高中数学选修22人教版练习第一章1.4生活中的优生问题举例

第一章导数及其应用1.4生活中的优生问题举例A级基础巩固一、选择题1．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝4时面积的变化率是()A．8B．12C．8πD．12π解析：因为S′＝2πr，所以S′(4)＝2π·4＝8π.答案：C2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为()A．2B．4C．8D．以上都不对解析：设矩形的长为x，则宽为eq\f(8－2x,2)＝4－x，所以矩形面积为S＝x(4－x)＝－x2＋4x，所以S′＝－2x＋4，令S′＝0，得x＝2，所以矩形的最大面积为S＝2(4－2)＝4.答案：B3．某出版社出版一读物，一页纸上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为()A．左右长12cm，上下长18cmB．左右长12cm，上下长19cmC．左右长11cm，上下长18cmD．左右长13cm，上下长17cm解析：设所印文字区域的左右长为xcm，则上下长为eq\f(150,x)cm，所以纸张的左右长为(x＋2)cm，上下长为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))cm，所以纸张的面积S＝(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))＝3x＋eq\f(300,x)＋156.所以S′＝3－eq\f(300,x2)，令S′＝0，解得x＝10.当x>10时，S单调递增；当0<x<10时，S单调递减．所以当x＝10时，Smin＝216(cm2)，此时纸张的左右长为12cm，上下长为18cm.故当纸张的边长分别为12cm，18cm时最节约．答案：A4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A．150B．200C．250D．300解析：由题意得，总利润P(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,70090－100x，x>390，))令P′(x)＝0，得x＝300，经检验当x＝300时总利润最大，故选D.答案：D5．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为A.eq\f(\r(3),3)cm B.eq\f(10\r(3),3)cmC.eq\f(16\r(3),3)cm D.eq\f(20\r(3),3)cm解析：设圆锥的高为x，则底面半径为eq\r(202－x2)，其体积为V＝eq\f(1,3)πx(400－x2)，0<x<20，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝eq\f(20\r(3),3).当0<x<eq\f(20\r(3),3)时，V′＞0；当eq\f(20\r(3),3)<x<20时，V′<0，所以当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取最大值．答案：D二、填空题6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．解析：由题设知y′＝x2－39x－40，令y′>0，解得x>40或x<－1，故函数y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)在[40，＋∞]上递增，在(0，40)上递减．所以当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.答案：407．做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝eq\f(27,R2)，要使用料最省，只需使圆柱表面积最小，因为S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋πeq\f(54,R)(R>0)，所以S表′(R)＝2πR－eq\f(54π,R2)，令S表′(R)＝0，得R＝3，所以当R＝3时，S表最小．答案：38．某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x＝________．解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝eq\f(400,x)，所以总运费与总存储费之和(单位：万元)f(x)＝4n＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x，f′(x)＝4－eq\f(1600,x2)，令f′(x)＝0，解得x＝20(－20舍去)，当0<x<20时，f′(x)<0，当20<x≤400时，f′(x)>0.所以x＝20是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，故当x＝20时，运费与总存储费之和最小．答案：20三、解答题9.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站解：设C点距D点xkm，则AC＝50－x(km)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402)(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0<x<50)．y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402)).令y′＝0，解得x＝30.在(0，50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20km处，10.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图)．问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时解：设OO1为xm(1＜x＜4)，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为eq\r(32－（x－1）2)＝eq\r(82＋2x－x2)(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，所以帐篷的体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x－1）＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)(m3)，求导数，得V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.当1<x<2时，V′＞0；当2<x<4时，V′<0.所以当x＝2时，V最大．即当OO1为2m时，B级能力提升1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋eq\f(71,3)，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．3万件B．1万件C．2万件D．7万件解析：因为x>0，y′＝－x2＋4＝(2－x)(2＋x)，令y′＝0，解得x＝2，所以x∈(0，2)时，y′>0，x∈(2，＋∞)时，y′<0，y先增后减．所以x＝2时函数取最大值．答案：C2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________解析：设轮船的速度为xkm/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．因为6＝k×103，所以k＝eq\f(3,500)，所以Q＝eq\f(3,500)x3.所以行驶每千米的费用总和为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x)(x>0)．所以y′＝eq\f(3,250)x－eq\f(96,x2).令y′＝0，解得x＝20.因为当x∈(0，20)时，y′<0，此时函数单调递减；当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，所以当x＝20时，y取得最小值，即此轮船以20km/h的速度行驶时，答案：203．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解：(1)因为x＝4时，y＝21，代入关系式y＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)＝(x－2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4（x－6）2))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，从而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)，且在eq\b\lc\(\rc\