高中数学典型例题-棱柱

典型例题一

例1设有四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长都相等的直四棱柱是正方体：

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

分析：命题①是假命题.因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体.底面是矩形，侧

棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；

命题②是假命题.底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体;

命题③是假命题.因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直.

命题④是真命题，如图所示，平行六面体

ABC。-481GA中所有对角线相等，对角面⑸BDQ是

平行四边形，对角线5口=用。，所以四边形用BO?是

矩形，即8片，8。，同理四边形4ACG是矩形，所以

AA.VAC,由A4〃BB,知1底面ABCD,即该平

行六面体是直平行六面体.

故选A.

说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧

棱与底面的位置关系来解题.

下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现

立体几何与平面儿何许多知识是可以进行类比的.见表

表

平行四边形平行六面体

①对边平行且相等①相对的侧面平行且全等

②对角线交于一点，且在这一点互相平分②对角线交于一点且在这一点互相平分

③四条边的平方和等于两条对角线的平方③十二条棱的平方和等于四条对角线的

和平方和

典型例题二

例2如图，正四棱柱A8CZ）-AB|G□中，对角线BQ=8,与侧面8BCC所

成角为30°,求：（1）8。与底血48CO所成角；（2）异面直线与所成角；（3）

正四棱柱的全面积.

分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面

ABCD、44G2是正方形，长方体中有比较多的线面垂直

关系，而线面垂直关系往往是解决立体儿何问题的关键条

件.题中无论是一知线面成角，还是求线面成角，都要把它们

转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系.异面

直线5,与AO所成角通过,落实为具体的

乙4。乃.正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式.

解：（1）在正四棱柱中，•.•26，面88℃,

二NO/G是D、B与侧面BB.C.C所成角，即NO|BG=30°.

BD|=8,RG=4，BC[=4框,

*/-CL是正方形,B£=DjC,=4,

2。，平面ABCD，/.ND&D是D】B与底面ABCD所成角,

在RtZ\QOB中，BD=BR=4桓,BR=8,

D/）B

：.cosZD.BD=——,...ZD,BD=45°,

SD,2

即BQ与底面ABCD所成角为45°.

（2）,:ADHAR,

.•.NAQ8是BA与力。所成角（或补角）.

•••24J_平面44月8,QA1AtB,

中，43=4,6£>|=8,

cosDXB=（,=60,

即异面直线AD与8,所成角为60°.

（3）RtZ\681G中，8c=4,BC[=.

BB[—4-\/2,

S全=2（4x4+4x4拉+4x4&）=32（2及+1）.

说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活

解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件.

典型例题三

例3如图，已知长方体ABCO-A4G，中，棱长AA=5,A3=12,求直线用G与

平面48cA的距离.

分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平

面的垂线，而找平面的垂线的•个很有用的思路是，找平面

内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中

有平面44R4,这样，只要作8罔，A/,又有

B】H1CB,得到ByHJ_平面BCD,A,.

解：长方体AG中，有8C_L平面44啰与，过用作6附，48于〃，又有

BC工B]H,

B]H_L平BCRA,即用〃是"G到平面ABCR的距离.

在中,由已知可得,BBt=5,4g=12,

:.AB=13,AB.H^―.

1113

即B.H是B£到平面A,BCD,的距离为.

说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线

面垂直关系，比如，求正方体AG中，aa与面GBO所成角.这

里，要找4G与G8。所成角，必须找4到平面G5。的垂线，

因为8。_1面44℃,在对角面AG内，过A作A"10G于

H,则所以4"_1面68。，可以得到N4G。为

4G与面GB。所成角，在对角面AACC中可计算

NAG。=arctan42.

典型例题四

例4如图，已知直三棱柱A6CO-44G2中，AB=AC,P为侧棱8月上一点,

BF=BC=2a,尸4=a.(1)若。为5c的中点，E为40上不同于A、。的任一点,

求证：EF1FCX；(2)若44=3。，求/£与平面A4向8所成角的大小.

分析：E点在A0上变化，EE为平面AO尸内变化的一组

相交直线(都过定点尸)，要证明与E77垂直，必有

平面ADF.求FC1与平面ABB.A,所成角的关键是找G到面

ABgA的垂线，从而落实线面成角，直三棱柱中，侧棱AA1

平面A/iG给找点G到面A⑸的垂线创造了方便的条件.

解：(1)VAB=AC,且。是的中点，ADLBC,

又；直三棱柱中8用_L平面A8C,,

:.A0_L平面86。。，AADLC.F.

在矩形8片GC中，BF=BC=2a,67=a,

/.DF=Ma,FC}-6a,DC,=V10«，

...DF2+FC；=DC；,NDFG=90",即FC,1DF,

FC}1平面ADF,J.FC11EF.

（2）过G作G"，44于HA4J_平面441J,G”，

.♦.G”，平面A4乃乃，连接F"，NC/"是GF与平面A片所成角・

在等腰△ABC中，AB=AC=3a,BC=2a,：.AD=2y[2a,

在等腰△4gG中，由面积相等可得，C、Hx3a=2金x2a,

:.GH=^^a,又GF=瓜,

在RtaG“/中，sinNGF〃=^^，

...NGF"=arcsin^^

即G尸与平面A4所成角为arcsin^

说明：由于点E在4。上变化，给思考增加了难度，但仔细思考，它又提供了解题的

突破口，使得线线垂直成为了C”与一组直线垂直.本题的证明还有一个可行的思路，虽然

E在AO上变化，但是由于40,平面88C。，所以E点在平面8。上的射影是定点。,

ER在平面8a上射影为定直线。尸，使用三垂线定理，可由

C.F1DF,直接证明C/_LEE.三垂线定理是转化空间

线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子,

正方体AG中，。是底面的中心，E是为耳上动点,

产是。Q中点，求A/7与0E所成角.我们取A。中点G,

虽然E点变化，但0E在面AQ上射影为定直线A。，在正方形44RO中，易证

\BLAF,所以，AF10E,即A尸与0E所成角为90°.

典型例题五

例5如图，正三棱柱的底面边长为4,侧棱长为a,过的截面与底

面成30°的二面角，分别就(1)a=3；(2)a=l计算截面的面积.

分析：要求出截面的面积，首先必须确定截面的形状，截面与底

面成30。的二面角，如果a较大，此时截面是三角形；但是如果a较

小，此时截面与侧棱不交，而与上底面相交，截面为梯形.

解：截面与侧棱A4所在直线交于。点，取3C中点E,连AE、

DE,

△ABC是等边三角形，AAE1BC,

•：A%±平面ABC,：.DE1BC.

：.NDEA为截面与底面所成二面角的平面角,

二ZDEA=30°.

•.•等边△ABC边长为4,...?!£=2百.

在Rt^OAE中，DA=AEtanZDEA=2.

(1)当a=3时，。点在侧棱A4上，截面为△8CO,

在RtZ\OAE中，DE=yjAD2+AE2=4,

S.Rrn——BC-DE='x4x4=8.

22

(2)当a=l时，。点在Ad延长线上，截面为梯形8cMN,

•；AO=2,A4]=1是△O8C的中位线，

.33

•*,S梯形BCMN=[SgBC=1X8=6.

说明：涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形状，再解决问题的过程，本例通

过改变侧棱长而改变了截面形状，我们也可以通过确定侧棱长，改变截面与底血成角而改变

截面形状.

典型例题六

例6斜三棱柱ABC-A]B|C|中，平面A4CCJ•底面ABC,BC=2,AC=

ZABC=90\AA"C,且例=4C.

(1)求AM与平面ABC所成角；

(2)求平面4ABB1与平面48c所成二面角的大小；

(3)求侧棱到侧面AAtCtC的距离.

分析：按照一般思路，首先转化条件中的面面垂直关系，由

AA=4C,取AC的中点O,连4。，则有A。，AC,从而有4。，平面ABC,在

此基础上，4A与底面所成角以及平面与底面所成二面角都能方便地找到，同时

4。_L底面A6C也为寻找8点到面44CC的垂线创造了条件.

解：(1)取AC的中点。，连接4O,

•.•4A=4C,4O_LAC,•.•平面底面A8C,

4。_L底面ABC,.♦./4AC为AA与底面ABC所成角.

：A4=A{C且A41A1C,ZA,AC=45°.

(2)取AB中点E,则DE〃BC,

VZABC=90",CBLAB,：.DEVAB.

连4E,底面ABC,...AE在平面ABC上射影为。£,

•••A.ELAB,：.ZA.ED为侧面与底面ABC所成二面角的平面角.

在等腰RtaAAC中，AC=2百，:.A、D=也.

在RtZ\A8C中，BC=2,D£=1.

An

在RtaAQE中，tanZAED==V3.

11DE

：.“ED=60°,即侧面AA^B与底面ABC所成二面角的大小为60°.

(3)过8作5“工AC于"，

•.•4。J_底面ABC,AAtD1BH,，8〃J_平面AACC,

在RtZ^ABC中，AC=243,BC=2,：.AB=272,

ABBC

BH==-76,即3瓦到平面AA,CtC的距离为-屈.

AD33

说明：简单的多面体是研究空间线面关系的载体，而线面垂直关系又是各种关系中最重

要的关系，立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系，所以在几何体中发现并使

用线面垂直关系往往是解题的关键.

典型例题七

例7斜三棱柱ABC-A百G的底面△ABC是直角三角形，ZC=90°,BC=2cm,

用在底面上的射影。恰好是8C的中点，侧棱与底面成60°角，侧面AAff与侧面

B8CC所成角为30°，求斜棱柱的侧面积与体积.

分析：片在底面ABC上射影。为中点，提供了线面

垂直耳。J.平面4BC,另外又有NC=90°,即AC_LBC,

又可以得到AC_L平面3B|GC,利用这两个线面垂直关系，可

以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角.

解：在底面A8C上，射影。为8C中点.

8QL平面ABC.

二NB即为侧棱B,B与底面ABC所成角，即/片8。=60°,

VZC=90\即4CL5C,又ACJ.BQ,

二4CL平面BBC。，过4作AELB乃于E,连接CE,则CE,48.

二ZAEC是侧面AA,B,B与侧面。。乃田所成二面角的平面角，

ZAEC=30°,

在直角aCEB中，,/ZCEB=60°,BC=2,:.CE=6，

在直角△ACE中，VACEA=30°,CE=g,

二4C=ECtan30°=1,AE=2AC=2,

在直角△耳08中，NB&D=60。,BD=^BC=1,

：.BBi=2BD=2,BlD=BBisin600=V3.

.••侧面积为S^=CEBB,+AEBB^AC-AAt

=/+2+1)x2=(V5+3)x2=2(3+百加.

体积为丫=5^48cB|O=gAC8CBN=gxlx2xK=V§cm3.

说明：本例中△ACE是斜棱柱的-个截面，而且有侧棱与该截面垂直，这个截面称为

斜棱柱的直截面，我们可以用这个截面把斜棱柱分成两部分，并且用这两部分拼凑在一个以

该截面为底面的直棱柱，斜棱柱的侧面积等于该截面周长乘以侧棱长，体积为该截面面积乘

以侧棱长.

典型例题八

例8如图所示，在平行六面体ABCD-A4G。中，已知48=AO=2。，M=a,

又ZAtAD=ZDAB=NA/B=60°.

(1)求证：AAJ_截面耳RC；

(2)求对角面AACG的面积•

分析:

⑴由题设易证A4，BQ一再只需证AA1BC，即证CG，CO「而由对称性知,

若eq_LBC,则CCX±CD、,故不必证A4,1.

(2)关键在于求对角面的高.

证明：(1)：6£=AO=24，CCt=\A^a,=ZA}AD=60°,

...在ABCC中，由余弦定理，得耳。2=3。2.

再由勾股定理的逆定理，得GC，6C-

同理可证：GC1CD,.GC1平面片。C.

又GC〃A|A,AA|_L平面8］。°.

解：（2）：AB=AO,.•.平行四边形A8C0为菱形.AC为/BA0的平分线.

作4。••._L平面AC于O,

由N4AZ)=NA|AB,知OwAC.作于M,连。/，则。MLAB.

在RfAA]AM中，AM=A1A-cos60°=^o,

在用附。"中，AO=AM-sec30°=-^.

V3

,2

在R/A41A。中，A0=JM—AO?一U.

3

又在A48c中，由余弦定理，得AC=2ga.

ACC=AC•A。=.

riVLzI1

说明：本题解答中用到了教材习题中的一个结论——经过一个角的顶点引这个角所在平

面的斜线.如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线

所在的直线.

另外，还有一个值得注意的结论就是：如果一个角所在平面外一点到角的两边所在直线

的距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上.

典型例题九

例9如图所示，已知：直三棱柱ABC—AMG中，Z4CB=90°,ABAC=30°,

BC=\,AA]=n，M是CG的中点.

求证：AB,1A{M.

分析：根据条件，正三棱柱形状和大小及M点的位置都是确定的，故可通过计算求出

4M与AB{两异面直线所成的角.

因为B£1C,C,BGJLAG，所以BeJ-侧面AACC.AC,是斜线AB,在平面

AACC的射影，设AG与4M的交点为D,只需证得NMDC]=90°即可.

证明：B,C,1A,C,,与4G交于点G，

/.BfC,1面AAfC^.

为CG的中点，•,•MG=gGC=半.

在RfAAG与中，N8|AG=30°,

/.A蜴=26]G=2,4G=V3.

在RrAAG用中，

AM

\=』MC；+AC；=+（何=|^2.

在RrA44]G中，ACj=yjAA^+AjC/=Vy[6+V3=3.

又AMZ)GsM,DA且A%：MC=2,

：.MD=-A,M=-x-V2=-V2,

31322

CiD=-ACi=-x3=l.

在AMDCJ」」，M02+G02=(g收)+『=|，

:.NCQM=90°,1AG，A1M±AB,.

说明：证明两直线垂直，应用三垂线定理或逆定理是重要方法之一.证明过程中的有关

计算要求快捷准确，不可忽视.本题证明两异面直线垂直，也可用异面直线所成的角，在侧

面AACC的一侧或上方一个与之全等的矩形，平移或A用，确定两异面直线所成的

角，然后在有关三角形中通过计算可获得证明.

典型例题十

例10长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,求这个长方体的条对角线长.

分析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可.

解：设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，对角线长为/,则由题意得：

2(xy+yz+2%)=11①

、4(x+y+z)=24②

由②得：x+y+z=6,从而由长方体对角线性质得：

/=y/x2+y2+z2=J(x+y+z)?-2(盯+yz+zx)=-\/62-11=5.

•••长方体一条对角线长为5.

说明：(1)本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力.在求解过

程中，并不需要把x、y、z单个都求出来，而要由方程组的①②从整体上导出炉+y2+z2,

这需要同学们掌握一些代数变形的技巧，需要有灵活性.

(2)本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研

究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理.整

体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对

图形作出整体处理.

典型例题十一

例11如图，长方体ABC。—44GA中，A8=a，BC=b,BB、=c,并且

a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到G的最短线路的长.

。1G

分析：解本题可将长方体表面展开，可利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距

离来解答.

解：将长方体相邻两个展开有下列三种可能，如图.

Di

Bb

（甲）

三个图形甲、乙、丙中AG的长分别为:

7（«+Z?）2+c2=yja2+b2+c2+2ab

yja2+（b+c）2=7a2+b2+c2+2bc

7（«+c）2+b2=7a2+b2+c-+2ac

a>b>c>09

/.ah>ah>hc>0.

故最短线路的长为^a2+h2+c2+2bc.

说明：(1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线

AG=yla2+b2+c2是最短线路.

(2)解答多面体表面上两点间，最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为

求平面内两点间线段长.

典型例题十二

例12设直平行六面体的底面是菱形，经下底面的一边及与它相对的上义面的一边的

截面与底面成60。的二面角，面积为。，求直平行六面体的全面积.

D'

A'

AH-----------B

分析：如图，由于。/)」面AC.作出截面与底面所成的二面角的平面角/。力。后,

因RfAD力H中ND=60°,可分别求出。”和DH的值.又上下底面的边长

是相等的，便可进一步求出全面积.

解：设平行六面体为A8CO—A'6'C'。，过。作〃为垂足，连结。力.

•；DDJ_平面A8CO,

DH1AB,ADHD=60°,

V3.1.

：.DD=—DH,DH=-DH.

22

又在菱形ABC。中，有AD=AB=BC=CD,

二截面ABC'。的面积为：S】=DHAB=Q.

侧面。OCC’的面积为：S,=DDDC=DDAB=—DHAB=­Q

22

底面ABC。的面积为：S.=DHAB=-DHAB=-Q.

22

所以S*=4§2+2s3=(273+1)2.

典型例题十三

例13设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩

形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体.以上命题中，真命题的个数是

().

A.0B.1C.2D.3

解：甲命题是真命题，因为它就是平行六面体的定义；

乙命题不是真命题，因为平行六面体的侧棱不一定垂直于底面；

丙命题也不是真命题，因为四棱柱的底面不••定是平行四边形.

二应选B.

说明：要认真搞清平行六面体、直平行六面体、长方体等特殊四棱柱的有关概念及性质.

典型例题十四

例14如图,A^-ABC是直三棱柱,ZBCA=90°，点R、片分别是A蜴、A£

的中点.若8C=C4=CG，则BQ与4月所成角的余弦值是（）.

解：可将异面直线所成角转化为相交直线的角，取8C的中点E,并连结EK、EA.

'：DIF/BC=BE,

...EFJ/BD\,：.ZLEFXA是与AFX所成角.

设8c=2a,则CG=2a，C4=2a.

/•AB-1y[7.a,AFt—\[5a,AE—\[5a,

EK=BD[=《B&2+BQ：=J6a.

.AF^+EF；-AE2（氐产+（痴a）2_（氐f病

..cosZ.EF.A=-----------------=----------T=--------尸--------=-----

2xAF}xEF{2xj5“xj6a10

，应选A.

说明：本题主要考查棱柱的性质，以及两条异面直线所成的角、勾股定理、余弦定理等

内容：对运算能力和空间想象能力也有较高的要求.

典型例题十五

例15如图，已知A4G