2024河北中考数学一轮中考考点研究 第七章 图形的变化 第四节 图形的平移与旋转（课件）

第四节图形的平移与旋转

考点精讲1

重难点分层练2

河北近年真题及拓展3定义三大要素性质作图步骤图形的旋转图形的平移定义两大要素性质作图步骤图形的平移与旋转

【对接教材】冀教：七上第二章P85－P87，七下第七章P55－P59；人教：七下第五章P28－P31，九上第二十三章P59－P63；北师：八下第三章P65－P80.考点精讲图形的平移定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移两大要素：平移方向和________性质1.平移前后，对应线段________，对应角________2.各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且_______3.平移前、后的图形________作图步骤1.根据题意，确定平移的方向和距离2．找出原图形的关键点3．按平移方向和距离平移各关键点，得到各关键点的对应点4．按原图形依次连接各关键点的对应点，得到平移后的图形平移距离相等相等相等全等图形的旋转性质定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向转过一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．原图形上一点A旋转后成为点A′，这样的两个点叫做对应点三大要素：旋转中心、________、旋转方向1.对应点到旋转中心的距离_______2.对应点与旋转中心连线所成的角都相等且等于________3.旋转前、后的图形________旋转角度相等全等旋转角度图形的旋转作图步骤1.根据题意，确定旋转中心、旋转方向和旋转角度2.找出原图形的关键点3.连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角度将它们旋转，得到各关键点的对应点4.按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形回顾必备知识重难点分层练一题多设问一、图形的平移例1如图，四边形ABCD为正方形，边长为8，AC为对角线．例1题图(1)如图①，将△ABC沿AC方向平移得到△A′B′C′，当A′为AC的中点时．①△A′B′C′的面积为________，平移距离AA′的长度为________；例1题图①324【解法提示】∵四边形ABCD为正方形，边长为8，∴AB＝BC＝8，AC＝8，∴S△A′B′C′＝

A′B′·B′C′＝

AB·BC＝32，AA′＝

AC＝4.②连接A′D、B′C，四边形A′B′CD的形状是____________；例1题图①【解法提示】由平移的性质可得A′B′∥CD，A′B′＝CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形．平行四边形【解法提示】由平移的性质可得A′B′∥CD，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCA＝45°，∴∠A′EC＝135°.例1题图②(2)如图②，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，A′B′交AC于点E.①∠A′EC的度数为________；135°②若两个三角形重叠部分(图中阴影)的面积为12，则平移距离AA′的长度为________；【解法提示】由题可得阴影部分为平行四边形，AA′＝A′E，A′D＝AD－AA′＝8－AA′，∴AA′(8－AA′)＝12，解得AA′＝2或6.2或6例1题图②③若AA′＝6，则

的值为________．例1题图②【解法提示】∵AD∥B′C′，∴△AA′E∽△CB′E，∵AA′＝6，∴B′C＝B′C′－CC′＝B′C′－AA′＝2.∴

＝

＝

＝

.二、图形的旋转一题多设问例2如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC，将△ABP绕点B顺时针旋转至△CBP′的位置，点A的对应点为点C，点P的对应点为点P′.(1)旋转中心是点______，点P旋转的度数是______度；例2题图B90∴∠APB＋∠BPE＝180°.∵∠APB＝∠CP′B，∴∠CP′B＋∠BPE＝180°.∵∠PBP′＝90°，∴∠PEP′＝360°－∠PBP′－∠CP′B－∠BPE＝90°，∴AP⊥P′C；(2)连接PP′，△BPP′的形状是________三角形；(3)AP与P′C有什么位置关系？并说明理由；例2题图等腰直角(3)垂直；理由：如解图，延长AP交P′C于点E，E(4)若PA＝2，PB＝4.①求△BPP′的周长；例2题图(4)①∵PB＝4，∴PP′＝，∴△BPP′的周长为PB＋P′B＋PP′＝4＋4＋4＝8＋4；②若A，P，P′三点共线，求PC的长．例2题图②∵AP＝P′C＝2，PP′＝4，且由(3)得AP⊥P′C，∴∠PP′C＝90°，∴在Rt△PP′C中，PC＝＝6.提升关键能力例3题图例3如图①，在△ABC

中，AB＝AC＝2，点D、E分别是AB、BC边上的点，BD＝DE＝2.(1)将△DBE绕点B顺时针旋转至如图②所示的位置，连接AD、CE，当∠BAC＝60°时．①求证：AD＝CE；(1)①证明：在△ABC

中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝60°，又∵BD＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴BD＝BE，∴∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE；例3题图②直线AD与直线CE相交所成的锐角的度数是________；例3题图②延长AD与BC交于点M，与CE的延长线交于点P.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，又∵∠AMB＝∠PMC，∴∠CPM＝∠ABC＝60°.60°【解法提示】如解图①，PM(2)将△DBE绕点B顺时针旋转α，当点D恰好落在△ABC外接圆的圆心上时，延长BD交⊙D于点F，连接CD，当∠BAC＝60°时，求劣弧

的长；例3题解图②∵∠BAC＝60°，∴∠BDC＝120°，∴劣弧

的长为

；(2)解：如解图②，在⊙D中，当BD′在线段BC上时，即与BE重合时，CD′有最小值．∵∠BAC＝60°，由(1)得△BDE为等边三角形，∴BD＝BE′＝DD′，由旋转的性质可知：BE＝BE′，DD′＝D′E′，∴四边形BDD′E′为菱形．(3)将△DBE绕点B在平面内自由旋转，当D转动到D′时，CD′有最小值，点E的对应为E′，若∠BAC＝60°，判断此时四边形BDD′E′的形状，并说明理由；例3题解图③BCD'(E)E'(3)解：菱形；理由：如解图③，(4)若∠BAC＝90°时，将△DBE绕点B旋转，当AD所在的直线垂直于BE时，请直接写出AD的长．【解法提示】分两种情况：ⅰ如解图④，例3题解图④∵AB＝AC＝2，BD＝DE＝2，∠BAC＝∠BDE＝90°，∴△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∵AD⊥BE，∴DF＝BF＝

BD＝，在Rt△ABF中，AF＝=，∴AD＝DF＋AF＝＋；在Rt△ABF中，AF＝＝，∴AD＝AF－DF＝－.综上所述，AD的长为＋或－.ⅱ如解图⑤，(4)AD的长为＋或－.

例3题解图⑤体验本地考法练习1如图，△ABC沿AC方向平移得到△A′B′C′，A′B′交BC于点D，若AC＝6，D是BC的中点，则C′C＝________．练习1题图3练习2如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠BCD＝120°，把边BC绕点B逆时针旋转α(0°<α<180°)，得到线段BC′，连接CC′，DC′.(1)求平行线AD与BC之间的距离以及C′D的最小值；练习2题图备用图解：(1)如解图①，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F，连接BD，练习2题图F∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2.∵∠BCD＝120°，∴∠DCF＝60°，∴CF＝1，DF＝，∴平行线AD与BC之间的距离为，∵BF＝BC＋CF＝4＋1＝5，∴由勾股定理得BD＝，∵BC′＝4，∴C′D≥BD－BC′＝

－4，∴C′D的最小值是

－4；ⅰ.当点E1在线段AD上时，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∵∠C′BA＝30°，∴∠AE1B＝180°－120°－30°＝30°，∴∠C′BA＝∠AE1B，∴AE1＝AB＝2；(2)若BC′交直线AD于E，∠C′BA

＝30°，则AE＝________；练习2题解图②【解法提示】如解图②，ⅱ.当点E2在DA延长线上时，∵∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵∠C″BA＝30°，∴∠C″BC＝60°＋30°＝90°，∵AD∥BC，∴∠BE2A＝90°，∴AE2＝

AB＝1.综上所述，AE的值为2或1.练习2题解图②(2)2或1;(3)若CC′⊥DC′于点C′，求cos∠CDC′的值．

练习2题解图③(3)如解图③，过点B作BG⊥CC′于点G，延长BG交CD于点H，过点H作HM⊥BC交BC的延长线于点M，∵BC＝BC′，∴C′G＝CG，∵CC′⊥DC′于点C′，∴DC′∥GH，∴CH＝DH，∴GH＝

DC′.∵∠HCM＝60°，CH＝1，∴CM＝

，HM＝

，∵BM＝BC＋CM＝

，∴BH＝，∵∠GBC＝∠MBH，∠BGC＝∠BMH，∴△BGC∽△BMH，∴

，∴BG＝

，∴GH＝

，∴DC′＝

，∴cos∠CDC′＝

＝

.练习2题解图③河北近年真题及拓展1命题点与旋转有关的证明及计算(10年7考)1.对于题目：“如图①，平面上，正方形内有一长为12，宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形