高中数学应用题

函数、不等式型

1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x

（单位：元/千克）满足关系式丁=，一+100一6）2,其中3今<6,。为常数.已知销售

x—3

价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

（I）求。的值；

（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品

所获得的利润最大.

解：(I)因为x=5时，y=ll,所以'I'+IO=11,。=2.

2…

（II）由（I）可知，该商品每日的销售量》=-----+100-6）2,

x—3

所以商场每日销售该商品所获得的利润

2

./■(X)=(X-3)[——+10(x—6)2]=2+10(x—3)(x-6)2,3<x<6,

x-3

从而，f\x)=10[(x—6)2+2(x—3)(x-6)]=30(%-4)(x-6),

于是，当x变化时，/'（x）,/（x）的变化情况如下表:

X(3,4)4(4,6)

/'（X）+0-

/（X）单调递增极大值42单调递减

由上表可得，x=4是函数/（X）在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点,

所以，当x=4时，函数/（X）取得最大值，且最大值等于42.

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/

辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本,

若每辆车投入成本增加的比例为X（0<%<1）,则出厂价相应提高的比例为0.7X,年销

售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价一每辆车的投入成本）X年销售量.

（1）若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成

本增加的比例X应在什么范围内？

（2）年销售量关于x的函数为歹=3240（--+2x+；）,则当x为何值时，本年度的年利

润最大？最大利润为多少？

解：(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10x(1+x)；

出厂价为13x(l+0.7x)；年销售量为5000x(l+0.4x),........2分

因此本年度的利润为^=[13x(1+0.7x)-10x(l+x)]x5000x(l+0.4x)

=(3-0.9x)x5000x(l+0.4x)

即：y=-1800x2+1500x+15000(0<x<1),..........6分

Etl-1800x2+1500x+15000>15000,得0<x<』……8分

6

(2)本年度的利润为

〃X)=(3-0.9X)X3240X(*+2X+|)=3240X(0.9/-4.8X2+4.5X+5)

则f'(x)=3240X(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),……10分

由f(%)=。，解得x=2或x=3,

当xe(0,g)时，/'(x)>0,/(x)是增函数；当xe§,l)时，/'(》)<0,/(刈是减函数.

.•.当x=9时，/(x)取极大值/'(*)=20000万元，……12分

99

因为/(x)在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，……14分

所以当x=2时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元.……15分

9

3、某民营企业生产43两种产品，根据市场调查与预测，Z产品的利润与投资成正比，

其关系如图甲，8产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润

与投资单位：万元).

(I)分别将48两种产品的利润表示为投资X(万元)的函数关系式;

(II)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入48两种产品的生产，问：怎样分配这

10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

解：(I)设投资为X万元,A产品的利润为/(X)万元,B产品的利润为g(x)万元.

由题设/(X)=kxx,g(x)-k24x

由图知故占

又g(4)=：./2=：

从而/(x)=-x(x>0),g(x)=—Vx(x>0)

44

(II)设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元.

y-f(x)+g(10-x)--x+—710-x(0<x<10)

44

令/=J10-x,则y=1^1+:/=-；(/—g)2+^j(0</<10)

当时/max此时X=3.75

答：当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元，企业最大利润为万元.

4、如图所示，一科学考察船从港口。出发，沿北偏东c角的射线OZ方向航行，而在离

港口而a(a为正常数)海里的北偏东/角的“处有一个供给科考船物资的小岛，其中

tana=；1,cos^=言2.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口。正东m(加>§7。)海

里的B处的补给船，速往小岛/装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，

并在C处相遇.经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时,

这种补给最适宜.

⑴求S关于取的函数关系式S(⑼；

⑵应征调〃，为何值处的船只，补给最适宜.

【解】⑴以。为原点，08所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ方程为

y=3x.............2分

设点/(/Jo),则X。=713(2sin/?=y[V3a•—j==3a,y0=\l\3acosfi=y[\3a'—f==2a,

即/(3。,2〃)，乂8(m,0),所以直线”的方程为y=3-(x-m).

3a-m

上面的方程与y=3x联立得点C(jm6am)..........5分

3m-la3m-la

：.S(m)=\oB-\yc|=............8分

23m-/a3

z、c/、/7、49a214、c49/14、28a2〜八

(2)S(m)=a(m---a)H----------4---a>a(2J------F—a)=....12分

39(〃7一卜)3V933

当且仅当刀7一49a、时,即〃2=上141时取等号，..........14分

373

2

答：S关于机的函数关系式；.S(加)=,08|了0|=3竺二(m>-a)

23m-la3

⑵应征调加=上14。处的船只，补给最适宜.............15分

3

5、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销.在一年内，预计年销量。

3x+l

(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为0='-----(x20).已知生产此产品的年

~x+1

固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入32万元,若每件售价为“年平均每

件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的5096”之和.

(1)试将年利润W万元表示为年广告费x万元的函数；

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？

⑴年生产成本为(32。+3)万元，年收入为［150%(320+3)+50%x］万元.

所以少=L(32Q+3—X)=2(32X^^+3—X)=^^^^(XN0)(7分)

22x+12(x+1)

⑵4=(X+1)2+100(x+1)64=50_+2L)《42(12分)

2(x+l)2x+l

当山=卫7时,等号成立.

2x+l

所以当年广告费投入7万元时，年利润最大为42万元.(14分)

6、为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中

右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000C?M2,四周空白的宽度为10CM,栏与栏之

间的中缝空白的宽度为5cm,怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm）,能使整

个矩形广告面积最小.

解：设矩形栏目的高为加，宽为bcm,则时=20000,.•.6=迎四

a

广告的高为（a+20）CM,宽为（3b+30）cm（其中a>为6>0）

广告的面积S=（a+20）（36+30）=30（。+2b）+60600=30（。+叫W）+60600

Q

>30x+60600=12000+60600=72600

当且仅当a=%竺，即a=200时，取等号，此时6=100.

a

故当广告矩形栏目的高为200cm,宽为100a〃时，可使广告的面积最小.

7、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定

往水中投放一种药剂来净化水质。已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中

X

^-+2(0<x<4)

释放的浓度y（毫克/升）满足y=W（x）,其中/（x）=<,当药剂在水中

-^(x>4)

.x—2

释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫

克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化。

（I）如果投放的药剂质量为m=4,试问自来水达到有效净化一共可持续几天?

（ID如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自

来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值。

fx+8（0<x<4）

解：（1）当m=4时，_y=4/（x）=,24----------2分

--U>4）

lx-2

当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化

，当0<xW4时，y=x+8>4,得x=4

24

当x>4时，y=——>4,解得4<x48

,x-2

故自来水达到有效净化一共可持续5天-----------6分

（2）为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化

即前4天和后3天的自来水达到最佳净化

Y

...当0<x<4时，4<用（1+2）《10在0<xW4恒成立，得

IQ10

v在0<xW4恒成立，2«加4匕-----------9分

403

m<------

x+8

10

当4<x47时，在4<xW7恒成立，同理得加=二

x—23

即投放的药剂质量m的值为W------------13分

3

8、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形,

左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为争

立方米，且/22尸.假设该容器的

建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米

建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c

（c>3）千元.设该容器的建造费用为V千元.

（1）写出y关于尸的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小时的L

解：⑴由题意可知+/+争3=争（/云2r）,即/

不彳——v三2r,则0<尸W2.

,?804

容器的建造费用为歹=2;T〃X3+4Q'xc=6万一（一——尸）+4"r72c,

3r3

即y=160-一+4%）2c,定义域为{r|0</<2}.................8分

r

160万./0,,八一/20

（2）y=----164尸+8〃zc,令y=0,得r=?-----.

r-\c-2

令/=?/———=2,即c=4.5,

nc-2

(1)当3<cW4.5时，J3L>2,当0<rW2,/<0,函数V为减函数，当r=2时

vc-2

V有最小值；

(2)当c>4.5时，<2,当0<r<#g/<0；当r>《二^时4>0,

此时当r=3p2_时y有最小值...........16分

Vc-2

9、某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为左米的圆.在这个圆上安装座

位，且每个座位和圆心处的支点都有•根直的钢管相连.经预算，摩天轮上的每个座位与

支点相连的钢管的费用为8左元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座

位之间的钢管和其中一个座位的总费用为(1024"+20'+2%元。假设座位等距离分

100

布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y

元。

(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当左=100米时，试确定座位的

个数，使得总造价最低？

解：(1)设摩天轮上总共有〃个座位，则丫="即〃=",

nx

T/J।厂(10244+20)%।2；：_110।10244+20]

xx100、x100,

定义域|x0<x<勺,...............6分

2x

&£+10244+20

(2)当)=100时,令夕=100

X

/(X)=W22+1024G，则f'(x)=10001

+512

xy[x

-1000+512x5

x2

（10分）

2525

当》€（0,—）时，f'（x）<0,即/（X）在》€（0,—）上单调减，

1616

2525

当xw（—,50）时,f\x）>0,即/（x）在XE（—,50）上单调增,

1616

为也在％=生时取到，此时座位个数为绊=64个。..........

15分

162?

16

三角型

10、如图是一幅招贴画的示意图，其中是边长为2“的正方形，周围是四个全等

的弓形.已知。为正方形的中心，G为力。的中点，点尸在直线OG上，弧/。是以P

为圆心、以为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧力。于点H.设弧的长为/,

AAPH=6,^6（-,―）.

44

（1）求/关于6的函数关系式；

（2）定义比值三OP一为招贴画的优美系数，当优

美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角。满足:

6=tan（。一二）时，招贴画最优美.

解：（1）当（3当时，点P在线段OG上，/尸=，一；当de（工,空）时，点P在线

42sin。24

段G4上,AP=---=，一;当夕=£时，AP=a.

sin(7t-0)sin02

综上所述，AP=2,).2分

sin。44

所以，弧/。的长/=ZP26=四，故所求函数关系式为/=四，0e（-,—）.-

sin。sin。44

4分

（2）当时，OP=OG-PG=a--乙=°_竺竺巧；当（乌，羽）时，

42tan0sin024

CC、E」aaflCOS61%〃n.

OG+GH=aH---------=a------=a-------；兰〃=—H寸,OP=a.

tan(K-0)tan。sin。2

所以，OP=q-^^,0^(^,—)...........6分

sin644

OPsin6-cos。

从而,8分

20

记/巾当产，〜衿）.

6(cos0+sin0)-(sin0-cos0)

则/'(夕)=

2〃

令/'（。）=°，彳导。（cos。+sing）=sin。一cos。...........10分

因为一衿），所以M+sin”。，从而"葬器.

口於八兀「「［、［Asing-cos，tan0-1，兀、

显然6。一,所以。=----------=-------=tan(Z6Z1一一).12分

2cos0+sin0tanO+14

记满足0=tan（6-；）的6=4,下面证明%是函数/（。）的极值点.

设8（6）=6（85。+5山6）—肉118—85。）,0e（―,—）.

44

rr37r

则＜e）=6＞（cose-sin6）＜0在。£（一,一）上恒成立，

g44

从而g（。）在。€（3次）上单调递减.......................14分

44

所以，当e呜，4）时，g（e）＞o,即/'（o）＞o,〃，）在（：,4）上单调递增;

当。€（%,,）时，g（e）＜o,即/'（e）＜o,/（，）在圆§上单调递减.

故/的）在，=%处取得极大值，也是最大值.

所以，当。满足。=tan（，-四）时，函数/（⑶即2取得最大值，此时招贴画最优

4/

美.16分

1k如图，某兴趣小组测得菱形养殖区/BCD的固定投食点”到两条平行河岸线k4的

距离分别为4m、8m,河岸线人与该养殖区的最近点。的距离为1m,乙与该养殖区的最近

点B的距离为2m.

（1）如图甲，养殖区在投食点”的右侧，若该小组测得N8,0=60。，请据此算出养殖区

的面积；

（2）如图乙，养殖区在投食点/的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估

【解】（1）如图甲，设与4所成夹角为a,则力8与72所成夹角为60；a,

3----=6----------

对菱形488的边长，，算两次，，得sm夕sin（60»-a））................［分

tana=§

解得4分

S=.sin60。=9(1+—^).sin6(T=426(m2)

所以，养殖区的面积'Sina,\tan'a/；……6分

（2）如图乙，设/。与4所成夹角为a,4'"=问120°，18。）则与4所成夹角为

(180j+a)

36

对菱形48co的边长，，算两次，，得加asin（180-9+a）,................&分

tana=f4

解得2+cos。，...................io分

所以，养殖区的面积

S=—)-sin^=9(1+——)sin8=9(5+4cos1)

\sma/\tan2a)\sin，),.........................12分

6=9(5+4暇[=一9(5呼+4)=0cos9=-4

由\sm。/Vsi/。/得5,........................14分

经检验得，当8‘"二一号时，养殖区的面积黑n=27(n?).................[6分

答:(1)养殖区的面积为42百；(2)养殖区的最小面积为27m2.

12、如图，现在要在一块半径为1m.圆心角为60。的扇形纸板NO3上剪出一个平行四边

形MNPQ,使点P在4B弧上，点。在04上，点MN在OB上,设,/BOP=8,平行四

边形MNPQ的面积为S.

(1)求S关于。的函数关系式；(2)求S的最大值及相应。的值.

解：在中’端=sin湍A0°=言

sinaPQ=]sin(60°-0)QL........-\p

：.SMNPQ^IS^OPQ=OQPQ-sin120°=1sin"sin(60°—0)=乎cos(26/]

、6°MNi

-60。)-外

1J3

V0<0<60°-60°<2^-60°<60°.・・]Vcos(2e-60°)Wl・・・0<5式¥

，0=30°时，S的最大值为平

13、如图，实线部分的月牙形公园是由圆产上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆尸

和圆。的半径都是2km,点P在圆0上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形

活动场地.

(1)如图甲，要建的活动场地为△/?5?,求场地的最大面积；

(2)如图乙，要建的活动场地为等腰梯形488,求场地的最大面积.

变化着的几何背景，变元在哪RM一、AM

儿？想明白了，怎样表述？l/n'^\、、

【解】(1)如右图，过s作sK*—；

SH1,RT于H,黑-二/J，'

S^f=-SH-RT............2分

S2

R.1/

由题意，△RST在月牙形公园里，O

RT与圆0只能相切或相离；.....4分

R7左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，

则有RTW4,S//W2,

当且仅当R7切圆。FP时(如下左图)，上面两个不等式中等号同时成立.

此时，场地面积的最大值为品心尸1*4乂2=4(101?).…6分

2

(2)同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的

弓形，

/£)必须切圆0于尸，再设N8为=9,则有

…8分

令y=sin6+sin。cos0,贝!J

y'=cos。+cos0cos0+sin0{-sin0)=2cos20+cos0-\.11分

若_/=0,COS6=；,0=y,

又Oe(0,时，y>o,。陪,时

y<o,..............14分

函数y=sin，+sinOcos，在6=1处取到极大值也是最大值,

故。=］时，场地面积取得最大值为36(km2).……16分

13、如图，48是海面上位于东西方向相距

5(3+G)海里的两个观测点，现位于/点北偏东

45°,8点北偏西60°的。点有一艘轮船发出求救信号，位于8点南偏西60°且与8点

相距20G海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到

达D点需要多长时间？

解：由题意知AB=5(3+Vi)海里,

NDBA=90°-60°=30°,NDAB=45°,

ZADB=\05°

DBAB

在ArMS中，由正弦定理得

sinNDABsinNZDB

ZB・sinZDZ85（3+百）・sin45。5（3+Vi）・sin45°

sinZ.ADBsin105°sin45°•cos600+sin60°•cos45°

=5G（iy）=ioG（海里），......6分

（1+V3）

2

又ADBC=ZDBA+NABC=30°+（90°-60°）=60°,BC=20>/3海里，

在AD8C中，由余弦定理得

CD-=BD2+BC2-2BD•8C•cosNDBC

=300+1200-2x1073x20^x1=900

2

30

.•.8=30（海里），则需要的时间/=e=1（小时）。........14分

30

答：救援船到达D点需要1小时。15分

数列型

14、某企业在第1年初购买价值为120万元是设备M,M的价值在使用过程中逐年减少，

从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年起，每年初M的价

值是上年初价值的75%.

(1)求第n年初M的价值a”的表达式；

(2)设4=>+一二+2,若A„大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对

n

M更新，求须在第几年初对M更新。

解：(I)当〃46时，数列｛%｝是首项为120,公差为-10的等差数列.

3

《,=120—10(〃-1)=130—10〃;当〃26时，数列｛4｝是以％为首项，公比为a为等比

数列，又4=70,所以%=70x(/i；

120-10(〃-1)=130-10〃,〃W6

因此，第〃年初，M的价值%的表达式为4=，3„6

an=70x(—)",n>7

(II)设S”表示数列｛%｝的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得

当时，S“=120〃一5〃(〃一1),/“=120—5(〃—1)=125-5〃；

当〃27时，

33n63n6

5n=56+(a7+a8+--+a„)=570+70x-x4x[l-(-)-]=780-210x(-)-

n

因为｛%｝是递减数列，所以｛/“｝是递减数列，又

780-210x(2)8-6780—210x(2)9-6

4=------------—=82—>80,4)=-----------------=76—<80,

8864,996

所以须在第9年初对M更新.

15、某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑

面积为2000平方米。已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始,

每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元。

(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f(x)的表达式；

(总开发费用=总建筑费用+购地费用)

(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？

解：（1）由已知，写字楼最下面一层的g建筑费用为：

4000x2000=8000000（元）=800（万元）,

从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：

100x2000=200000（元）=20（万元），

写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列2分

所以函数表达式为：

y=f（x）=800x+N；Dx20+9000=10/+790x+9000（xeN*）；.......6分

（2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为：

g（x）=3xi。。。。：皿ea....................io分

2000xx

=50|x+—+791^50x（27900+79）=6950（元）................12分

当且仅当》=拜，即x=30时等号成立.

X

答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低........14分

解析几何型

16、在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门（该

图为轴对称图形），其中矩形的三边Z3、BC、由长6分米的材料弯折而

成，8c边的长为2/分米（14/4二）；曲线40。拟从以下两种曲线中选择一种：曲线

2

G是一段余弦曲线（在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为y=cosx-1）,此时

记门的最高点。到8c边的距离为似/）；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离

9

为一，此时记门的最高点O到BC边的距离为饱«）.

8

（1）试分别求出函数％«）、（⑴的表达式;

（2）要使得点O到8C边的距离最大,应选用哪一种

曲线?此时,最大值是多少？

第16题

解：（1）对于曲线G，因为曲线20。的解析式为y=cosx—l,所以点D的坐标为

（z,cos/-l）......2分

所以点。到的距离为1—cos/,而

3

则h]（/）=（3-/）+（1—coscosZ+4（1<Z<—）.......................4分

o4

对于曲线。2,因为抛物线的方程为丁=-即丁=-§》2,所以点D的坐标为

4,

（/,--/2）...........2分

4

所以点。到的距离为一/，而48=。。=3-九所以

9

"⑺=J4.27+3（Iw_13）...................7分

⑵因为〃:⑺=—1+sin/<0,所以//,（/）在[1,1]上单调递减,所以当/=1时，九⑺取

得最大值为3—cos1......................9分

又用（。=工（/一3）2+二，而所以当/=±时，"⑺取得最大值为士…11分

9816222

因为cos1>cos工=