-4.3相似多边形课件　　北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似3相似多边形数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01课前预习1.相似多边形的相关定义.（1）各角分别

、各边

⁠的两个多边形叫做相

似多边形.用符号“

”表示，该符号读作“

”.注意：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在

对应的位置上.（2）相似多边形

叫做相似比.2.相似多边形的性质.相似多边形对应角

，对应边

，对应边的比

都等于

⁠.相等

成比例

∽

相似于

对应边的比

相等

成比例

相似比

数学九年级上册BS版02典例讲练

（1）下列命题中，正确的是（

B

）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的等边三角形都相似C.所有的菱形都相似D.所有的矩形都相似B【思路导航】根据相似多边形的定义，从角和边分别进行判定.【解析】A.等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确

定，所以A选项错误；B.由于所有的等边三角形的各角都是

60°，三边相等，所以任意两个等边三角形三边的比都相等，选

项B正确；C.由于菱形的角不能确定，所以所有的菱形不一定

相似，选项C错误；D.由于矩形的四条边不能确定，所以所有

的矩形不一定相似，选项D错误.故选B.【点拨】（1）两个多边形相似，必须同时满足：①各角分别相

等；②各边成比例.两个条件缺一不可.（2）常见的相似多边形

有：等腰直角三角形、等边三角形、正方形、正多边形等.（2）如图，已知四边形

ABCD

∽四边形

EFGH

，求∠α，∠β

的

大小和

EH

的长度.【思路导航】利用相似多边形的性质分别计算角和边.解：∵四边形

ABCD

∽四边形

EFGH

，∴∠α＝∠

C

＝83°，∠

A

＝∠

E

＝118°.在四边形

ABCD

中，∠β＝360°－83°－78°－118°＝81°.∵四边形

ABCD

∽四边形

EFGH

，∴

AD

∶

EH

＝

AB

∶

EF

，即21∶

x

＝18∶24.解得

x

＝28.∴

EH

＝28cm.【点拨】相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

1.下列说法正确的是（

C

）A.任意两个直角三角形相似B.任意两个梯形相似C.任意两个等腰直角三角形相似D.任意两个平行四边形相似C2.已知两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm，其中一

个多边形的最短边为5cm，则另一个多边形的最短边为

⁠

⁠.2.5cm

或10cm

如图，已知矩形

ABCD

的长

AB

＝30，宽

BC

＝20.（1）如图1，若沿矩形

ABCD

四周有宽为1的环形区域，图中所

形成的矩形

ABCD

与矩形

A

'

B

'

C

'

D

'相似吗？请说明理由.图1（2）如图2，当

x

为多少时，图中的矩形

ABCD

与矩形

A

'

B

'

C

'

D

'相似？

图2【思路导航】（1）两个矩形的角都相等（均为90°），只需要

判断它们的边是否成比例即可；（2）要使这两个矩形相似，它

们的边就要成比例，这两个矩形相似有两种情况，分别列比例

解答即可.

图1

解得

x

＝1.5或

x

＝9.∴当

x

＝1.5或

x

＝9时，矩形

ABCD

与矩形

A

'

B

'

C

'

D

'相似.图2【点拨】要使多边形相似，既要看角，又要看边.一般地，根据

对应边成比例，我们可以列比例解答.同时需要注意，若题干中

未明确给出矩形

ABCD

∽矩形

A

'

B

'

C

'

D

'，则存在两种情况：矩

形

ABCD

∽矩形

A

'

B

'

C

'

D

'或矩形

ABCD

∽矩形

B

'

C

'

D

'

A

'，它们

的对应边不同.

1.如图，已知左边格点图中有一个四边形

ABCD

，请在右边的

格点图中画一个与该四边形相似的四边形

A

'

B

'

C

'

D

'.解：如图所示.（答案不唯一）2.如图，已知点

G

是正方形

ABCD

的对角线

AC

上一点，作

GE

⊥

AD

，

GF

⊥

AB

，垂足分别为

E

，

F

.

求证：四边形

AFGE

与四

边形

ABCD

相似.

图1（1）求矩形

ODEF

的面积；（2）如图2，将图1中的矩形

ODEF

绕点

O

逆时针旋转一周，连

接

EC

，

EA

，

AC

，求旋转过程中△

ACE

面积的最小值.图2【思路导航】（1）根据相似多边形的性质求出

OD

和

DE

的

长，即可得到小矩形的面积；（2）

AC

长是一个定值，求出点

E

到

AC

的距离的最小值即可求出△

ACE

的面积的最小值.

图1

图2

图2【点拨】本题考查相似多边形的性质、矩形的性质、勾股定

理，理解点

E

在点

O

到

AC

的垂线段上时

AC

边上的高取最小值

是解本题的关键.

（1）求证：

EB

＝

GD

；（1）证明：∵菱形

AEFG

∽菱形

ABCD

，∴∠

EAG

＝∠

BAD

.

∴∠

EAG

＋∠

GAB

＝∠

BAD

＋∠

GAB

.

∴∠

EAB

＝∠

GAD

.

又∵四边形

ABCD

和四边形

AEFG

都是