新教材2021秋粤教版物理选择性必修第一册学案：第2章　机械振动 含答案

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第二章机械振动

第一节简谐运动

［核心素养•明目标］

核心素养学习目标

物理观念知道机械振动和回复力的概念

知道弹簧振子的组成和振动情况.理解全振动、振幅、周期、

物理观念

频率等概念

科学思维理解振动的平衡位置和位移

掌握简谐运动的回复力、加速度、速度随位移变化的规律.简

科学思维

谐运动的能量特征

［白主预习•探新知］课前自主学习•预习素养感知

口知识梳理Q

知识点一认识简谐运动

1.机械振动

物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的往复运动.

2.弹簧振子

把一个有孔的小球安装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球和弹簧穿

在光滑的水平杆上，使其能在杆上自由滑动，小球和水平杆之间的摩擦可以忽

略不计，小球的运动视为质点的运动，这样的系统称为弹簧振子.

3.回复力

(1)方向：总是指向平衡位置.

(2)作用效果：使振子能返回平衡位置.

(3)公式：F=~kx,负号表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向

相反.

4.简谐振动

物体在跟平衡位置的位移大小成正比,并且总指向平衡位置的回复力的作

用下的振动.

5.振幅

物体振动时离开平衡位置的最大距离.

6.周期

物体完成一次全振动所需要的时间,用T表示.

7.频率

物体在一段时间内全振动的次数与所用时间之比，用/表示.周期和频率的

关系为于=亍.

知识点二简谐运动的能量特征

对水平弹簧振子，当振子在位移最大处时，弹簧弹性势能最大，振子动能

为雯；当振子在平衡位置时，弹簧弹性势能为雯，振子动能最大.弹簧振子在

振动过程中，机械能守恒.

不基础自测K

1.思考判断（正确的打“，错误的打“义”）.

（1）机械振动是物体在平衡位置附近所做的往复运动.（V）

（2）弹簧振子是一种理想化的模型.（V）

（3）振幅随时间做周期性变化.（X）

（4）物体两次通过平衡位置的时间叫作周期.（X）

2.（多选）下列关于振动的回复力的说法正确的是（）

A.回复力方向总是指向平衡位置

B.回复力是按效果命名的

C.回复力一定是物体受到的合力

D.回复力由弹簧的弹力提供

AB[回复力是按效果命名的，是指向平衡位置使振动物体回到平衡位置的

力，可以由某个力或某几个力的合力提供，也可以由某个力的分力提供，故A、

B正确，C错误；在水平弹簧振子中弹簧的弹力提供回复力，但在其他振动中，

回复力不一定由弹簧弹力提供，D错误.]

3.(多选)振动周期指振动物体()

A.从任何一个位置出发又回到这个位置所用的时间

B.从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用时间

C.从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用时间

D.运动路程等于四个振幅的时间

CD［振动周期是振子完成一次全振动所用的时间，C、D正确.］

［合作探究•提索齐］疑难问题解惑•学科素养提能

考点1平衡位置与回复力

至情境探究

竖直方向的弹簧振子模型如图所示，请思考以下问题：

(1)在平衡位置处，弹簧的弹力等于零吗？

(2)该弹簧振子的回复力是由什么力提供的？

提示：(1)不等于零.

(2)由小球重力和弹簧的弹力的合力提供.

―1.对简谐运动的平衡位置的认浜

(1)从物体受力特点看：物体在平衡位置所受合力不一定为零，而是沿振动

方向的合力为零.

(2)从速度角度看：平衡位置是振动中速度最大的位置.

2.机械振动的特点

(1)物体在平衡位置附近做往复运动.

(2)机械振动是一种周期性运动.

3.回复力的理解

(1)回复力的方向总是指向平衡位置.总与简谐运动位移的方向相反.

(2)回复力的效果是使偏离平衡位置的物体返回到平衡位置，是产生振动的

条件.

(3)回复力可以是振动物体所受的某一个力，也可以是物体所受几个力的合

力.

【典例1］如图所示，对做简谐运动的弹簧振子M的受力情况分析正确

的是（）

4B0k

A.重力、支持力、弹簧的弹力

B.重力、支持力、弹簧的弹力、回复力

C.重力、支持力、回复力、摩擦力

D,重力、支持力、摩擦力、弹簧的弹力

A［弹黄振子的简谐运动中忽略了摩擦力，C、D错；回复力为效果力，受

力分析时不分析此力，B错；故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力，A对.］

［跟进训练］

1.（多选）关于振动物体的平衡位置，下列说法正确的是（）

A.加速度改变方向的位置

B.回复力为零的位置

C.速度最大的位置

D.合外力一定为零的位置

ABC［振动物体在平衡位置回复力为零，而合外力不一定为零，在该位置

加速度改变方向，速度达最大值.故A、B、C正确，D错误.］

□考点2简谐运动的物理量的变化规律

1.简谐运动中相关量的变化规律

（1）变化规律：当物体做简谐运动时，它偏离平衡位置的位移小回复力R

加速度。、速度。、动能Ek、势能Ep及振动能量E,遵循一定的变化规律，可

列表如下:

物理量XFaVEkEpE

远离平衡位置

增大增大增大减小减小增大不变

运动

最大位移处最大最大最大零零最大不变

靠近平衡位置

减小减小减小增大增大减小不变

运动

平衡位置零零零最大最大最小不变

(2)两个转折点.

①平衡位置是速度大小、位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折

点；

②最大位移处是速度方向变化的转折点.

(3)一个守恒：简谐运动过程中动能和势能之间相互转化，但总的能量守恒.

2.简谐运动的对称性

如图所示，物体在4与5间运动，。点为平衡位置，任取关于。点对称的

C、。两点，则有：

IIIII

ACODB

(1)时间对称.

(2)位移、回复力、加速度大小对称.

(3)速率、动能对称.

【典例2］如图所示，质量为m的物体A放在质量为M的物体5上，B

与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中，4、5之间无

相对滑动，设弹簧的劲度系数为匕求当物体离开平衡位置的位移为x时，5对

A的摩擦力大小.

［思路点拨］(1)应用整体法、隔离法思考.

(2)5对A的摩擦力是A做简谐运动的回复力.

［解析］4、5两物体组成的系统做简谐运动的回复力由弹簧的弹力提供，

当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力大小尸=心，4和3的共同加速度

斤kx

大小工一=蒜二-，而物体做简谐运动的回复力由受到的静摩擦力提

4=1M7+mM+mA4

供，由此可知5对4的摩擦力大小片机4=而不.

mkx

［答案］

M+m

...••规律c方法......

分析简谐运动应注意的问题

(1)位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、

方向相同.

(2)回复力是变力，大小、方向发生变化，加速度也随之发生变化.

(3)要注意简谐运动的周期性和对称性，由此判定振子可能的路径，从而确

定各物理量及其变化情况.

［跟进训练］

2.(多选)如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经

过M、N两点时速度。(。#0)相同，那么，下列说法正确的是()

A

/.卜、

/、

/、

MON

A.振子在M、N两点所受弹簧弹力相同

B.振子在M、N两点相对平衡位置的位移大小相同

C.振子在M、N两点加速度大小相等

D.从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动

BC［因位移、速度、加速度和弹力都是矢量，它们要相同必须大小相等、

方向相同.M、N两点关于。点对称，振子所受弹力应大小相等、方向相反，

振子位移也是大小相等，方向相反.由此可知，A错误，B正确；振子在M、N

两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，C正确；振子由M—>0速度越来越

大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动.振子由。一

速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，D

错误.］

D考点3振幅'周期和频率

畲情境探究

如图所示，思考探究下面两个问题

W：♦:掘“建.】

10cm;

甲COB

(1)振子振幅与位移最大值有什么关系？

(2)图乙中振子振幅为多少？

提示：(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是振动物体相对

平衡位置的位置变化；位移的最大值等于振幅.

(2)10cm.

1.对全振动的理解

(1)振动特征：一个完整的振动过程.

(2)物理量特征：位移(X)、加速度(㈤、速度⑦)等各物理量第一次同时与初始

状态相同.

(3)时间特征：历时一个周期.

(4)路程特征：振幅的4倍.

2.振幅和振动系统能量的关系

对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系

统能量越大.

3.振幅与路程的关系

振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系是：

(1)一个周期内的路程为4倍的振幅.

(2)半个周期内的路程为2倍的振幅.

4.振幅与周期的关系

在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关.

【典例3］如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO=

OC=5cm,若振子从5到。的运动时间是1s,则下列说法正确的是()

UM如AMEAMX9

A.振子从3经。到。完成一次全振动

B.振动周期是1s,振幅是10cm

C.经过两次全振动，振子通过的路程是20cm

D.从5开始经过3s,振子通过的路程是30cm

［思路点拨］(1)振子从5经。到。的时间为:T.

⑵振子的振幅是5cm,完成一次全振动的路程为振幅的4倍.

D［振子从5-0-C仅完成了半次全振动，所以周期T=2X1s=2s,振

幅4=5。=5cm.弹黄振子在一次全振动过程中通过的路程为4A=20cm,所

以两次全振动中通过路程为40cm,3s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30

cm.故D正确，A、B、C错误.］

厂........规WcT5法............................

振幅与路程的关系

振动中的路程是标量，是随时间不断增大的.一个周期内的路程为振幅的4

倍，半个周期内的路程为振幅的2倍.

(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，;周期内的路程等于

振幅.

(2)若从一般位置开始计时，:周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程

可能大于、等于或小于振幅.

［跟进训练］

训练角度1振幅、周期的理解

3.有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让

它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和

振幅之比分别为()

A.1：11：1B.1：11：2

C.1：41：4D.1：21：2

B［弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，

故振幅之比为1：2.而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，

与振幅无关，故周期之比为1：1.］

训练角度2振动物体的路程

4.一个物体做简谐运动时，周期是T,振幅是A,那么物体()

T

A.在任意:内通过的路程一定等于A

B.在任意，内通过的路程一定等于2A

C.在任意亍内通过的路程一定等于34

D.在任意T内通过的路程一定等于24

B［物体做简谐运动，是变加速运动，在任意（内通过的路程不一定等于A,

故A错误；物体做简谐运动，在任意1内通过的路程一定等于2A,故B正确；

物体做简谐运动，在任意3亍T内通过的路程不一定等于3A,故C错误；物体做简

谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A,故D错误.］

畲课堂小结•翔的收获

1.物理观念：平衡位置、回复力、振幅、全振动、周期、频率等概念.

2.科学方法：弹簧振子模型.

3.科学思维：简谐运动的特征.

［当堂达标•夯基础］课堂知识夯实•双基盲点扫除

1.（多选）下列运动中属于机械振动的是（）

A.树枝在风的作用下运动

B.竖直向上抛出的物体的运动

C.说话时声带的运动

D.匀速圆周运动

AC［物体在平衡位置附近所做的往复运动属于机械振动，故A、C正确；

竖直向上抛出的物体到最高点后返回落地，不具有运动的往复性，因此不属于

机械振动，故B错误；匀速圆周运动不是在平衡位置附近往复运动，故D错误.］

2.关于振幅的各种说法中，正确的是（）

A.振幅是振子离开平衡位置的最大距离

B.位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅

C.振幅等于振子运动轨迹的长度

D.振幅越大，表示振动越强，周期越长

A［振幅是振子离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不

变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关,

D错.］

3.（多选）做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他位置时，关于它的

加速度方向，下列说法正确的是（）

A.一定与速度方向相同

B.有时与速度方向相同，有时与速度方向相反

C.总是指向平衡位置

D.总是与位移方向相反

BCD［回复力指使物体回到平衡位置的力，对简谐运动而言，其大小必与

位移大小成正比，其方向与位移方向相反，并总是指向平衡位置，而加速度的

方向与回复力的方向相同；由于振子的运动具有周期性，故加速度方向与速度

方向有时相同，有时相反，故A错，B、C、D对.］

4.如图所示的弹簧振子，0点为它的平衡位置，当振子机离开。点，再从

A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是（）

V

，二ER

，IIIR

OCA

A.大小为OC,方向向左

B.大小为OC,方向向右

C.大小为AC,方向向左

D.大小为AC,方向向右

B［振子离开平衡位置，以。点为起点，。点为终点，位移大小为OC,方

向向右.］

5.如图所示，一个小球在两个相对的光滑斜面之间往复运动，试说明这个

小球是否做简谐运动?

［解析］小球不是做简谐运动.因为小球在斜面上运动的过程中，所受力为

恒力，故为匀变速运动，而简谐运动是变加速运动.所以不可能是简谐运动.

［答案］不是简谐运动，说明见解析

第二节简谐运动的描述

［核心素养•明目标］

核心素养学习目标

能从简谐运动的函数表达式分析简谐运动的振幅、周期、频

科学思维

率等

科学方法掌握简谐运动图像的物理意义和应用

物理观念知道简谐运动的数学描述，了解相位的概念

［白主预习•探新知］课前自主学习预习素养感知

知识点一简谐运动的函数描述

1.描述简谐运动位移一时间图像的函数表达式为x=Acos（研+0）.式中A

是简谐运动的振幅，”为简谐运动的角频率.

2.“与T、/的关系为：e=爷=&£

知识点二简谐运动的图像描述

1.相位、初相

位移一时间函数x=cos（cOH~9）中的cof+o叫作相位,而对应f=0时的相位

心叫作初相.

2.相位差

对于频率相同、相位不同的振子，相位差A0=（口什01）~~（而+。2）=01—02,

表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系.

3.图像信息

如图所示，从图像上可知周期和振幅.还可知道任一时刻的位移大小和方

匚基础自测二

1.思考判断（正确的打“，错误的打“X”）.

⑴位移一时间图像表示振动质点的运动轨迹.（X）

⑵振动的位移为正时，速度也为正.（X）

（3）简谐运动图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移.（J）

（4）振动位移的方向总是背离平衡位置.（V）

2.一质点做简谐运动的图像如图所示，该质点在f=3.5s时刻（）

A.速度为正、加速度为正B.速度为负、加速度为负

C.速度为负、加速度为正D.速度为正、加速度为负

D［由图像可知，质点从正的最大位移处出发，向平衡位置运动，由此知

3.5s时，质点由平衡位置向正的最大位移处运动，所以此时速度为正，质点做

减速运动，加速度为负，故选项D正确.］

3.一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置。为x轴坐标原点.从某

时刻开始计时，经过四分之一个周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度.能

正确反映振子位移与时间关系的图像是（）

A［经:周期振子具有沿x轴正方向的最大加速度，故此时振子有负方向的

最大位移，A图符合，故A项正确；B图中，经1周期振子位移为零，故B项错

误；C图中，经:周期振子位移正向最大，故C项错误；D图中，经:周期振子

位移为零，故D项错误.］

［合作探究•提素养］疑难问题解惑•学科素养提能

□考点1简谐运动的表达式

畲情境探究

某弹簧振子的振动图像如图所示,将弹簧振子从平衡位置拉开4cm后放开,

同时开始计时，

讨论：(1)该振动的周期、频率分别是多少？

(2)写出该振动的正弦函数表达式.

提示：⑴周期T=0.4s频率/=2.5Hz.

(2)x=4sin(5n/+2)cm.

-~1.简谐运动表达式x=Asin小的理解

(l)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移.

(2)4：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱.

27r

(3)3角频率，它与周期、频率的关系为可见“、T、/相当

于一个量，描述的都是振动的快慢.

2.简谐运动的表达式x=Asin(w+9o)的理解

(1)式中(gf+0o)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的

不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量.它是一个随时间变化的量，

相当于一个角度，相位每增加2兀，意味着物体完成了一次全振动.

(2)式中外表示/=0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相.

⑶相位差：即某一时刻的相位之差.两个具有相同”的简谐运动，设其初

相位分别为(poi和002；其相位差Ae=(<of+902)—(加+001)=9。2—001.当Ae=0

时，两质点振动步调一致；当A0=7T时，两质点振动步调完全相反.

【典例1】一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12cm,周期为2s.当t=0

时，位移为6cm,且向x轴正方向运动，求：

⑴初相位；

⑵f=0.5s时物体的位置.

［思路点拨］①关键条件是：，=0时，位移为6cm,且向x轴正方向运动.

②先假设函数表达式，由f=0时x=6cm求出初相

［解析］(1)设简谐运动的表达式为x=Asin(oH~9),

4=12cm,T=2s,co=~^9£=0时，x=6cm,

代入上式得，6cm=12sin(0+^)cm,

1yr、5

解得sin9=5，力=%或%几,

TTTT

因这时物体向x轴正方向运动，故应取9=不即其初相为j

(2)由上述结果可得：

x=Asin(to/+^)=12sin(7rf+§cm,

所以x=12sing+2cm=12sin，?rcm=6A/3cm.

［答案］(琮(2)6^3cm处

厂......规律C方法.....................

初相位的两种求解方法

(1)确定振幅4、角频率。及，=0时刻的位移X,然后利用x=4sin(0f+0),

求出初相位(p.

(2)设平衡位置处的质点向正方向运动〃(〃<1)个周期可到达，=0时刻质点所

在处，则初相位9=〃2TT.

［跟进训练］

1.弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8cm,周期为0.5s,计时开始

时具有正向最大加速度，则它的振动方程是()

A.x=8XIO、sin(47tr+3「m)

B.x=4XIO、5加(4位一。m)

C.x=8X1()-3sin(27rf+§(m)

D.x=4XIO、sin(27rf-。m)

B［振子振动范围0.8cm,所以24=0.8cm,振幅A=0.4cm,周期为0.5s,

所以切==于=4兀rad/s,而初始时刻具有正向最大加速度，即在波谷位置，综上

可得：x=4Xl()-3.sin(4就—"3m),B正确，A、C、D错误.]

口考点2简谐运动的图像

畲情境探究

如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P,在下面放一条

白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹.

讨论：(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？

(2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？

提示：(1)是一条平行于小球运动方向的线段.

(2)是一条正弦曲线.

-~1.图像形状

正徐)弦曲线.

2.物理意义

表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律.

3.图像应用

(1)任意时刻质点位移的大小和方向.如图甲所示，质点在有、打时刻的位移

分别为*1和一X2.

⑵任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中。点，下

一时刻离平衡位置更远，故。点此刻沿X轴正方向振动.图乙中8点，下一时

刻离平衡位置更近，故》此刻沿无轴正方向振动.

X

40

乙

(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时

间内的振动方向，从而确定各物理量的变化.如图甲所示，质点在fi时刻到加

时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增

大，位移和加速度都变小；质点在饱时刻到f2时刻这段时间内，质点远离平衡

位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大.

【典例2］如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m=lkg的小

球，小球静止时弹簧伸长量为10cm.现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小

球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间，变化的规律如图

乙所示，重力加速度g取10m/s2.

(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；

(2)求出小球在0-12.9s内运动的总路程和12.9s时刻的位置；

(3)小球运动到最高点时加速度的大小.

/////s///,

i

i

d

甲

［解析］(1)由振动图像可知：A=5cm,T=1.2s,贝1J"=下=§rad/s,

小球相对平衡位置的住移随时间的变化关系式：

57r

j=Acostt>Z(cm)=5cos-y/(cm).

(2)12.9s=l(^r,则小球在。〜12.9s内运动的总路程：434=215cm;12.9s

时刻的位置：j=0,即在平衡位置.

(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量10cm,贝可：N/m=100N/m,

小球在最高点时，弹簧伸长5cm,则/〃g—

解得a=5m/s2.

［答案］(l)j=5cos^Z(cm)(2)215cm平衡位置(3)5m/s2

厂.......规律＜方法.............................

简谐运动图像的应用技巧

(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向.

质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较

图像中纵坐标值的大小.方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向

判断.

(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向.

由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以

只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可.

［跟进训练］

2.(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，贝！)()

A.f=0时，振子位移为零，速度为零，加速度为零

B.t=ls时，振子位移最大，速度为零，加速度最大

C.fi和/2时刻振子具有相同的速度

D.白和白时刻振子具有相同的加速度

BD［f=0时刻，振子位于平衡位置。，位移为零，加速度为零，但速度为

最大值，选项A错误；t=ls时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度

最大，而速度为零，选项B正确；有和f2时刻振子位于正向同一位置，有时刻是

经此点向正方向运动，f2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但

方向相反，所以速度不相同，选项c错误；f3和a时刻振子位移相同，即处在

同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确.］

畲课堂小结•我的收获

1.物理观念：利用简谐运动的函数表达式分析振幅、周期、频率.

2.科学方法：简谐运动的图像.

3.科学思维：简谐运动的位移公式与图像的综合应用.

［当堂达标•夯基础］课堂知识夯实•双基盲点扫除

1.两个简谐运动的表达式分别为xi=4sin4加(cm)和X2=2sin2Mcm),它

们的振幅之比、各自的频率之比是()

A.2：12：1B.1：21：2

C.2：11：2D.1：22：1

A［由题意知Ai=4cm,A2=2cm,(oi=4nrad/s,(02=2nrad/s,则Ai:Ai

=2：1,/1：f2=a)i：602=2：1.故A正确，B、C>D错误.］

2.一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是()

A.质点的振动频率是4Hz

B.在10s内质点通过的路程是20cm

C.第4s末质点的速度是零

D.在f=ls和f=3s两时刻，质点位移大小相等、方向相同

B［根据振动图像可知，该简谐运动的周期T=4s,所以频率/=1;=0.25

Hz,A错；10s内质点通过的路程s=¥x4A=10A=10X2cm=20cm,B对；

第4s末质点经过平衡位置，速度最大，C错；在，=ls和f=3s两时刻，质点

位移大小相等、方向相反，D错.］

3.如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是()

A.由P-。位移在增大

B.由P-Q速度在增大

C.由速度是先减小后增大

D.由M-N位移始终减小

A［由图像可知从P-*。物体远离平衡位置向外运动，位移增大，速度减小，

A正确，B错误；由MfN,物体由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移

减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，选项C、D错误.］

4.(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是

()

A.力时刻振子正通过平衡位置向正方向运动

B.£2时刻振子的位移最大

C.白时刻振子正通过平衡位置向正方向运动

D.该图像是从平衡位置计时画出的

BC［从图像可以看出，f=0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的

最大位移处开始计时画出的图像，D项错误；力时刻以后振子的位移为负，力时

刻振子正通过平衡位置向负方向运动，A项错误；打时刻振子在负的最大位移处，

因此可以说是在最大位移处，B项正确；白时刻以后，振子的位移为正，所以该

时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，C项正确.］

5.如图所示是某质点做简谐运动的图像，根据图像中的信息，回答下列问

题：

⑴质点离开平衡位置的最大距离有多大？

⑵在1.5s和2.5s两个时刻，质点向哪个方向运动？

⑶质点在第2s末的位移是多少？在前4s内的路程是多少？

［解析］由图像上的信息，结合质点的振动过程可作出以下回答:

(1)质点离开平衡位置的最大距离就是X的最大值10cm.

(2)在1.5s以后的时间质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5s以后

的时间位移增大，因此是背离平衡位置运动.

(3)2s末时质点在平衡位置，因此位移为零.质点在前4s内完成一个周期

性运动，其路程10义4cm=40cm.

［答案］(1)10cm(2)向平衡位置运动背离平衡位置运动(3)040cm

第三节单摆

［核心素养-明目标］

核心素养学习目标

物理观念知道单摆的振动是简谐运动

科学思维掌握影响单摆周期的因素和周期公式

科学态度与责任能够利用单摆周期公式解释与单摆相关的现象

科学探究学会用单摆周期公式测定重力加速度的方法

［自主预习•探新知］课前自主学习•预习素养感知

K知识梳理C

1.单摆模型

如果悬挂物体的绳子的便缩和质量可以忽略不计，绳长比物体的尺寸大很

多，物体可以看作质点,这样的装置可以看作单摆，单摆是实际摆的理想模型.

2.单摆的运动

若单摆的摆角小于并，单摆的摆动可看成简谐运动.

3.单摆的回复力

重力如g沿圆弧切线方向的分力户为单摆摆球的回复力.

4.单摆的固有周期

(1)特点：单摆的简谐运动周期与装置的固有因素有关，和外界条件无关，

故称固有周期.

(2)公式：r=&rj|，式中L为单摆的摆长,g为重力加速度.

口^础自测bl

1.思考判断（正确的打“。”，错误的打“X”）.

（1）单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略.（V）

（2）单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略.

（V）

（3）摆球质量越大，周期越长.（X）

（4）摆动幅度越大，周期越长.（X）

2.关于单摆的运动，下列说法正确的是（）

A.单摆摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力

B.单摆摆球经过轨迹上的同一点速度是相同的

C.单摆摆球经过轨迹上的同一点加速度是相同的

D.单摆摆球经过平衡位置时受力是平衡的

C［摆球运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故A错；根据

简谐运动的对称性可知摆球经过轨迹上的同一点时速度大小相等，方向可能相

同，也可能不同，加速度的大小、方向都相同，故B错，C对；摆球经过平衡

位置时，回复力为零，合外力不为零，受力并不平衡，故D错.］

3.如图所示是一个单摆（〃V5。），其周期为T,则下列说法正确的是（）

A.把摆球的质量增加一倍，其周期变小

B.摆球的振幅变小时，周期也变小

C.此摆由0-5运动的时间为《

D.摆球5-0时，动能向势能转化

C［单摆的周期与摆球的质量无关，A错误；单摆的周期与振幅无关，B

T

错误；此摆由0-3运动的时间为不C正确；摆球B-0时，势能转化为动能,

D错误.］

［合作探究•提索齐］疑难问题解惑•学科素养提能

口考点1单摆模型的回复力及运动情况

令情境探究

如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离

竖直方向一个夹角，然后释放.

讨论：

(1)小球受到哪些力的作用？

(2)向心力和回复力分别是由什么力提供的？

提示：(1)小球受重力和细线的拉力.

(2)细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向心力.小球重力沿圆

弧切线方向的分力提供回复力.

-L单摆的回复力

(1)单摆受力：如图所示，受细线拉力和重力作用.

(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力.

(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力尸=mgsin〃提供了使摆球振动

的回复力.

2.单摆做简谐运动的推证

在偏角很小时，sin〃喉，又回复力F=mgsin仇所以单摆的回复力为尸=

一器(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，L表示单摆的摆长，负号表示回复

力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合尸=一乙，单摆做简谐运动.

【典例1】振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合

力的说法中正确的是()

A.回复力为零，合力不为零，方向指向悬点

B.回复力不为零，方向沿轨迹的切线

C.合力不为零，方向沿轨迹的切线

D.回复力为零，合力也为零

［思路点拨］(1)考虑摆动情况，小球在平衡位置回复力为零.

(2)考虑圆周运动情况，小球在平衡位置所受合外力不为零.

A［单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆

球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方

向指向悬点(即指向圆心).］

厂......规律(方法.....................

单摆中的回复力

(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆瓠切线方向的

一个分力.单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处.

(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是

回复力.

(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力

为零，但合外力不为零.

［跟进训练］

1.关于单摆的描述，正确的是()

A.单摆的运动一定是简谐运动

B.单摆运动的回复力是重力与绳子拉力的合力

C.单摆运动过程中经过平衡位置时达到平衡状态

D.单摆经过平衡位置时回复力为零

D［当单摆的偏角较小时单摆的运动才是简谐运动，故A错误；单摆运动

的回复力是重力在切线上的分力提供的，故B错误；单摆运动过程中经过平衡

位置时有向心加速度，所以没有达到平衡状态，故C错误；根据尸=一质可知

单摆经过平衡位置时回复力为零，故D正确.］

口考点2单摆的周期

畲情境探究

央视新闻2019年3月1日消息，“嫦娥四号”着陆器已于上午7点52分自主

唤醒，中继前返向链路建立正常，平台工况正常，月前正在进行状态设置，按

计划开始第三月昼后续工作.假设将一单摆随“嫦娥四号”着陆器带至月球表面，

单摆在做简谐运动时其周期与在地球上相比有何变化？并说明原因.

提示：变大，月球表面的重力加速度比地球表面小.

1.单摆的周期公式：

2.对周期公式的理解

(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5。时，由周期公式算出的

周期和精确值相差0.01%).

⑵公式中L是摆长，即悬点到摆球球心的距离，即心=/线+r球.

(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定.

(4)周期T只与L和g有关，与摆球质量，”及振幅无关.所以单摆的周期也

叫固有周期.

3.摆长的确定

(1)图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长

为Lsina,这就是等效摆长，其周期且.图(b)中，乙在垂直于纸

面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效.

(2)如图(c)所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度⑨很小)的圆周运

动时，可等效为单摆，小球在A、5间做简谐运动，周期T=2C居.

4.公式中重力加速度g的变化与等效

(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态,g由单摆所处的空间位置决

定，即g=偿，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置

的高度的变化而变化.另外，在不同星球上M和/?也是变化的，所以g也不同,

g=9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值.

(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重

状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受

的张力与摆球质量的比值.如图所示，球静止在平衡位置。时，FT=mgsin0,

等效加速度g'=5f=gsin0.

【典例2］一个单摆的摆长为I,在其悬点0的正下方0.19/处有一钉子

P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A,使摆线偏角6V5。，放手后使其摆动，求

出单摆的振动周期.

［思路点拨］(1)左边和右边摆长不同.

(2)单摆的周期等于两个摆周期之和的一半.

［解析］摆球释放后到达右边最高点5处，由机械能守恒可知5和4等高,

则摆球始终做简谐运动.摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不

同单摆的半周期的和.

小球在左边的周期为TI=27T^1,

小球在右边的周期为n=2々等，

则整个单摆的周期为：

［答案］1.9;

厂.......规WcT?法............

求单摆周期的方法

(1)明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件.

(2)在运用T=2TTJ|时，要注意L和g是否发生变化，如果发生变化，则

分别求出不同L和g时的运动时间.

(3)改变单摆振动周期的途径是：

①改变单摆的摆长.

②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重).

(4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系.

［跟进训练］

训练角度1单摆周期的特点

2.若单摆的摆长不变，摆球的质量由20g增加为40g,摆球离开平衡位置

的最大角度由4。减为2。，则单摆振动的()

A.频率不变振幅不变B.频率不变振幅改变

C.频率改变振幅不变D.频率改变振幅改变

B［单摆的周期公式为T=2hJ|,与摆球的质量和摆角的大小无关，所以

周期不变，频率也不变，摆角减小则振幅减小，故B正确，A、C、D错误.］

训练角度2单摆的振动图像

3.(多选)如图为甲、乙两单摆的振动图像，贝()()

A.由图像可知两单摆周期之比为2：1

B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比/单：/乙

=2：1

C.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比/甲：/乙

=4：1

D.若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星

球的重力加速度之比g甲：g乙=4：1

AC［由题中图像可知T甲：Ta=2：1,若两单摆在同一地点，则两摆摆长

之比/甲：/匕=4：1,若两摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲：g

匕=1：4.］

命课堂小结•我的收获

1.物理观念：单摆的受力与运动.

2.科学方法：单摆模型.

3.科学思维：单摆周期的决定因素.

［当堂达标•夯基础］课堂知识夯实•双基盲点扫除

1.（多选）下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是（）

A.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

B.单摆经过平衡位置时合力提供向心力

C.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

D.在摆角很小的情况下，单摆回复力符合简谐运动特点

ABD［单摆运动的回复力不是由重力与摆线拉力的合力提供，平衡位置时，

重力和摆线拉力的合力提供向心力，B正确；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方

向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，A正确，C错误；当。V5。时，单摆回

复力符合简谐运动特点，D正确.］

2.（多选）一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是

（）

叭h

。时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大

6时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C.白时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小

D.以时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

AD［由振动图像知，人和A时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球

的速度为零，摆球的回复力最大，A正确，C错误；/2和f4时刻摆球位移为零，

正在通过平衡位置，速度最大，由于摆球做圆周运动（一部分），由牛顿第二定律

得出悬线对摆球拉力最大，D正确，B错误.]

3.（多选）如图所示，在同一地点的4、B两个单摆做简谐运动的图像，其

中实线表示A的运动图像，虚线表示B的运动图像.以下关于这两个单摆的判

断中正确的是（）

A.这两个单摆的摆球质量一定相等

B.这两个单摆的摆长一定不同

C.这两个单摆的最大摆角一定相同

D.这两个单摆的振幅一定相同

BD[从题图可知，两单摆的振幅相等，周期不等，所以两单摆的摆长一定

不同，故B、D对；由振幅相等而摆长不等知C错；单摆的周期与质量无关，

故A错.]

4.已知在单摆。完成10次全振动的时间内，单摆力完成6次全振动，两

单摆摆长之差为1.6m,则两单摆摆长及与⑦分别为（）

A.La=2.5m£*=0.9m

B.La—0.9m£*=2.5m

C.La=2.4mL/>=4.0m

D.L«=4.0m£*=2.4m

B[单摆完成一次全振动所需的时间即单摆的周期，据题设可知。、8两单

摆的周期之比为尚=今由单摆周期公式T=2cJ|得：齐堂，据题设得及

-Lfl=1.6m,联立解得La=0.9m,Lh=2.5m.故正确答案为B.]

5.如图所示的双线摆，如果摆球大小不计，其摆线长均为L,线与天花板

间的夹角为a,求:

'aa

⑴此双线摆等效为单摆时的摆长；

⑵当小球垂直于纸面做简谐运动时的周期.

［解析］(1)摆球垂直纸面做简谐运动，由图可知此双线摆等效为单摆时的摆

长是：Z=Lsina.

⑵根据单摆的振动周期丁=2力；可得摆球垂直纸面做简谐运动的周期为:

/Lsina

T=2N丁

［答案］⑴Lsina(2)2TTJ^^三

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