高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第5课时函数y=Asin(wx+φ)的图像及应用(原卷版+解析)

第5课时函数的图像及应用编写：廖云波【回归教材】1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径3.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ4.【常用结论】正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；

【典例讲练】题型一“五点法”作的图像【例1-1】已知函数.(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；(2)解不等式.归纳总结：【练习1-1】设函数f(x)＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝，此对称轴相邻的对称中心为（）(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)用五点法画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．题型二三角函数的图像变换【例2-1】怎样由函数的图象变换得到的图象，试叙述这一过程．【例2-2】要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【例2-3】将函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【练习2-1】【多选题】要得到函数到的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的B．向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度D．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度【练习2-2】为了得到函数的图像，可以将函数的图像（

）A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位【练习2-3】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位题型三已知函数图像求解析式【例3-1】已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________．【例3-2】函数（）的部分图像如下图，则最小值为（

）A． B． C． D．【例3-3】如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（

）A．y＝sin B．y＝sinC．y＝sin D．y＝sin归纳总结：【练习3-1】如图是函数的图像的一部分，则此函数的解析式为___________．【练习3-2】已知函数,的部分图象如图所示,则A．3 B． C．1 D．题型四三角函数的综合应用【例4-1】已知函数(1)求函数的对称轴方程；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．【例4-2】建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数关系.（1）求函数的表达式；（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？归纳总结：【练习4-1】已知函数，，是方程的两个不相等的实根，且的最小值为.（1）求函数的解析式；（2）若，的值域是，求m的取值范围【完成课时作业（二十八）】

【课时作业（二十八）】A组础题巩固1．将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（

）A． B． C． D．2．函数的定义域为（

）A．B．，C．， D．，3．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（

）A． B． C． D．84．函数部分图象如图右所示，则的值为（

）A．B．C． D．15．若要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位6．已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图象，可将函数的图象（

）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位7．已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．【多选题】函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．B．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是偶函数C．函数的图像关于直线对称D．若把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数9．【多选题】已知函数，若，且的最小值为，则下列说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递减C．对，都有D．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称10．将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像的解析式为，则________，再将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图像的解析式为__________.11．用五点法画出在内的图象时，应取的五个点为______；12．某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度（米）随时间（秒）变化的关系式为_____.13．已知函数，（其中，，）的图象如图所示.(1)求函数的解析式及其对称轴方程；(2)若的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有两个不等的实根，，求实数的取值范围.B组挑战自我1．已知函数，图象上每一点横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于（

）A． B． C． D．2．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的值不可能为（

）A． B． C． D．3．已知函数（）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将的图象上所有点向右平移个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则的最小正值为___________.第5课时函数的图像及应用编写：廖云波【回归教材】1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径3.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ4.【常用结论】正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；

【典例讲练】题型一“五点法”作的图像【例1-1】已知函数.(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；(2)解不等式.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）根据正弦函数的五点作图法可完成表格，利用五点作图法可得图象；（2）根据函数图象列式可求出结果.(1)完成表格如下：00200在区间上的图象如图所示：(2)不等式，即.由，解得.故不等式的解集为.归纳总结：【练习1-1】设函数f(x)＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝，此对称轴相邻的对称中心为（）(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)用五点法画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．【答案】(1)；(2)见解析.【解析】【分析】（1）解方程即得解；（2）用五点法画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．(1)解：是函数的一条对称轴，，即，所以.令得.所以函数的对称中心为，所以函数的解析式为.(2)解：由可知故函数在区间上的图像为：题型二三角函数的图像变换【例2-1】怎样由函数的图象变换得到的图象，试叙述这一过程．【答案】答案见解析【解析】【分析】利用函数与函数的关系直接叙述即可.【详解】把函数的图象向右平移个单位得函数的图象，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，即得函数的图象.【例2-2】要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由诱导公式化为同名函数，然后由图象平移变换求解．【详解】因为函数，，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.故选：B.【例2-3】将函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，求得，结合，列出三角方程，即可求解.【详解】将函数的图象向右平移个单位后，可得，因为的图象关于直线对称，，即，可得，解得，又因为，所以的最小值为.故选：A.归纳总结：【练习2-1】【多选题】要得到函数到的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的B．向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度D．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度【答案】AD【解析】【分析】根据图象的两种变换方式即可求解;先平移再伸缩可判断A,B,先伸缩再平移可判断C,D.【详解】方式一：（先平移再伸缩）；将先向左平移单位长度得到，然后将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得到，故A对，方式二：（先伸缩再平移）；将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得到，再将向左平移单位长度得到，故D对，故选：AD【练习2-2】为了得到函数的图像，可以将函数的图像（

）A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位【答案】B【解析】【分析】利用两角和差公式先将函数化简为，然后再通过三角函数图像的伸缩平移得出答案.【详解】由题意得，所以应把函数的图像向右平移个单位.故选：B.【练习2-3】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】B【解析】【分析】先通过诱导公式将化为，设平移了个单位，从而得到方程，求出，得到答案.【详解】，设平移了个单位，得到，则，解得：，即向右平移了个单位.故选：B题型三已知函数图像求解析式【例3-1】已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________．【答案】【解析】【分析】根据给定的的图象，结合三角函数的性质，分别求得和的值，即可求解.【详解】由题意，函数的部分图象，可得，所以，可得，即，又由，结合三角函数的五点对应法，可得，即，又因为，所以，所以.故答案为：.【例3-2】函数（）的部分图像如下图，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由图象根据周期得出，再由即可求解.【详解】由图知，由解得所以当时，.故选：A【例3-3】如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（

）A．y＝sin B．y＝sinC．y＝sin D．y＝sin【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得初相，再根据周期，即可判断选择.【详解】由题意可得，初始位置为P0，不妨设初相为，故可得，，则.排除B、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.故满足题意的函数解析式为：.故选：.归纳总结：【练习3-1】如图是函数的图像的一部分，则此函数的解析式为___________．【答案】【解析】【分析】首先由周期求出，再根据函数过点，即可求出，从而求出函数解析式.【详解】解：由图可知，所以，解得，再由函数过点，所以，所以，解得，因为，所以，所以.故答案为：【练习3-2】已知函数,的部分图象如图所示,则A．3 B． C．1 D．【答案】A【解析】【分析】由可求得，由可求得，再由可求得，从而可得的解析式，进而可求.【详解】，，代入得，，又，，，，故选A.题型四三角函数的综合应用【例4-1】已知函数(1)求函数的对称轴方程；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为；（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数f（x）的对称轴方程．（2）由题意sin（2x﹣）＝在[0，）上恰有一解，再利用正弦函数的单调性，结合函数y＝sin（2x﹣）的图象，求得实数m的取值范围．【详解】（1）∵函数f（x）＝2sinxcosx+2sin（x+）cos（x+）＝sin2x+sin（2x+）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∴令2x+＝kπ+，求得x＝，k∈Z，故函数f（x）的对称轴方程为x＝，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣+）＝2sin（2x﹣）的图象，若关于x的方程g（x）﹣1＝m在[0，）上恰有一解，即2sin（2x﹣）＝1+m在[0，）上恰有一解，即sin（2x﹣）＝在[0，）上恰有一解．在[0，）上，2x﹣∈[﹣，），函数y＝sin（2x﹣），当2x﹣∈[﹣，]时，单调递增；当2x﹣∈[，]时，单调递减，而sin（﹣）＝﹣，sin＝1，sin（）＝，∴﹣≤＜，或＝1，求得﹣﹣1≤m＜-1，或m＝1，即实数m的取值范围[﹣﹣1，﹣1）∪{1}．【例4-2】建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数关系.（1）求函数的表达式；（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？【答案】（1）（2）上午10时开启，下午18时关闭.【解析】【分析】（1）根据函数图象可知周期T，进而根据求得的值；结合函数的最大值和最小值，可求得A，代入最低点坐标，即可求得，进而得函数的解析式．（2）根据题意，令，解不等式，结合t的取值范围即可求得开启和关闭中央空调时间．【详解】（1）由图知，，所以，得.由图知，，，所以.将点代入函数解析式得，得，即又因为，得.所以.（2）依题意，令，可得，所以解得：，令得，，故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭.归纳总结：【练习4-1】已知函数，，是方程的两个不相等的实根，且的最小值为.（1）求函数的解析式；（2）若，的值域是，求m的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质，可知函数最小正周期，再根据三角函数的周期性即可求出，进而求出函数的解析式；（2）由题意可知，又的值域是，可知，结合的图象可知，，由此即可求出结果.【详解】（1）..因为的最小值为π，所以的最小正周期，解得，所以函数的解析式为.（2）由，可得，因为的值域是，所以，结合的图象可知，解得，所以m的取值范围是.【完成课时作业（二十八）】

【课时作业（二十八）】A组础题巩固1．将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案.【详解】将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，故选：A.2．函数的定义域为（

）A． B．，C．， D．，【答案】C【解析】【分析】函数定义域满足，解得答案.【详解】要使函数有意义，必须有，即，解得．∴，∴函数的定义域为．故选：C．3．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】A【解析】【分析】由题意说明平移的单位是周期的整数倍，利用正切函数的周期可得．【详解】由题可知，是该函数的周期的整数倍，即，解得，又，故其最小值为．故选：A．4．函数的部分图象如图所示，则的值为（

）A． B．C． D．1【答案】B【解析】【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，再求得解.【详解】由图可得，∴，由图可得，又，∴，所以，∴.故选：B.5．若要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位，即可得解．【详解】因为，故将已知转化为要得到函数的图象，又，所以将的图象向右平移个单位长度即可得到的图象.故选：D6．已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图象，可将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】依题意可得，且是的一条对称轴，即可求出的值，然后利用诱导公式将的解析式化为与同名同号的三角函数，再根据三角函数图象的平移规则“左加右减”得到结论.【详解】解：由已知得，由可知直线是函数的一条对称轴，∴，又∵，∴，，所以要得到函数的图象，可将函数的图象向右平移个单位长度得到，故选：.7．已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先根据，求得，再根据，确定函数的解析式，并求得平移后的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值.【详解】因为，所以，即，，又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位后，所得函数，因为函数的图象关于y轴对称，所以，，即，，当时，，所以的最小值为.故选:A.8．【多选题】函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．B．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是偶函数C．函数的图像关于直线对称D．若把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数【答案】AC【解析】【分析】由图，先求得函数的周期，得到，再代入最高点可得，进而求得，再结合三角函数图象伸缩平移与函数的性质逐个判断即可【详解】对A，由图，，则，故，所以，又，即，所以，即，因为，故，所以，故A正确；对B，把函数的图像向左平移个单位可得为奇函数，故B错误；对C，当时，为的对称轴，故C正确；对D，把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到，当时，不为的增区间，故D错误；故选：AC9．【多选题】已知函数，若，且的最小值为，则下列说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递减C．对，都有D．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数得图象与性质，结合诱导公式，逐项分析即可.【详解】由题意得，，故，故A正确，若，且的最小值为，所以,所以，当时，，所以函数在上不单调,故B错误，因为，又，故C正确，将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，所以，图象不关于原点对称，故D错误.故选：AC.10．将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像的解析式为，则________，再将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图像的解析式为__________.【答案】

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【解析】【分析】由三角函数图象平移变换和周期变换可得.【详解】将函数的图像向右平移个单位长度得，由题可得，即；将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图像的解析式为.故答案为：，11．用五点法画出在内的图象时，应取的五个点为______；【答案】、、、、【解析】【分析】利用正弦函数的五点法作函数的图象．【详解】由题意可知，令，则，，列表，描点.x0y020﹣20作图：由列表可得，应取的五个点为、、、、，故答案为：、、、、．12．某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每