sin2C＝0；④cos(2A＋2B)＋cos2C＝cos[2(A＋B)]＋cos2C＝cos[2(π－C)]＋cos2C＝cos(2π－2C)＋cos2C＝cos2C＋cos2C＝2cos2C.故选B.21．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．[解析]由条件得sinA＝eq\r(2)sinB，eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±eq\f(\r(2),2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π.当A＝eq\f(3,4)π时，cosB＝－eq\f(\r(3),2)＜0，∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．∴A＝eq\f(π,4)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,6)，∴C＝eq\f(7,12)π.综上所述，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7,12)π.22．当θ＝eq\f(5π,4)时，eq\f(sin[θ＋（2k＋1）π]－sin[－θ－（2k＋1）π],sin（θ＋2kπ）cos（θ－2kπ）)(k∈Z)的值等于________．[解析]原式＝eq\f(－sinθ－sinθ,sinθcosθ)＝－eq