数学竞赛辅导：立体几何解题的基本策略

高二数学竞赛辅导立体几何解题的基本策略一、点、线、面间关系的转化

立体几何的知识告诉我们，最核心的内容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又通过判定定理、性质定理而相互转化。定理的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与转化。

点面点点——点线————————线面——面面线线例1

(如图)二面角α—AB—β的平面角为300，在β上作AD⊥AB，AD=10，过D作CD⊥α于D,若∠ACB=600，求AC与BD的距离。解作BE∥AC，CE∥AB,连EC,ED，则AC∥面BCE，直线AC到面BDE的距离就是AC到BD的距离.这时，AC上任一点到面BDE的距离就是所求.

CBEAHDβα由DC⊥α知，DC⊥AC;又AD⊥

AB，根据三垂线定理，AC⊥

AB.但AB∥AC,故AC⊥

CE.从而AC⊥

面CDE。又BE∥AC

,得BE⊥

面CDE,进而面BDE⊥面CDE，在Rt∆CDE上作高CH，由Rt∆ACD中,∠CAD=300为二面角的平面角.AD=10,得AC=5,CD=5;又在Rt∆ABC中，∠ACB=600,有CE=AB=AC=15,最后在Rt∆ACD中，由CE=AB=15,得DE=5,从而CH==

三个步骤:一、线线距离转化为线面距离ABCDEH二、再转化为点面距离三、计算距离解法二

用体积法计算VD-BCE=VC-BDE.解法三

外接于一个长方体用补形的方法解决CEBADH二、

平面化的思考在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样选取平面呢?有以下几个主要方法1、

截面法2、隔离法3、展平法4、投影法例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设∆C1D1B所在的半平面为α

，∆CD1B所在的半平面为β，BD1

所在的直线是α与β

的交线。求二面角α—BD1

—β

的度数ABCDA1B1C1D1MN因为二面角的平面角的度数是由相应平面角的来表示的，所以解题的一个方向是找平面角。分析解在平面ABC1D1

上，由点A向BD1

引垂线，与BD1交于M,与BC1

交于N，连CM，由于正方体关于面BB1D1D的对称性，必有CM⊥BD1，因此，∠

NMC就是二面角的平面设正方体的棱长为，则AC2=CD12=2a2

，AM2=MC2=a2,在∆

AMC中，由余弦定理得∠

AMC=1200

，从而∠

MAC=600

，即二面角α—BD1—β

的度数为600。MCDABNABCDMN例5、若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点连线垂直对角线。三、图形变换证明如图，空间四边形ABCD中，M,N是对角AC,BD的中点，现将A与C交换,B与D交换，得到同一位置的空间四边形，而这个四边形又可看作一个绕着某一轴（轴对称）旋转1800得到另一个，由A与C关M于对称，B与D关于N对称知，对称轴必经过MN，从MN⊥AC，MN⊥BD。

ABCDMMCDABN证明2、将∆ACD绕AC展平到面ACD上，得ABCD，则BD与AC相交与M，BM=MD。再将图形复原，由BM=MD，BN=ND知MN是等腰三角形∆MBD底边上的高，有MN⊥BD。同理MN⊥AC。DCBANM

图形变换包括1、空间的对称2、空间的旋转3、空间的折叠4、空间的展平

直观上补充成为长方体，则MN是上下底面中心的连线，它与上下底面都垂直，当然是同时垂直于AC,BD.C1C1CAABCDDB1D1例4、如图，已知给一个长方体，其共顶点的3条棱互不相等，现在要由一顶点沿表面到对角顶点，求最短的线路。ABDCA1B1C1D1分析：将长方体各面展于同一平面上（可省去底面ABCD）由两点间距离最短知，有三条相对短的走法，设三条共点棱长为AB=a,AD=b，AA1=c，且由勾股定理可算得AFC1最短。FF四、体积法用两种方法计算同一体积，从而得出未知数的等量关系，这是平面几何的面积法的直接推广，用这种方法求点到平面的距离时，可免去找距离线段或论证垂直关系的推理过程，在种方法多用于四面体和长方体，因为它们对底面的选择有很大的自由度，可以方便地“换底”例5如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB,AD的中点，CG垂直于ABCD所在的平面，且CG=2，求B点到平面GEF的距离。EFCABDGEFABCDGH解连BF，BG,有=2记H为AC与EF的交点，由CG为平面AC的垂线，AC⊥EF知，CH⊥EF,且由，知，根据等积关系，有得到B到平面GEF的距离是.五、基本图形法立体几何中的基本图形是正方体，熟练掌握正方体的基本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方体，“能割善补”是学习立体几何的诀窍。例6

有三个边长为的正方形，分别将每一个正方形的一个角按两邻边中点连线剪下，按图分别接在边长为a的正六边形各边上，然后沿正六边形各边将其余部分折起，如图，求所成立体图形的体积。PPPHHHKKKGGGABCDEFGKFEDCBAPH解法一

（分割）将立体图形分割为一个正六棱锥P—ABCDEF与三个三棱锥P—GAF,P—HBC,P—KDE之和。HPKGABCDEF解法二

（补充）将立体图形补充为一个正方体如图，得V=a3则所求的立体图形体积是正方体体积的一半六、投影法

投影是实现平面化思考的一条途径,同时也是处理更广泛空间问题的一个通法.例7设PP1,QQ1是空间中两条异面直线,A,B,C是直线QQ1上3点,且点B在A,C之间,A1,B1，C1是由A,B,C向直线，PP1所引垂线的垂足,证明BB1max

{AA1,CC1}PQP1Q1OABCA1B1C1A2B2C2证明作平面α

垂直于PP1，则直线PP1在平面α

上的投影为一点，记为O，由AA1⊥

PP1，BB1⊥PP1,CC⊥PP1知,

AA1

∥α,

BB1∥

α,CC1∥α

从而

AA1在α

上的投影OA2=AA1,

BB1在α上的投影OB2=BB1,CC1在α上的投影OC2=CC1且由