高中数学-函数的最值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

函数的最大（小）值与导数

本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A

版）数学选修2-2第一章第三节的《导数的应用》，《函数的最大（小）

值与导数》是第3课时.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模

型.变化规律可用函数性质来描述.导数方法是研究函数性质的通

法.本节主要包括三方面内容：一是利用导数研究函数的单调性；二

是利用导数研究函数的极值；三是利用导数研究函数的最值.

教学内容分析

这节课的内容是在学习了函数的极值与导数的基础上学习函数

的最大（小）值与导数，所以需要注意极值与最值的关系，并根据极

值和最值的关系来推导最值的存在和最值的求法。

学法分析：

学生在学了极值与导数的基础上，知道了利用导数求函数在局

部的最值（极值），现在将函数的范围扩宽，来学习函数在某个闭区

间上的最大（小）值。学生可以类比利用导数求极值的方法和极值与

最值的关系来学习利用导数求最值。

教学目标：

知识与技能：

1、使学生理解函数的最大值和最小值的概念；

2、使学生掌握用导数求函数的最值的方法和步骤；

过程与方法：

学会应用导数判断函数的单调性及最值，分析函数图象;

情感与态度：

培养学生类比推理的思维能力。

教学重点：

利用导数求函数的最大值和最小值的方法.

教学难点：

函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的关系.

教学方法：

类比+探究式教学

教学工具：

多媒体辅助教学+常规工具

教学过程

教教师活动学生活教学评价

学动

环

不

温提问1:请同学们回顾极值的定义？及利用导思考回让同学们

故数求极值的解题步骤？答：复习极值

知和求解的

新方法，为

下面学习

最值和求

解方法做

好准备。

探用多媒体展示图形，观察图让学生直

究形并回观感受函

新y答问数的极值

知题。(可和最值的

111

•111

'111

•111能出现关系。从

•1I1

।!;।)

a/4/x4A;54b

的错误而引出下

答案：面的讨

学生可论。

能会把

问题1：连续函数y=1F(x)在(a,b)上一定有最

极大值

值吗？

点

问题2：观察如图彳主闭区间口,”上的函数

%］9X?,

y=/(x)的图象，你育豺戈出它的极大值，极小

值吗？

作为极

问题3：你能找出彳主闭区间［a,U上的函数

大值的

>=/(%)的最大值，|良小值吗？

结果，

老师要

及时纠

正。)

和同学们一起讨论：在闭区间［。,以函数/(%)讨论最培养学生

的“最值”与“极值”的关系值和极思维能力

引导学生归纳结果，并将最值与极值的关系准值的关及通过讨

确的表示出来。系并得论思考形

①、“最值”是整体概念；而“极值”是个局到一定成概念。

部概念.的结

申

②、从个数上看，一个函数在给定的闭区间O

[a,H上的最值是唯一的；而极值可能有多个，

也可能只有一个，还可能一个都没有；

③、在极值点工。处的导数/6。)=0,而最值点

不一定，最值有可能在极值点取得，也可能在

端点处取得。

3、探究：通过观通过问题

察回答引导学

问题，生，让学

■/下a/归/4b〜思考函生观察图

k

数最值形总结规

(2)

(3)

的存在律。

在图2,图3中观察[a，U上的函数》=/(无)图

性

它们在口㈤上有最大值，最小值吗？

有分别是什么？如果在开区间㈤上

如果

呢？

4、总结规律：学生总总结规

一般地，如果在闭区间口㈤上函数y=f(x)的结并记律，得出

图像是一条连续不断的曲线，那么函数录结结论。

>=/(%)在上必有最大值与最小值.论。

5.归纳方法：通过前培养学生

由上面函数/(X)的图象可以看出，只要把连面的讨总结归纳

续函数所有的极值与定义区间端点的函数值论，得的能力，

进行比较，就可以得出函数的最值了.出最值让学生知

存在的道最值的

位置，一般求解

归纳出方法。

求最值

的方

法。

例例1.求〃x)=+3_4x+4在［0,3］的最大值与最学生思让学生从

题小值.考解题实例中感

巩解：由例4可知，在［0,3］上，当x=2时，方法并受求最值

固/(%)有极小值，并且极小值为/(2)=-g,总结步的方法，

又由于"0)=4,"3)=1骤。形成一种

因此，函数/(x)=+3—八+4在［0,3］的最大值是求解的思

4,最小值是-上路。

3

老师讲解过程并板书解题过程和解题的步骤：

利用导数求函数的最值的步骤：

一般地，求函数/(X)在卜㈤上的最大值与最小

值的步骤如下：

⑴求/（x）在3力）内的极值；

⑵将/（X）的各极值与端点处的函数值/3）、

/（。）比较，其中最大的一个是最大值，最小的

一个是最小值，得出函数/（X）在卜,同上的最值

变学生动培养学生

变式1求函数”X）=L3-4X+4在区间［3,6］

式3手做，动手能

上的最大值与最小值.

练并叫一力，掌握

习位学生最值的一

变式2求函数/（司=；1-4%+4在区间［3,+00）上黑板般解题方

上的最大值与最小值.上来法。

做。

练习1、求函数/（x）=3x-/在区间12,2］的最大

值和最小值

练习2、已知函数/（x）=3x-/,在区间［一2,2］

时有/（x）<m

恒成立，求m的取值范围

例例2、已知函数/(幻=2/_办+3,在xe[-1,1]上学生思检查学生

题是单调增函数，求a的取值范围考，回对本节知

分答问识的掌握

析题，通情况。

例4、已知函数/(x)=x3+ax2++c在过与其

X=1与X=-2他的知

3

处取得极值识相结

(1)求a,b的值的函数f(x)的单调区间合9拓

(2)若对xe[-1,2],不等式f(x)p0?恒成立,展学生

求C的取值范围的思

维。

小1、函数的极值是一个局部概念，而函思考本(1)使学

结数的最值是对整个定义域而言，是节课所生不仅能

作一个整体性的概念学内从知识的

业区已经学过的求函数的最值的一般方容，可角度看所

法：以彼此学过的内

(1)利用函数性质之间交容，还能

(2)利用基本不等式流自己体会到寓

(3)利用导数的小于知识中

布置作业结，回的数学思

31页习题1.3A组6B组1答教师想与方

提问.法.

(2)作

业，是为

了让学生

巩固所学

知识

附、板书设计

学生是高二理科的学生，经过高中一年半的学习，学生的思维能

力、分析能力、理解能力、运算能力都有了较大的提高。在学习本节

之前，学生已经学习了函数的单调性与导数、函数的极值与导数，知

道了利用导数求函数的单调区间、极值。现在将函数的范围扩宽，来

学习函数在某个闭区间上的最大（小）值。学生可以类比利用导数求

极值的方法和极值与最值的关系来学习利用导数求最值

效果分析：

这是一节新授课，学生在学习了利用导数来研究函数的单调性、

求函数的极值的内容后，结合函数的图像来观察函数的最值问题，比

较形象和直观，特别是研究开区间中函数的最值问题，通过图像来观

察学生更容易接受和理解，在闭区间中求函数的最值也让学生观察函

数的图像，分析得出函数的最值从函数的极值和区间的端点之中选取。

通过例题一进行总结求最值的步骤。进而通过变式练习加深学生对于

知识的理解。再通过例题和其他的知识相结合，提升学生的思维能力。

教材分析

本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A

版）数学选修2-2第一章第三节的《导数的应用》，《函数的最大（小）

值与导数》是第3课时。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模

型.变化规律可用函数性质来描述.导数方法是研究函数性质的通

法.本节主要包括三方面内容：一是利用导数研究函数的单调性；二

是利用导数研究函数的极值；三是利用导数研究函数的最值.本节内

容是在学习了函数的极值与导数的基础上学习函数的最大（小）值与

导数，所以需要注意极值与最值的关系，并根据极值和最值的关系来

推导最值的存在和最值的求法。

一、选择题

1.函数尸f(x)在区间［a,6］上的最大值是"，最小值是如若〃=如则/(x)()

A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能

2.设f(必=；/+:/+:/在上的最小值为()

4J/

13

A.0B.-2C.-1D•五

3.函数尸丁+X2-x+i在区间［-2,1］上的最小值为()

22

A.百B.2C.—1D.-4

4.函数f(x)=x2—x+l在区间［-3,0］上的最大、小值为()

3

A.13^~B,1,4C.13,1D.-1,-7

4

5.函数尸、「十q1—x在(0,1)上的最大值为()

A.A/2B.1C.0D.不存在

6函数f(x)=x—4x(|＜1)

()

A.有最大值，无最小值B.有最大值，也有最小值

C.无最大值，有最小值D.既无最大值，也无最小值

7.函数y-27-3/-12x+5在［0,3］上的最大值和最小值分别是

()

A.5,-15B.5,4C.—4,—15I).5,-16

8.已知函数尸一V—2x+3在［a,2］上的最大值为彳,则a等于()

3111-3

A.B.-C,D.］或一万

9.若函数f(x)=f-12x在区间(4-1,衣+1)上不是单调函数，则实数在的取值范围

是()

A.〃＜一3或一反1或A23B.一3＜内一1或1〈旅3

C.-2〈内2D.不存在这样的实数

10.函数/U)=A?+ax-2在区间［1,+8)上是增函数，则实数a的取值范围是()

A.［3,+8)B.［-3,+8)C.(-3,+8)D.(-8,-3)

二、填空题

11.函数尸A|+(1—X)*OWxWl的最小值为.

12.函数/Xx)=5-36x+3f+