上海市延安中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题

上海市延安中学2023学年第二学期高三年级月考试卷2024.03填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)

1.不等式的解集为__________.

2.已知复数满足(为虚数单位),则__________.

3.对于正实数,代数式的最小值为__________.

4.已知随机变量服从正态分布,且,则_____.

5.已知一个圆锥的底面半径为,侧面积为,则该圆锥的体积为__________.

6.已知角属于第二象限,且,则__________.

7.(为正整数)的二项展开式中,若第三项与第五项的系数相等,则展开式中的常数项为__________.

8.数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能正确解答其中的4道题,则他能及格的概率为__________.

9.对于两个均不等于1的正数,定义:.设均为小于1的正数,且,则的值是__________.

10.已知是抛物线的焦点,是抛物线上一动点,是曲线上一动点,则的最小值为__________.

11.莱洛三角形,也称圆弧三角形,是一种特殊三角形,在建筑、工业上应用广泛.如图所示,分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.已知两点间的距离为2,点为上一点,则的最小值为__________.

12.若存在实数及正整数,使得在区间内恰有2024个零点,则所有满足条件的正整数的值共有个__________.

二、选择题(本大题共有4题,满分18分,每题有且只有一个正确答案,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)

13.若为实数,则“”是“直线与直线平行”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件

14.从中随机取一个数,这个数比大的概率为,若为上述数据中的第百分位数,则的取值可能为()

A.50B.60C.70D.80

15.设(其中),若点为函数图像的对称中心,是图像上相邻的最高点与最低点,且,则下列结论正确的是()A.函数图像的对称轴方程为;

B.函数的图像关于坐标原点对称;

C.函数在区间上是严格增函数;

D.若函数在区间内有5个零点,则它在此区间内有且仅有2个极小值点.

16.设是两个非零向量的夹角,若对任意实数的最小值为1.命题:若确定,则唯一确定;命题:若确定,则唯一确定.下列说法正确的是()A.命题是真命题,命题是假命题B.命题是假命题,命题是真命题

C.命题和命题都是真命题D.命题和命题都是假命题三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题,必须写出必要的步骤.

17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

如图,四棱锥的底面为正方形,底面分别是线段的中点,是线段上的一点.

(1)证明直线平面;

(2)若直线与平面所成角的正弦值为,试确定点的位置.18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

社会实践是大学生课外教育的一个重要方面,在校大学生利用暑期参加社会实践活动,是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会.某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格:若该省大学2023年毕业生人数为12万人,对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放1000元的补贴.

(1)写出关于的线性回归方程,并估计该省2023年发放补贴的总金额(单位:万元);

(2)若2023年毕业生中的小李、小王参加暑期社会实践活动的概率分别为,该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过1500元,求的取值范围.

参考公式:.

19.（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.以他的名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数.已知数列满足,,若为数列的前项和.

(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;

(2)求的值.

20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)

已知椭圆,依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为.

(1)若,求椭圆的标准方程;

(2)已知抛物线顶点在原点,以椭圆的右顶点为焦点,若上动点到点的最短距离为,求的值;

(3)在(1)的条件下,设点为椭圆的右焦点,,直线交于(均不与点重合)两点,直线的斜率分别为,若,求的周长.

21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题(1)满分6分,第2小题(2)满分8分)已知函数.

(1)当时,求函数图像过点的切线方程;

(2)已知时,既存在极大值,又存在极小值.

①求实数的取值范围;

②当时,分别为的极大值点和极小值点,且,求实数的取值范围.

参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.5；11.莱洛三角形,也称圆弧三角形,是一种特殊三角形,在建筑、工业上应用广泛.如图所示,分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.已知两点间的距离为2,点为上一点,则的最小值为__________.【答案】【解析】设为的中点,连接,为的中点,连接,如图所示,

则在正中,.所以,

所以.因为,

当在同一直线上时,取得最小值,所以,

所以的最小值.12.若存在实数及正整数,使得在区间内恰有2024个零点,则所有满足条件的正整数的值共有个__________.【答案】5【解析】设，此时，，，所以至少有一个根位于区间内．若时，此时在区间上有三个根，所以不存在；若时，此时在区间上有三个根，；若时，此时在区间上有两个根在上，或；若时，此时在区间上有两个根在上，或；若时，此时在区间上有两个根在上，两个根在上，．因此正整数的值有5个．二、选择题13.；14.；15.；16.15.设(其中),若点为函数图像的对称中心,是图像上相邻的最高点与最低点,且,则下列结论正确的是()A.函数图像的对称轴方程为;

B.函数的图像关于坐标原点对称;

C.函数在区间上是严格增函数;

D.若函数在区间内有5个零点,则它在此区间内有且仅有2个极小值点.【答案】【解析】其中),是图像上相邻的最高点与最低点,且点为函数图像的对称中心,

令,求得

可得函数的图象的对称轴方程为,,故错误;

由于函数不是奇函数,故它的图像不关于坐标原点对称,故错误;

当,函数在区间上不单调,故错误；

若函数在区间内有5个零点,,

则,故它在此区间内有且有2个极小值点,故正确,故选:.16.设是两个非零向量的夹角,若对任意实数的最小值为1.命题:若确定,则唯一确定;命题:若确定,则唯一确定.下列说法正确的是()A.命题是真命题,命题是假命题B.命题是假命题,命题是真命题

C.命题和命题都是真命题D.命题和命题都是假命题【答案】【解析】若对任意实数的最小值为1,恒成立,

设则判别式恒成立,

即函数的最小值为

若确定,则确定,但有可能是锐角也可能是钝角,即不确定,即是假命题.

若确定,则,即唯一确定,即是真命题.故选:.三、解答题17.（1）略（2）M位于PA中点18.（1）；1180（2）19.（1），证明略（2）20.已知椭圆,依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为.

(1)若,求椭圆的标准方程;

(2)已知抛物线顶点在原点,以椭圆的右顶点为焦点,若上动点到点的最短距离为,求的值;

(3)在(1)的条件下,设点为椭圆的右焦点,,直线交于(均不与点重合)两点,直线的斜率分别为,若,求的周长.【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)依题意,且,解得,故椭圆方程为:.

(2)由椭圆,知右顶点为,,设,

当,即时,时取最小值,由题意可得,解得,

当时,即时,时取最小值,最小值为10,不符合题意,故的值为4；

(3)设直线,,

则,故故

由,可得

故整理得到,又

故

故或,此时均满足.

若,则直线,此时直线恒过,与题设矛盾,

若,则直线,此时直线恒过,而为椭圆的左焦点,设为,故的周长为21.已知函数.

(1)当时,求函数图像过点的切线方程;

(2)已知时,既存在极大值,又存在极小值.

①求实数的取值范围;

②当时,分别为的极大值点和极小值点,且,求实数的取值范围.【答案】（1）（2）①②【解析】(1)已知、,函数定义域为,

当时,,可得,此时,易知,

所以函数过点的切线方程为,即为;

(2)①当时,,可得

因为函数既存在极大值,又存在极小值,所以必有两个不等的实根,此时,令,解得或,且,所以且；

不妨考虑当的情况下，当时,单调递增;当时,单调递增;当时,单调递减;当时,单调递增,

所以函数分别在取得极大值和极小值，满足条件，

当的情况下,

当时,单调递增;当时,单调递减；当时,单调递增,

所以函数分别在取得极大值和极小值，满足