高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第2课时常用逻辑用语(原卷版+解析)

第2课时常用逻辑用语编写：廖云波【回归教材】一、充分条件、必要条件、充要条件1．定义如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.2．从逻辑推理关系上看（1）若且，则是的条件；（2）若且，则是的条件；（3）若且，则是的的条件(也说和等价)；（4）若且，则不是的条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).二、全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题.短语、在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.（2）存在量词与存在量词命题.短语、在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.三、含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题的否定为.（2）存在量词命题的否定为.【方法技巧与总结】1．从集合与集合之间的关系上看设.（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件.【典例讲练】题型一充分、必要条件的判定【例1-1】设，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例1-2】设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例1-3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，则“”是“△ABC是等腰三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【练习1-1】已知p：x＞1，q：x2＋x－2＞0，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【练习1-2】已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【练习1-3】“”是“直线与直线相互垂直”的______条件．题型二充分、必要条件的应用【例2-1】函数为偶函数的一个充分条件（

）A． B．C． D．【例2-2】已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．【例2-3】已知关于的方程，则该方程有两个正根的充要条件是__________．【练习2-1】（多选题）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B．C． D．【练习2-2】已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为________．题型三含有量词命题的否定【例3-1】设命题，则为（

）A． B．C． D．【例3-2】命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【练习3-1】命题“，”的否定是（

）．A．， B．，C．， D．，【练习3-2】十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（

）A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解题型四命题的真假判断及其应用【例4-1】若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4-2】命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.【例4-3】已知：函数在上单调，：，．(1)若为假命题，求的取值范围；(2)若为假命题，为真命题，求的取值范围．【练习4-1】命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.【练习4-2】已知，.，.(1)若为真命题，求的取值范围；(2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围．【请完成课时作业（二）】

【课时作业（二）】A组基础题1．已知命题，，则（

）A．命题，为假命题B．命题，为真命题C．命题，为假命题D．命题，为真命题2．命题“，”的否定为（

）A． B．C． D．3．设，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件； D．既非充分也非必要条件.4．若，则p是q的（

）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．设为两个平面，“内存在一条直线垂直于”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知､为非零向量，则“”是“为锐角”的（

）条件A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要7．“”是“方程表示椭圆”的（

）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．不充分也不必要条件8．命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．9．设等比数列的公比为q，则是为单调递增数列的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．若为非零向量，则“”是“共线”的（

）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件11．设：实数满足，．(1)若，且，都为真命题，求的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．12．记全集函数的定义域为A，集合．(1)当时求实数的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．B组能力提升1．若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（

）．A．1 B． C．3 D．2．若命题：函数在区间内是增函数；则命题成立的充要条件是（

）A． B． C． D．3．已知函数，使不等式成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．或 C．或 D．或4．已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．“”是“函数为增函数”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件第2课时常用逻辑用语编写：廖云波【回归教材】一、充分条件、必要条件、充要条件1．定义如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.2．从逻辑推理关系上看（1）若且，则是的充分不必要条件；（2）若且，则是的必要不充分条件；（3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)；（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).二、全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.三、含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题的否定为，.（2）存在量词命题的否定为.【方法技巧与总结】1．从集合与集合之间的关系上看设.（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件.【典例讲练】题型一充分、必要条件的判定【例1-1】设，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】计算绝对值不等式和一元二次不等式，得到，，从而得到答案.【详解】，解得：，，解得：，因为，而，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B【例1-2】设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行列出方程，求出：或1，验证后均符合要求，从而得到“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.【详解】当时，与的斜率相等，故平行，充分性成立，若“直线与直线平行”，则满足，解得：或1，经验证，：或1时，两直线不重合，故：或1，两直线平行，故必要性不成立.故选：A【例1-3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，则“”是“△ABC是等腰三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】充分性：或，即或，故不一定是等腰三角形，故充分性不成立必要性：当是等腰三角形，不妨令：，则，推不出：，故必要性不成立综上所述：为既不充分也不必要条件，故选：D．归纳总结：【练习1-1】已知p：x＞1，q：x2＋x－2＞0，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式，令，或，根据是的真子集得到答案【详解】q：x2＋x－2＞0x＜－2或x＞1，令，或，因为是的真子集，故p是q的充分不必要条件，故选：A．【练习1-2】已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】求为纯虚数的等价条件，结合充要条件判断得解.【详解】当时，，所以为纯虚数；若为纯虚数，，所以，所以或，所以“为纯虚数”是“”的必要非充分条件.故选：B.【练习1-3】“”是“直线与直线相互垂直”的______条件．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若，直线的斜率，直线的斜率，则两条直线垂直，即充分性成立，当，两条直线方程为，和，则两条直线垂直；当，直线的斜率，直线的斜率，满足两直线垂直，故必要性不成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件故答案为：充分不必要题型二充分、必要条件的应用【例2-1】函数为偶函数的一个充分条件（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据函数为偶函数，由求解.【详解】解：若函数为偶函数，所以,则，故选：A【例2-2】已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解.【详解】记，，因为p是q的充分条件，所以.当时，，即，符合题意；当时，，由可得，所以，即.综上所述，实数的k的取值范围是．故答案为：．【例2-3】已知关于的方程，则该方程有两个正根的充要条件是__________．【答案】或【解析】【分析】根据方程有两个正根的充要条件是列出不等式组求解即可．【详解】关于的方程，即，则该方程有两个正根的充要条件是，且，解得：或，因此该方程有两个正根的充要条件是：或．故答案为：或，归纳总结：【练习2-1】（多选题）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于的不等式对恒成立，当时，原不等式即为恒成立；当时，不等式对恒成立，可得，即，解得：.当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：的取值范围为：.所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有或.故选：BC.【练习2-2】已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】求函数的值域求得集合，根据“”是“”的充分条件列不等式，由此求得的取值范围.【详解】函数的对称轴为，开口向上，所以函数在上递增，当时，；当时，.所以.，由于“”是“”的充分条件，所以，，解得或，所以的取值范围是.故答案为：题型三含有量词命题的否定【例3-1】设命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，需要注意格式的写法和对其结论的否定.【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，即的否定格式为：,所以的量词格式错误，而选项未对结论进行否定，其正确的写法为，故选：.【例3-2】命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；【详解】解：命题“，”为全称量词命题，其否定为“，”；故选：A归纳总结：【练习3-1】命题“，”的否定是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由全称量词命题的否定可知：“，”的否定是“，”.故选：A.【练习3-2】十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（

）A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D满足题意；故选：D题型四命题的真假判断及其应用【例4-1】若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解.【详解】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，；令，则，则在上单增，，则.故选：C.【例4-2】命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.①当时，可得.若，则有，合乎题意；若，则有，解得，不合乎题意；②若，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【例4-3】已知：函数在上单调，：，．(1)若为假命题，求的取值范围；(2)若为假命题，为真命题，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）为假命题，即是真命题，再利用单调性的定义求出的范围即可；（2）先求出是假命题、是真命题分别确定的范围，取交集即可．(1)任取，令，则．因为为假命题，所以为真命题，即在上单调．若，则，，在上单调递增，符合题意．若，则的符号不确定，则的符号不确定，故在上不单调，不符合题意．若，则，，在上单调递减，符合题意．综上所述，当为假命题时，的取值范围为．(2)若为真命题，则或，解得或．当为假命题时，的取值范围为，故当为假命题，为真命题时，的取值范围为．归纳总结：【练习4-1】命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】先求存在量词命题的否定，然后利用分离常数法，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】由于“存在，”为假命题，所以“”，为真命题，所以在区间上恒成立，在区间上，当时，取得最大值为，所以.故答案为：【练习4-2】已知，.，.(1)若为真命题，求的取值范围；(2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据为真命题，则，解之即可；（2）分别求出，是真命题时，的范围，再分是真命题，是假命题时和是假命题，是真命题时，两种情况讨论，即可得出答案.(1)解：由，，若为真命题，则，解得或，所以的取值范围为；(2)解：若为真命题时，则对恒成立，所以，若，一个是真命题，一个是假命题，当是真命题，是假命题时，则或，解得，当是假命题，是真命题时，则，解得，综上所述.【请完成课时作业（二）】

【课时作业（二）】A组基础题1．已知命题，，则（

）A．命题，为假命题B．命题，为真命题C．命题，为假命题D．命题，为真命题【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题，再判断命题的真假即可得出答案.【详解】有题意知，命题，，又因为方程的，所以命题为假命题.故选：C.2．命题“，”的否定为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据存在量词命题的否定直接得出结果.【详解】命题“”的否定为：“”.故选：A3．设，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；C．充要条件； D．既非充分也非必要条件.【答案】B【解析】【分析】根据复数相等的定义以及充分必要条件的定义判断即可【详解】设1，，符合，但不成立，若，则，所以“”是“”的必要非充分条件；故选：B.4．若，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解对数不等式、一元二次不等式求、对应的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】已知：，解得，而：，可得，∴是的必要不充分条件，故选：C.5．设为两个平面，“内存在一条直线垂直于”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理可得答案.【详解】内存在一条直线垂直于，根据面面垂直的判定定理可得，若，根据面面垂直的性质定理，则在内存在一条直线垂直于两个平面的交线的直线，垂直于另一个平面，所以“内存在一条直线垂直于”是“”的必要充分条件.故选：C.6．已知､为非零向量，则“”是“为锐角”的（

）条件A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的定义及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】解：依题意，若，，可得，不一定是锐角，若为锐角，即，可得，所以､为非零向量，则“”是“为锐角”的必要不充分条件，故选：B.7．“”是“方程表示椭圆”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义和必要不充分条件定义可得答案.【详解】若方程表示椭圆，则，，“”是“方程表示椭圆”的必要条件；反过来，当时，如，或，方程表示圆，“”不是方程“表示椭圆”的充分条件．综上，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：A．8．命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据特称命题与全称命题的关系，结合一元二次不等式恒成立问题即可求解.【详解】因为命题“，使得”为假命题，则命题“，使得”为真命题，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.9．设等比数列的公比为q，则是为单调递增数列的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】通过做差，结合充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】若,则,则为单调递减数列所以是为单调递增数列的不充分条件若为单调递增数列,则,则即或,所以故是为单调递增数列的不必要条件故是为单调递增数列的既不充分也不必要条件故选：D10．若为非零向量，则“”是“共线”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】表示与同向的单位向量，共线可能同向共线、也可能反向共线，再由充分性、必要性的定义可求出答案.【详解】依题意为非零向量，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立；共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立.故选：B.11．设：实数满足，．(1)若，且，都为真命题，求的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】（1）解不等式确定命题，然后求出中范围的交集可得；（2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解．(1)时，，，即，又，而，都为真命题，所以；(2)，，是的充分不必要条件，则且等号不能同时取得，所以．12．记全集函数的定义域为A，集合．(1)当时求实数的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】