集合的概念与表示+高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版高中数学高一上学期必修第一册第一章第一节1.1集合的概念与表示1.在初中代数里学习数的分类时，学习过“自然数的集合”，“负数的集合”，“整数的集合”，“有理数的集合”等；2.在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集；3.在初中几何中学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。在初中，我们学习过一部分集合，回想一下我们学习过哪些集合？“集合”一词与我们生活哪些词语相近？“一群”“一类”“所有”“全体”同学们，你们知道集合是怎么来的吗？

研究集合的理论在现代数学中被称为集合论.它不仅是数学的一个基本分支，占据着极其独特的地位，而且基本概念已经渗透到所有领域.如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么集合论正是构成这座大厦的基石.集合论的创始人康托尔被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一。

康托尔是德国数学家，出生于圣彼得堡，自幼对数学有浓厚的兴趣，他22岁时获得博士学位，以后一直从事于数学教学与研究，康托尔于1873年提出集合论思想。同学们，让我们一起进一步了解一下数学家康托尔的生平事迹。文化视窗初中接触过哪些集合？举出实例看一看想一想1.在初中代数中，学习数的分类，学习过自然数集2.

不等式x-7<3的解集3.到一个定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合叫圆这些集合的含义是什么呢？看一看想一想自然数集，由全体自然数构成，自然数集中的每一个对象都是自然数，自然数集中没有非自然数，自然数集的特点是全体对象都是自然数。满足不等式x-7<3的所有的实数x的值组成的集合，为x-7<3的解的集合，该解集中的每一个对象都是使不等式成立的实数x的值，该解集的特点是，将集合中每一个对象实数x的值，代入不等式x-7<3都成立。圆是满足到一个定点O的距离等于定长r的点组成的集合，该集合中的每一个对象是满足到定点O的距离定值r的点。该集合的特点是集合中每一个对象到定点O的距离都等于定值r。你能归纳集合的概念吗？看一看想一想一般的，我们把指定的某些对象全体称为集合，常用大写字母A,B,C…来表示.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，常用小写字母a,b,c，…表示。对象都含有相同的特点，或明确的标准，不能模棱两可思考与交流看一看想一想“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？提示：“高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么，是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象．因此，它们都不能构成集合．看一看想一想例(1)所有平行四边形的集合；记作集合A(2)所有小于10的素数组成的集合；记作集合B(3)单词“Hello”的所有英文字母组成的集合；记作集合C对于(1)中的集合A，任意一个平行四边形都是集合A的元素，任意一个三角形不是集合A的元素，不难发现一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了。集合中元素的特性1：确定性看一看想一想例(1)所有平行四边形的集合；记作集合A(2)所有小于10的素数组成的集合；记作集合B(3)单词“Hello”的所有英文字母组成的集合；记作集合C对于(2)中的集合B，2,3,5,7都是集合B中的元素，改变2,3,5,7的顺序，集合B并没有发生改变。给定一个集合，集合中的元素排列的顺序可以不同。集合中元素的特性2：无序性看一看想一想例(1)所有平行四边形的集合；记作集合A(2)所有小于10的素数组成的集合；记作集合B(3)单词“hello”的所有英文字母组成的集合；记作集合C对于(3)中的集合C，集合C中有几个元素？集合中元素的特性3：互异性4个元素，分别是h,e,l,o.一个集合中任何两个元素都不相同，也就是说，集合中没有重复的元素。看一看想一想如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，

如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，集合与元素的关系

看一看想一想常用数集及其记法(1)

自然数集:全体非负整数组成的集合.记作N

(2)正整数集:全体正整数组成的集合.记作N*或N+

(3)整数集:全体整数组成的集合.记作Z(4)有理数集:全体有理数组成的集合.记作Q(5)实数集:全体实数组成的集合.记作R

想一想练一练判断下列元素与集合的关系(1)0N(2)-3Z(3)0.618Q

(4)Z(5)

Q

Q

R

R

想一想练一练集合的表示方法------列举法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素间用逗号分开，写在大括号内。

例如：（1）中国四大直辖市组成的集合；{北京市，天津市，重庆市，上海市}

{-3，7}注：a与{a}不同!a表示一个元素，{a}表示一个单元素集.想一想练一练集合的表示方法------描述法(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合。一般格式：{x及x的范围|x满足条件P}例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：

{x|x是直角三角形}（2）第二象限的点所组成的集合可以表示为：

{x

|

x

-3>2}中竖线左边是数，所以是数集

想一想练一练如何选择合适的表示方法？何时用列举法？何时用描述法？1.有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.2.有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法.例如：集合{1000以内的质数}

注：在具体问题中，应根据实际需要选择适当的方法来表示。想一想练一练集合的表示方法

练习2用描述法表示下列集合（1）小于10的所有有理数组成的集合A;（2）所有奇数组成的集合B.

想一想练一练集合的分类（按元素个数）（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合例如：从1到1000的所有整数组成的集合，是有限集.例如：所有正奇数组