福建省福州市九县（市、区）一中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题

2023～2024学年度第二学期九县（区、市）一中期末联考高中一年数学科试卷命题学校：闫清一中 命题教师：高一集备组审校教师：徐杰霞、孙晓丽考试时间：7月5日完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z满足，则为（）．A．16 B．25 C．4 D．52．已知向量，，则（）．A．0 B．1 C． D．3．设m、n是不同的直线，、是不同的平面，则以下列结论中一定正确的是（）．A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4．从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数a，b，则的概率为（）．A． B． C． D．5．《九章算术》中将正四棱台（上、下底面均为正方形）称为“方亭”现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为（）．A． B． C． D．6．函数的大致图象为（）．A．B．C．D．7．如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（）．A． B． C． D．8．在平面四边形ABCD中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）．图1 图2A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已动函数，则（）．A．是偶函数 B．的对称轴是，C．在区间上单调递减 D．的最小值是10．在12张卡片上分别写上数字1～12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为x，甲表示事件“x为偶数”，乙表示事件“x为质数”，丙表示事件“x能被3整除”，丁表示事件“”，则（）．A．甲与丙为互斥事件 B．乙与丁相互独立C．丙与丁相互独立 D．P（甲∩乙）＝P（乙∩丙）11．已知棱长为的正方体中，下列结论中正确的是（）．A．若点P在线段上运动，异面直线AP与所成的角范围为B．若点P在线段上运动，的最小值为C．若将正方体视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为，高为的圆柱体能被整体放入该容器D．若点P在的内部及边界上运动，且，则动点P的轨迹长为第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为__________．13．2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为__________，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为__________．14．在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则的最小值为__________．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求；（2）若，D为BC边的中点，且，求b的值．16．（本小题满分15分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面ABCD，且，M是棱PB上的点．（1）求证：平面平面PAC：（2）若平面ACM，求的值．17．（本小题满分15分）2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节．现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第-组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和笫五组的频率相同．（1）求a，b的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数；（2）已知样本路在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为64和20，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为82和50，求样本中这两组面试成绩的方差；（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．18．（本小题满分17分）如图，直三棱柱中，，，点D是BC中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值．19．（本小题满分17分）已知函数的定义域为D，如果存在区间，使得，则称区间为函数的一个和谐区间．（1）直接写出函数的所有和谐区间；（2）若区间是函数的一个和谐区间，求实数m的值；（3）若函数存在和谐区间，求实数m的取值范围．2023～2024学年度第二学期九县（区、市）一中（高中）期末联考高一年级（数学）评分细则一、单项选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案DABBCDAA二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）题号91011答案ABCCDBCD三、填空题（每小题5分，共15分）12．1813．/0.375（第一空2分，第二空3分） 14．50四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）【答案】（1）； （2）．【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，（2分）即，，（4分）又因为，所以，解得，又因为，所以．（6分）（2）解：因为D为BC边的中点，，所以，设，在中，由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以，（8分）在中，，（9分）在中，，，，由余弦定理可得：，（12分）所以，即．（13分）16．（本小题满分15分）【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：因为，所以，又，所以．（1分）过C作，交AB于点H，连接AC，∵，∴四边形ADCH为正方形，∴，且，∴，∴．∵，∴，∴．（3分）又因为平面ABCD，平面ABCD，所以．（4分）又因为平面PAC，平面PAC，且，所以平面PAC．（6分）（备注：没写，扣1分）又平面PBC，所以平面平面PAC．（8分）（2）连接BD交AC于E点，连接ME．∵平面ACM，平面PBD，平面平面，∴．（11分）（备注：答题卡上无辅助线扣1分）∴．（12分）∵，∴，（14分）∴．（15分）17．（本小题满分15分）【答案】（1），；平均数69.5（2） （3）【详解】（1）由题意可知：，，解得，．（3分）由直方图知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数：．（5分）（2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，，，，且两组频率之比为，（6分）则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，（7分）第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为，故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．（9分）（3）根据分层抽样，和的频率比为，故在和中分别选取4人和1人，分别设为，，，和，（10分）则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：，，，，，，，，，，共10个，即，（12分）记事件“两人来自不同组”，则事件A包含的样本点有，，，，共4个，即，（14分）所以．答：选出的两人来自不同组的概率为．（15分）18．（本小题满分17分）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【详解】解：（1）证明：∵，D是BC中点，∴，（1分）又∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，（3分）又，平面，平面，∴平面．（5分）（备注：没写，扣1分）（2）证明：连接，交于点E，连接DE，（6分）（备注：答题卡上无辅助线扣1分）∵D、E分别是BC、的中点，∴DE是的中位线，∴，（8分）∵平面，平面，∴平面．（10分）（备注：没写平面扣1分）（3）解：连，交于点O，分别取OB、AB中点H、，连接DH、、，∵四边形是正方形且H、分别是OB、AB的中点，故，在中，∵，，∴，∴，（11分）又∵，D分别是AB，BC中点且，∴，又∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，，平面，平面，∴平面，（12分）∵平面，平面，∴，，又∵，，平面，平面，∴平面，（13分）∵平面，∴，又∵平面平面，∴就是二面角的平面角．（14分）设，则在中，，，，（15分）故，（16分）故，即二面角的余弦值为．（17分）（备注：答题卡中没有做出二面角的平面角的辅助线扣1分）19．（本小题满分17分）【答案】（1），，； （2）或2； （3）．【详解】（1）函数是增函数，定义域为R，令，解得或，故函数的所有“和谐区间”为，，．（3分）（备注：每写出1个区间分别给1分）（2）因为，所以，（4分）因为为函数的一个“和谐区间”，所以可令，解得或4，（5分）如图所示，绘出函数图像：结合“和谐区间”的定义易知，当时满足题意，因为，所以当时，，，满足题意，故m的值为4或2．（7分）（3）①当时，在上时单调递减函数，由题意有，得，因为，所以，，（8分）且，即