高中数学新人教A版选修数学：第三章《空间向量与立体几何》 同步练习二

空间向量与立体几何

一选择题：

1.下列说法中正确的是（B）

A.若|£I=IBI,则入B的长度相同，方向相反或相同；

B.若々与5是相反向量，则IZI=IBI；

C.空间向量的减法满足结合律；

D.在四边形ABCD中，一定有赤+而=/.

2.已知向量2,1是两个非零向量，7,图是与2,至同方向的单位向量，那么下列

各式正确的是（D）

A.=b«B.=b«或&——b,

=

C.=1D.I<J（）I|boI

3.在四边形ABCD中，若恁=而+而，则四边形是（D）

A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形

4.下列说法正确的是（D）

A.零向量没有方向

B.空间向量不可以平行移动

C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D.同向且等长的有向线段表示同一向量

5.以下四个命题中正确的是（C）

A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B.若｛才，K，不｝为空间向量的-组基底，则｛4+甘，6+丁，丁-4｝构成空间向量

的另一组基底

C.AABC为直角三角形的充要条件为地•AC=O

D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

6.在平行六面体ABCD—ABCD中，与向量确।模相等的向量有（C）

A.7个B.3个C.5个D.6个

7.如图所示，在正方体ABCD—ABCD中，下歹!］各式中运算结果为向量运।的是

（D）

①（通+前）+比1；②（AI+G）+就1；

③（硅+国）+前I；@（AA,+O（）+B?Ci.

A.①③B.②④C.③④D.①②③④

8.对于向量入b.工和实数人，下列命题中的真命题是（B）

A若々•至=0,则"=0或石=0B若入£=0,则入=0或々=0

C若二=尸，则或Z=­B口若£•b—a,c,贝="

9.P为正六边形ABCDEF外一点，0为ABCDEF的中心则PA+PB+PC+PD+PE+PF等

于（C）

A.POB.3P0C.6P0D.6

10.下列说法正确的是（A）

A.£与非零向量尾共线，5与工共线,则£与工共线

B.任意两个相等向量不一定共线

C.任意两个共线向量相等

D.若向量£与B共线，贝〃

11.将边长为1的正方形ABCD沿角线BD折成直二面角，若点P满足郎-嬴-^BC

+则

B,DRP

3

2

A.2-

12.已知平行六面体4BCD-4ECD,M是AC与BD交点，若丽=£,而=瓦莉=Z,

则与8'M相等的向量是（A）

A.~—a+—b-c;B.—a+-b-c;C.-a--b+c;D.--a-—b+c.

22222222

13.下列等式中,使M,A,B,C四点共面的个数是（B）

①OM=OA-OB-OC;②OM=-OA+-OB+-OC;③MA+MB+MC=O;©

532

OM+OA+OB+OC=G.

A.1B.2C.3D.4

14.在下列命题中：①若入B共线，则入分所在的直线平行；②若入B所在的

直线是异面直线，则入B一定不共面；③若2、3、2三向量两两共面，则入B、

c三向量一定也共面；④已知三向量a、hc,则空间任意一个向量p总可以唯

一表示为万=x£+yA+zZ.其中正确命题的个数为（A）.

A.0B.1C.2D.3

15.下列命题中：

①若£・B=0,则九B中至少一个为6

一

一

一

若

6•贝H

人

QII。U=C

(4)(3a+2b)•(3a-2b)=9p|一明

正确有个数为(B)

A.0个B.1个C.2个D.3个

16.已知I和l是两个单位向量，夹角为（，则下面向量中与2最-1垂直的是

（C）

A.G+e2B.4-e2C.elD.e2

17.若a=（4，&M3）,b=（4也也），则幺="=幺是力力的（A）

伉瓦久

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不不要条件

18已知4（1,0,0）,8（0,-1,1）,函+2而与丽的夹角为120°,则4的值为（C）

A.士如B.如C.-近D.±76

666

19.若a=（x,2,0）,各=（3,2-x,x）,且a》的夹角为钝角，则x的取值范围是（A）

A.x<-4B.-4<x<0

C.0<x<4D.x>4

20.已知a=（l,2,-y）,S=（x,l,2）,且0+21）//（2々-历,则（B）

A.x=—,y=1B.x=—,y=-4C.x=2,y=—■-D.

324

x=l,y=-\

21.已知两非零向量a,e2不共线，设a=入ei+ue?（入、UGR且入'+U''WO）,

则（D）

A.a//eiB.a//e2C.a与e”e?共面D.以上三种情况均有可能

22正方体ABCD-A'B'CD'中，向量A声与B可的夹角是（C）A.30°

B.45°C.60°D.90°

23设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足AE•AC,=O,AC-4甘=0,A!T-A17

=0,则△BCD是（B）

A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定

24.平行六面体ABCD—AECD中，AB=1,AD=2,AA,=3,NBAD=90°,ZBAA,

=ZDAA1=60°,则AC的长为（D）

A.V13B.V43C.V330.^23

25.已知a=（2,—1,3）,b=（—1,4,—2）,c=（7,5,人），若a>b、c

三向量共面，则实数入二（D）

62636465

AA.—iDj.—Ur.—Un.—

7777

26若a、b均为非零向量，则a/=lalSI是a与b共线的（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

27.已知aABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,—3,7),C(0,5,1),则BC

边上的中线长为(B)

A.2B.3C.4D.5

28已知a+9+c=6,a|=2,|b=3,1c|=V19，则向量a与1之间的夹角＜a,b＞

为(C)

A.30°B.45°C.60°D.以上都不对

29.已知2=(1,1,0)石=(-1,0,2),且U+刃与左一刃互相垂直，则上的值是(D)

A..1B.iC.-D.-

555

30.若A(x,5—x,2x—1),B(l,x+2,2—x),当,回取最小值时，x的值等于(C)

Q19

A.19B.--D.

7714

31.空间四边形CM6C中，OB=OC,ZAOB^ZAOC^-,则cos〈04,8C＞的值

是(D)

A.-B.—C.--D.0

222

32.已知双=(1,2,3),而=(2,1,2),丽=(1,1,2),点Q在直线OP上运动，则当逅•丽

取得最小值时点Q的坐标为

（C）

⑷,U（B）（；，粉⑹弓抖

二填空题:

33.已知A8CO,顶点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)则顶点D的坐标为.(1,-1,2)

34.RtABC中，，NBAC=90°,A(2,1,1),B(1,1,2),C(X,0,1WJX=2

35已知A(3,5,-7),Bb2,4,3),则AB在坐标平面yoz上的射影的长度为___

36已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+c|等于./

37已知0是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且

0A=2xB0+3yC0+4zD0,

贝I」2x+3y+4z=___1

38.已知A,B,C三点共线，则对空间任一点0,存在三个不为0的实数入，m,n,

使人说+m施+n质=0,那么入+m+n的值为.1

39.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，M、N分别为BC、PD的中点,

且满足MN=*疵+yXD+z序则实数x,y,z的值分别为

40.在空间四边形ABCD中，AE•CE+B了•AlT+cT•BE=0?

41.已知|a|=3*,b|=4,a与b的夹角为135°,m=a+b,n=a+Xb,则m

11

J_n,则mI入=—

o

42.若向量2=(4,2,-4),3=(6,—3,2),则(22-3励(。+2垃=。

118

43若向量彳=2：-7+53=47+9]+1,，则这两个向量的位置关系是o

alb

44.已知向量)=(2,—1,3),B=(Y,2,X),若1贝ijx=万；若则

O

x=_____-6

45.已知向量彳=/3+5/=3i+j+双，若3〃b则实数用=15,

1

r=----5w。

1955

46.若40,2,—),5(1-1,-),C(-2,1,二)是平面a内的三点，设平面a的法向量

888

2=(x,y,z)，贝Ux:y：z=-2：(-3):4。

47已知关于x的方程j?-(f-2)x+/2+3/+5=0有两个实根，"=£+届，且

£=(-1,1,3)石=(1,0,-2),

4

当土=时，"的模取得最大值

48.已知矩形A8CO中，AB=l,BC=a(a>O),PAmAC,且PA=1,骷边

上存在一点Q,使得PQ1QD,则a的取值范围是。aw[2,+

°°)

49在正方体ABCD-ABCD中，点P在侧面BCC,B,及其边界上运动,并总保持API

BL则动点P的轨迹为(A)

A.线段B.C

B.线段BC,

C.线段B,B的中点与CG的中点连线段

D.线段BC的中点与B£的中点连线段

解答题

50.如图，直三棱柱ABC—AtBiCi的底面三角形ABC中，CA=CB=1,ZBCA=90°,棱AAi=2,M、

N分别是AiBi、AiA的中点。

(1)求BN的长；(2)求cos<BA”CB|>的值。

解：以c为原点建立如图空间直角坐标系，

(1)B(0,1,0),N(1,0,1),

.--I丽1=7(1-o)2+(0-1)2+(1-0)2=V3

(2)A(l,0,2),C(0,0,0),B](0,l,2)

AIBAt1=V6,lCBt\=45,

且就•西=(l,0,2),(0,l,2)=3,C°s<BA],CB]>=^^=喘。

51如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,M是棱AA1的中点，点。是对角线BD】的

中点。

(1)求证：BDjlAC；

(2)求证：OM是异面直线AAi与BDi的公垂线。

证明：以D为原点，DC、DA、DDi所在的直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直

角坐标系，则D(0,0,0),C(l,0,0),B(l,l,0),D1(0,0,l),M(0,l,

(1)SO,=(-1-1,1),AC=(1-1,0)

5D^AC=(-l)xl+(-l)x(-l)+lx0=0,

西1AC,即BDj±ACo

(2)OM=(一丸表0),有=(0Q1),西=(-1-1,1)，

因为。M-AA]=0,OM-BDX=0,所以。M_LAA”OM±BDi,

即0M是异面直线AAi与BDi的公垂线。

52如图，在正方体ABCD—AiBQDi中，M、N分别是棱A隹i、AQI的中点，E、F分别是棱B©、

CiDi的中点。

求证：(1)E、F、B、D四点共面；

(2)平面AMN〃平面BDFE。

证明：以D为原点，DC、DA、DDi所在的直线分别

为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系。

设正方体棱长为1,则

A(l,0,0),M(l,f4),N©,0,1),E(”l),F(0,j,l)

⑴EF=(-1-1,0),DB=(1,1,0)

X

:.DB=-2EF,即E、F、B、D四点共面。

(2)而=(06,1),砺=(-1MA=(0,-1-1)

设7=(x,y,z)是平面BDFE的一个法向量，贝ij

竺==2'可取％=(2,-2,1)是平面BDFE的一个法向量。

[n-£F=0[y=-2z

易验证，n-MN=n-MA=Q,.'.nlMN,n1MA。

即1=(2,—2,l)也是平面AMN的一个法向量，.•・平面AMN〃平面BDFE。

53在棱长为1的正方体ABCD-ABCR中，M,N分别是和BB)的中点,求直线AM

与CN所成夹角的余弦值。

解法「•.•丽7=福+丽■，丽=丽+丽

.♦.赤•丽=(涵+丽).(而+丽)=福・丽=；

而IAM1=J(病+丽j•(福+丽，=J丽产+1而=当

1

-2

同理可得I丽1=正，如令a为所求的角，则cosa=府•丽2

-=

55-

2\AM\\CN\

4-

2

即直线AM与CN所成夹角的余弦值为一.

5

解法二:以D点为坐标原点，分别以DA,DC,DD、的方向向量为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如

22

2

即直线AM与CN所成夹角的余弦值为一.

5

54已知矩形ABCD中，AB=近,AD=1,将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射

影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点。

(I)求证：DA_L平面ABC;

(II)求点C到平面ABD的距离;

(III)求二面角G—FC—E余弦值的大小。

解：如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C,平面BDC方向向上的法向量

为Z轴建立空间直角坐标系。

则C(0,0,0),A(0,,),B(1,010)>D(0,

2---2

।y2逑,也),GJ

—V2,0),E(一，-------,0),F(0,

22442

V2V2、

-------,------)

44

(I)证明：

y

'：DA=(0,―,—),BA=(-1,--,—),CB=(1,0,

2222

——>I]—>—>

且DA8A=0——+—=0,D4CB=0+0+0=0,BA^\CB=B

22

・・・DA_L平面ABC

(II)M：设点C到平面ABD的距离为d

T叵猴