高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)7.2复数的四则运算(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

7.2复数的四则运算（讲义+例题+小练）一。复数的加减运算设，（1）加法：，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例1（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点对应的复数z，则___________举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数，则等于()A．

B．6

C．

D．2．（2022·全国·高一）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则__________．（3）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．（2）减法：，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．表示、两点之间的距离，也等于向量的模．例2（1）（2021·全国·高考真题（理））设，则（

）A． B． C． D．（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（

）A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知，则（

）A． B．C． D．（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z1，z2满足z1∈R，，则z1＝（

）A．1 B．2 C．0或2 D．1或2（3）．（2021·广东广州·二模）已知，都是复数，的共轭复数为，下列说法中，正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则为实数复数的乘除运算设，（1）乘法：，特别；例3（1）．（2021·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z=2+i，则A． B． C．3 D．5举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数（i为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a，，i是虚数单位.若，则（）A． B． C． D．（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数的实部与虚部相等，则的值为（

）A． B． C．1 D．2（2）除法（是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：；（3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对有:,,例4.（1）．（2021·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4（2）．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．举一反三（1）．（2021·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．（2）．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知复数为z的共轭复数，则（

）A． B． C． D．（3）．（2022·江西九江·一模（理））若复数z满足，则（

）．A． B．C． D．巩固提升一、单选题1．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·高考真题（文））设，则（

）A． B． C． D．3．（2021·全国·绵阳中学模拟预测（理））已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．4．（2022·江苏南通·一模）已知复数与都是纯虚数，则（

）A． B． C． D．5．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2022·广东·模拟预测）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义．例如，，即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离．在复平面内，若复数对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多选题7．（2021·全国·模拟预测）若复数满足，则（

）A． B．C．在复平面内对应的点在直线上 D．的虚部为8．（2021·辽宁·建平县实验中学模拟预测）设，是复数，则（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题9．（2021·山东潍坊·模拟预测）已知复数z满足，则的虚部为_________．10．（2022·浙江·模拟预测）若关于的复系数一元二次方程的一个根为，则另一个根________．四、解答题11．（2021·黑龙江肇州·模拟预测（文））已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围.12．（2021·上海·复旦附中模拟预测）已知关于的方程的虚数根为、.（1）求的取值范围；（2）若，求实数的值.7.2复数的四则运算（讲义+例题+小练）一。复数的加减运算设，（1）加法：，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例1（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点对应的复数z，则___________【答案】【解析】【分析】由点的坐标写出复数，再计算。【详解】由题意，∴。故答案为：。【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的模，属于基础题。举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数，则等于()A．

B．6

C．

D．【答案】B【解析】【详解】由题可知：故选：B2．（2022·全国·高一）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则__________．【答案】2【解析】【分析】由已知求得,进一步求得.【详解】由题意可知,.所以故答案为:2.（3）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．【答案】答案见解析．【解析】【分析】由向量加法的坐标表示可得复数加法过程．【详解】，对应的两个复数相加的运算过程：（2）减法：，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．表示、两点之间的距离，也等于向量的模．例2（1）（2021·全国·高考真题（理））设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（

）A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【答案】C【解析】【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为，所以由复数加法的几何意义可得，.故选：C.举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】结合共轭复数的概念以及复数的运算和复数相等得到，进而可以求出结果.【详解】设，则．由得，则，所以，，所以．故选：B.（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z1，z2满足z1∈R，，则z1＝（

）A．1 B．2 C．0或2 D．1或2【答案】C【解析】【分析】由题意可设z1＝a，结合复数求模的公式即可得出结果.【详解】解：因为z1∈R，可设z1＝a，且a∈R，由z2＝1+i，得z1﹣z2＝（a﹣1）﹣i，又因为|z1﹣z2|＝，所以（a﹣1）2+（﹣1）2＝2，解得a＝0或a＝2，所以z1＝0或2．故选：C．（3）．（2021·广东广州·二模）已知，都是复数，的共轭复数为，下列说法中，正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则为实数【答案】D【解析】【分析】先设，（），则；通过特殊值法，可判断ABC选项错误；根据复数相等，以及复数的运算，可判断D正确.【详解】设，（），则；A选项，若，则，此时不一定有（如），故A错；B选项，若，则，都是实数，所以，若，，则，故B错；C选项，若，则；若，则，即C错；D选项，若，则，所以，故D正确.故选：D.复数的乘除运算设，（1）乘法：，特别；例3（1）．（2021·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选：C.（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z=2+i，则A． B． C．3 D．5【答案】D【解析】【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数（i为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】先化简复数，再得共轭复数，由复数的几何意义可判断对应的点所在象限.【详解】，所以共轭复数为，在复平面内对应的点的坐标为，可知该点在第四象限.故选：D（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a，，i是虚数单位.若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用复数相等求出a，b，再借助复数平方运算计算作答.【详解】因，a，，则有，所以.故选：B（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数的实部与虚部相等，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，再由实部虚部相等求解即可.【详解】，，故选：B（2）除法（是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：；（3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对有:,,例4.（1）．（2021·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算性质，化简得出.【详解】若复数满足，则，所以的虚部等于.故选：C.（2）．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】，.故选：B.举一反三（1）．（2021·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据复数的加减法运算及除法运算即可得解.【详解】解：因为，所以.故选：A.（2）．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知复数为z的共轭复数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用共轭复数、复数除法运算等知识求得正确答案.【详解】，.故选：A（3）．（2022·江西九江·一模（理））若复数z满足，则（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算法则求得复数，再求其共轭复数即可.【详解】因为，故.故选：C．巩固提升一、单选题1．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.2．（2021·全国·高考真题（文））设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得：.故选：C.3．（2021·全国·绵阳中学模拟预测（理））已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先化简复数，再求模即可.【详解】∵，∴，∴．故选：D．4．（2022·江苏南通·一模）已知复数与都是纯虚数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意设，根据复数的四则运算可得出关于的等式与不等式，求出的值，即可得解.【详解】因为为纯虚数，设，则，由题意可得，解得，因此，.故选：C.5．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求得z,则可得，即可得答案.【详解】因为，所以，故，则在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.6．（2022·广东·模拟预测）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义．例如，，即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离．在复平面内，若复数对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】化简，得到，再根据的几何意义和圆的性质，即可求解.【详解】因为，所以，又因为曲线表示以为圆心，1为半径的圆，所以，故与之间的最小距离为.故选：B.二、多选题7．（2021·全国·模拟预测）若复数满足，则（

）A． B．C．在复平面内对应的点在直线上 D．的虚部为【答案】BCD【解析】【分析】根据复数的基本概念和复数的运算逐项判断即可.【详解】设，则，由，得，整理得，所以，解得，.所以，所以，故选项A错误；因为，所以，所以，B正确；在复平面内对应的点为，显然在直线上，C正确；因为，所以的虚部为，D正确.故选：BCD.8．（2021·辽宁·建平县实验中学模拟预测）设，是复数，则（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【解析】【分析】结合共轭复数、复数运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】设，，a，b，x，，，A成立；，则，所以，，从而，所以，C成立；对于B，取，，满足，但结论不成立；对于D，取，，满足，但结论不成立.故选：AC三、填空题9．（2021·山东潍坊·模拟预测）已知复数z满足，则的虚部为______