高中数学衔接教材(高级版)

第一讲数与式

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1.1数与式的运算

1.1.1.绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对

值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即

a,a>0,

[Q|=<0,a=0,

-a,a<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点

到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：|。-耳表示在数轴上，数a和

数〃之间的距离.

练习

1.填空：

(1)若W=5,则x=；若忖=卜4|,则x=.

⑵如果向+网=5,且。=一1,则b=；若|l-c|=2,则0=___.

2.选择题：

下列叙述正确的是()

(A)若同=网，则a=b(B)若同〉网，则a>b

(C)若a<b,则同<例(D)若同=例，则a=±C

3.化简：|x-5|—|2x—13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a±b)2=/±2帅+/.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式+-48+/)=/+/；

(2)立方差公式(a—b)(a2+ab+/)=a3一/；

(3)三数和平方公式

(a+/?+c)~—ci~+h~+c~+2(ab+he+ac)；

(4)两数和立方公式(a+b)3="+3a2b+3"/+/；

(5)两数差立方公式(。一/?)3=/-3。2b+3a/—/.

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.

例1计算：(X+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+X+1).

例2已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求/+人’+c?的值.

练习

1.填空：

1,1,11

(1)-a2--b2^(-h+-a)()；

9423

(2)(4m+y=16m2+4m+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

2.选择题：

(1)若x2+-mx+k是一个完全平方式，则上等于

2

()

11

(A)m2(B)-m2(C)-nf2(D)

43

(2)不论a,b为何实数，w+b~—2ci—4/7+8的值

()

(A)总是正数(B)总是负数

(C)可以是零(D)可以是正数也可以

是负数

1.1.3.二次根式

一般地，形如〃(a20)的代数式叫做二次根式.根号下含有

字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如

___________5

3a+yja2+h+2h,Vtz2+/?2等是无理式，而V2x2+—x+1,

2

x2++y2,等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了

进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有

二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就

说这两个代数式互为有理化因式，例如血与血，3&与

坦+瓜与6-娓,2百-3近与2道+3立，等等.一般地，

aG与G,ayfx+byfya4x-by[y,aG+b与aG-b互为有

理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，

化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以

分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多

项式乘法进行，运算中要运用公式&后=疝（。20,620）；而对

于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理

化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化

简的基础上去括号与合并同类二次根式.

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2.二次根式的意义

a,a>0,

-a,a<0.

例1将下列式子化为最简二次根式：

（1）712^；（2）Va¥（a>0）；(3))4x6y(x<0).

例2计算:6+（3-®

例3试比较下列各组数的大小:

（i）Jil—和而―质；（2）—3—和2&—指.

V6+4

例4化简：（百+逝产.（百-逝严5.

例5化简：（1）49-4」；（2）

,1

x~H—j—2(0<x<1)

x

_V3-V2_V3+V2

例6已知求3x2-5xy+3y2的

值.

练习

1.填空：

1-V3_

(1)

1+也

(2)若J(5-X)(X_3)2=(x-3)7^7,则x的取值范围是

(3)4V24-6V54+3V96-2V150=

，“、gVsm.1Jx+1-Vx—TJx+1+Jx-l

=二

(4)若x=—,则---_•-t^=+-j=~J

2'X+1+JX—1yjX~\~\—\JX—1

(A)xw2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

切J_]+Ji-42a74/At

3.若力=-------------，求a+b的值.

。+1

4.比较大小：2—小_____小一也(填“>”，或y").

1.1.4.分式

1.分式的意义

AA

形如刍的式子，若3中含有字母，且3。0,则称2为分式.当

BB

A

MM时，分式2具有下列性质：

B

A_AxM

力一BxM；

AA^M

~B~'

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

像-〃?:〃+〃这样,分子或分母中又含有分式的分式叫

c+d2m

几+p

做繁分式.

例1若上土=2+_吼，求常数A,B的值.

x(x+2)xx+2

解得A=2,B=3.

(1)试证：-1—=-一一-

例2(其中〃是正整数);

n(n+1)nn+1

111

(2)计算:-----1------F…H

1x22x3------9x10

(3)证明：对任意大于1的正整数〃，有

1111

----+----+•••+--------<一.

2x33x4〃(/7+1)2

例3设e=£,且e>l,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.

a

练习

1.填空题：

对任意的正整数〃，---=—(--——);

n(/i+2)2+2

2.选择题：

若工2=2,则.V

x+y3y

()

/、546

(A)1(B)一(C)一(D)

455

3.正数X,〉满足/一/=2求二口的值.

x+y

1111

习题1.1

1.解不等式：

(1)|.x-1|>3；(2)|x+3|+|x—2|<7；

(3)|x-1|+|x+1|>6.

2.已知x+y=l,求/+寸+3孙的值.

3.填空：

(1)(2+V3)18(2-A/3)19=；

(2)若7(i-«)2++«)2=2，则4的取值范围是

11111

(3)T7^+V2+V3+V37V4+V47V5+757V6=-

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式

法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)X2-3x+2；(2)X2+4X—12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-\+x-y.

解：(1)如图1.2—1,将二次项f分解成图中的两个x的积,

再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个

数乘积的和为一3x,就是无2—3x+2中的,•次项，所以，有

%2--3x+2=(x_l)(x—2).

图1.2-1图1.2-2图1.2-3图1.2-4

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将

图1.2-1中的两个x用1来表示(如图1.2—2所示).

(2)由图1.2-3,得

X2+4.X—12=(X—2)(X+6).

(3)由图1.2-4,得

x2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)x

y、］

(4)xy-\+x-y=xy+(x-y)~\图12_5

=(x—l)(y+l)(如图1.2—5所示).

2.提取公因式法与分组分解法

例2分解因式：

(1)X3+9+3X2+3X；(2)

2x2+xy一/一4x+5y-6.

(2)

2x2xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或

2x2+iy-y2-4x+5y-6=

(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6

=(2x-y)(x+y)-(4》_5y)_6

=(2x-y+2)(x+y-3).

3.关于x的二次三项式ai+Ax+cm#))的因式分解.

若关于x的方程。*2+灰+。=0(。/0)的两个实数根是玉、%,,

则二次三项式ax?+bx+c(a丰0)就可分解为a(x-x{)(x-x2).

例3把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)x~+2,x—1；(2)x2+4xy-4y2.

练习

1.选择题：

多项式2--孙_15y的一个因式为

()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)X2+6X+8；(2)&/一户

(3)x—lx-1；(4)4(x-y+l)+y(y-2x).

习题1.2

1.分解因式:

(1)/+1；(2)4x4—13x^+9；

(3)b2+c2+lab+2ac+2hc；(4)

3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

2.在实数范围内因式分解：

(1)x?—5x+3；(2)x"—2y[2,x—3；

(3)3/+4盯-/.(4)

(X2-2X)2-7(X2-2X)+12.

3.AABC三边a,b,c•满足/+〃+c?=〃。+.+以，试判定AA8C

的形状.

4.分解因式：x2+x—(a2—a).

第二讲函数与方程

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(存0),用配方

法可以将其变形为

/b、?b1-4ac

(①

F4a2

因为存0,所以，4“2>0.于是

(1)当从一4公>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原

方程有两个不相等的实数4_____

-h±yJh2-4ac

肛；

2=---------2--a----------

(2)当/—4ac=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有

两个等的实数根

__b

X1—X2———;

2a

（3）当廿一4双<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①

的左边（x+2y一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.

2a

由此可知，一元二次方程分2+云+c=0（存0）的根的情况可

以由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx

+c=0（存0）的根的判别式，通常用符号“△”来表示.

综上所述，对于一元二次方程《X2+5X+C=0（a#））,有

(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根

-b+y]b2-4ac

X\,2=

2a

(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根

_b

X\—X2———；

2a

(3)当AV0时，方程没有实数根.

例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数）,

如果方程有实数根，写出方程的实数根.

(1)X2-3X+3=0；(2)x2—ax—1=0；

(3)x2——1)=0；(4)X2—2x+a=0.

说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的

取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况

进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高

中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这

一方法来解决问题.

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

若…元.：次方程ax2+bx+c=0（存0）有两个实数根

-b+\Jb2-4ac-b-y]b2-4ac

则有____________

-b+yjb2-4ac-b—yJb2-4ac-2hb

x.+x.=------------+------------=---=——

_-b+db2-4。。-b-yjb2-4ac_b2-(b2-4ac)_4ac_c

2a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ar2+〃x+c=o(0邦)的两根分别是不，必，那么8+必

Ar

=--，X\Xz=—.这一^b关系也被称为韦达定理.

aa

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程九2+px+q=0,

若修，检是其两根，由韦达定理可知

X\~\~X2~-p,X1'X2~(Jf

即p=—(11+12)，q—X\'X2,

所以，方程x2+px+q=0可化为%2—(%1+x2)x+x\-%2=o,由

于X1，X2是一元二次方程x2+px+q=0的两根，所以，X\,X2也是

一兀二次方程f—(Xi+x2)x+x/X2=0.因此有

以两个数Xl，X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

X2—(X1+X2)X+x1-X2=0.

例2已知方程5/+依-6=0的一个根是2,求它的另一个

根及人的值.

例3已知关于x的方程x2+2(m—2)X+"/+4=0有两个实

数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求用的值.

例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.

例5若r和必分别是一元二次方程2f+5x—3=0的两根.

(1)求|为一刈的值;

(2)求」v的值；

玉x2

(3)XI3+A：23.

例6若关于x的一元二次方程%2—x+a—4=0的一根大于零、另一根

小于零，求实数。的取值范围.

练习

1.选择题：

(1)方程266+3攵2=0的根的情况是

()

(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数

根

(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根

(2)若关于x的方程巾/+(2机+1)小+m=0有两个不相等的实数根，

则实数m的取值氾围是

()

1_1

(A)机V—(B)m>

44

11

(C)m<­t-且〃2和(D)m>~--，且〃2和

44

2.填空：

,11

(1)若方程x2—3x—1=0的两根分别是XI和X2，则一+一

(2)方程mx2+x—2机=0(m/0)的根的情况是.

(3)以-3和1为根的一元二次方程

是.

3.已知J/+8a+16+|b-l|=0,当"取何值时，方程h2+以+方=0有

两个不相等的实数根？

4.已知方程3x—1=0的两根为X|和尤2，求但-3)(x2—3)的值.

习题2.1

1.选择题：

(1)已知关于x的方程/+匕-2=0的一个根是1,则它的另一个根是

()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四个说法：

①方程f+2x—7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；

②方程X2-2X+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；

7

③方程3x2-7=。的两根之和为0,两根之积为--；

3

④方程3x2+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.

其中正确说法的个数是()

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4

个

(3)关于x的一元二次方程ax?—5x+/+a=0的一个根是0,

值

是

(A)0(B)1(C)-1(D)

0,或一1

2.填空：

(1)方程履2+人一1=0的两根之和为一2,贝1」％=

(2)方程2A'—x—4=0的两根为a,。，则a~+p2=.

(3)已知关于尤的方程f-ax—3a=0的一个根是一2,则它的另一个

根是

(4)方程1=0的两根为Aj和方2，贝人为一同=

3.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2-(2m+\)x+l=0

有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2—7x—1=0各根的相反

数.

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=a%2+>x+c的图像和性质

二次函数了=好2“0)的图象可以由产/的图象各点的纵坐标

变为原来的。倍得到.在二次函数y="2(“邦)中，二次项系数。

决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.

二次函数y=a(x+7i)2+A:(a#))中，a决定了二次函数图象的开

口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“正左

移，九负右移“；A决定了二次函数图象的上下平移，而且“正上

移，为负下移

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数产/+云+。(存0)

的图象的方法：

由于y—ax2+bx+c=a(x2+—x)+c—a(x2+—x+-^v)+c—

aa4a~

b2

4a

,b.b2-4ac

=a(x+—)-2+-------，

2a4a

所以，y=af+bx+c(arO)的图象可以看作是将函数y=ax2的

图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y^ax2+bx

+c(ar0)具有下列性质：

(1)当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为

(-—,4aC~^),对称轴为直线*=一2；当xv—2时，》随着*的

2a4a2a2a

。b

增大而减小；当x>——时，y随着X的增大而增大；当*=-一时，函

2a2a

4QC——b~

数取最小值y=.

4a

(2)当aVO时，函数y=ax2+6x+c图象开口向下；顶点坐标为

h4ac—b2bb

(-=,：)，对称轴为直线x=一三；当xV-=时，y随着x的

2。4a2a2a

bh

增大而增大；当-一时，y随着x的增大而减小；当工=-一时，函

2a2a

4ac—b2

数取最大值y=.

4a

例1求二次函数)，=-3X2-6X+1图象的开口方向、对称轴、

顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的

增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.

例2把二次函数y=f+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移

4个单位，得到函数y=f的图像，求6,c的值.

例3已知函数)，=/，—2<x<a,其中生一2,求该函数的最大值与最

小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.

练习

1.选择题：

(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()

(A)y=2r(B)y=2f-4x+2

(C)y=2x2-l(D)y=2x2~4x

(2)函数y=2(x-l)2+2是将函数y=2x?()

(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的

(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2.填空题

(1)二次函数)，=29一图象的顶点坐标为(1,-2),则团=

(2)已知二次函数y=f+(加一2)x—2"?,当，”=忖，函数图象的顶

点在y轴上；当机=时，函数图象的顶点在x轴上；当m=

时，函数图象经过原点.

(3)函数y=-3(x+2y+5的图象的开口向，对称轴为,

顶点坐标为;当x=时，函数取最__值

y=；当x时，y随着x的增大而减小.

3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y

随x的变化情况，并画出其图象.

(1)y=f—2x—3；(2)y=1+6x~x2.

4.已知函数y=-/—2X+3,当自变量x在下列取值范围内时，分别

求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x

的值：

(1)x<-2；(2)启2；(3)-2<r<l;(4)0<r<3.

2.2.2二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两

种形式：

1.一般式：j=«x2+Z>x+c(a^O)；

2.顶点式：y=a(x+h)2+k(a^O),其中顶点坐标是(一九k).

3.交点式：j=a(x—xO(x—x2)(a^O),其中x”外是二次函

数图象与x轴交点的横坐标.

例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+l上，

并且图象经过点(3,—1),求二次函数的解析式.

例2已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离

等于2,求此二次函数的表达式.

例3已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,

8),求此二次函数的表达式.

练习

1.选择题：

(1)函数y=-x2+x—1图象与x轴的交点个数是

()

(A)0个(B)l个(C)2个(D)无法

确定

2

(2)函数y=-1(x+I)+2的顶点坐标是

()

(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(-

1,-2)

2.填空：

(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次

函数的解析式可设为y=a(存0).

(2)二次函数y=-f+2小x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离

为-

3.根据下列条件，求二次函数的解析式.

(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6)；

(2)当x=3时，函数有最小值5,且经过点(1,11)；

(3)函数图象与x轴交于两点(1一啦，0)和(1+5，0),并与)，轴交

于(0,—2).

习题2.2

1.选择题:

1)把函数y=一(x_1产+4的图象的顶点坐标是

)

(A)(-1,4)(B)(-1,-4)(C)(1,-4)(D)

(1,4)

(2)函数y=-f+叙+6的最值情况是

()

(A)有最大值6(B)有最小值6

(C)有最大值10(D)有最大值2

(3)函数y=2?+4x-5中，当一3夕＜2时，则y值的取值范围是

()

(A)-3<y<l(B)-7<j<l

(C)-7<y<ll(D)-7<y<ll

2.填空：

(1)已知某二次函数的图象与无轴交于A(-2,0),B(l,0),且过点C

(2,4),则该二次函数的表达式为.

(2)已知某二次函数的图象过点(一1,0),(0,3),(1,4),则该函数

的表达式为.

3.把已知二次函数y=2f+4x+7的图象向卜平移3个单位，在向右平移4

个单位，求所得图象对应的函数表达式.

4.已知某二次函数图象的顶点为A(2,-18),它与x轴两个交点之间的

距离为6,求该二次函数的解析式.

2.3方程与不等式

2.3.1二元二次方程组解法

方程

x1+2xy+y2+x+y+6=0

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整

式方程，这样的方程叫做二元二次方程.其中f,2盯，V叫做这个

方程的二次项,叫做一次项,6叫做常数项.

我们看下面的两个方程组：

x2-4y2+x+3y-1=0,

2x-y—1=0;

x2+/=20,

V

x2—5xy+6y2=0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组

成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方

程组叫做二元二次方程组.

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方

程组成的方程组的解法.

一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可

以用代入消元法来解.

例1解方程组

x2+4y2-4=0,①

X-2y-2=0.②

例2解方程组

'x+y=1,①

xy=12.②

练习

1.下列各组中的值是不是方程组

%2+/=13,

*

x+y=5

的解？

⑴尸⑵尸,X—1,x=-2,

(3)4(4)

(7=3;1y=2;y4；y=-3;

2.解下列方程组：

[x2+y2=625;[xy=-10;

’22

厂+尸-1

(3){54(4)

y=x-3;

y2=2x,

了2+J=8.

2.3.2一元二次不等式解法

(1)当A>0时，抛物线>=0?+云+。(a>0)与x轴有两个公共点

(X1，0)和。2,0),方程+法+c=0有两个不相等的实数根X1和X2(X|<X2),

由图2.3—2①可知

不等式ax^+bx+cX)的解为

X<X\,或X>%2；

不等式(zx2+/>x+c<0的解为

Xi<X<X2-

(2)当△=()时，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有且仅有个

公共点，方程af+bx+c=0有两个相等的实数根治=必=一会，由图2.3

一2②可知

不等式ajC+bx+c>0的解为

不等式ax2+bx+c<0无解.

(3)如果△<(),抛物线y=ax2-\-hx+c(a>0)与x轴没有

公共点，方程a*+云+c=o没有实数根，由图2.3—2③可知

不等式ax2+hx+c>0的解为―-切实数；

不等式ax2+bx+c<0无解.

例3解不等式：

(1)x?+2x—3<0；(2)x—x2+6<0：

(3)4?+4x+l>0；(4)?-6x+9<0；

(5)-4+X-X2<0.

例4已知函数y=f—2"+1(。为常数)在一2夕、1上的最小值为"，试

将"用a表示出来.

练习

1.解下列不等式：

(1)3f-x—4>0；(2)?-x-12<0；

(3)X2+3X-4>0；(4)16-8X+X2<0.

2.解关于x的不等式f+2x+l一/4）（.为常数）.

习题2.3

1.解下列方程组：

22

⑴彳-y=LJ(x-3)+y=9,

(2)j

x+2y=0;

x-y-2^0;

22

x+y=4,

(3)

2

x2-y=2.

2.解下列不等式：

(1)3?-2x+l<0；(2)3?-4<0；

(3)2x—x2>—1；(4)4-X2<0.

第三讲三角形与圆

3.1相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

如图3.1-2,ll//l2//lJ,^—=变.当然，也可以得出空=匹

123BCEFACDF

在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对

应关系，是“对应”线段成比例.

例1如图3.1-2,/,///2///3,

且A8=2,BC=3,DF=4,求DE,EF.

例2在ABC中，为边AB,AC上的点，DE//BC,

AD_AE_DE

求证:

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线）,

所得的对应线段成比例.

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得

的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

例3在VABC中，AO为的平分线，求证：—=—.

ACDC

例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分

对边成比例（等于该角的两边之比）./尹

练习1

1.如图3.1-6,Z,///2///3,下列比例式正确的B/

是（）D

ADCEcAZ)BC

AA.——=B.—=

DFBCBE~AF

cCEADBE

c.---=D.——=

DF~BCDFcF

图3.1-6

2如图3.1-7

DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF.

图3.1-7

3.如图，在7ABC中，AD是角BAC的平分线，

A8=5cnv!C=4cm,8C=7cm，求BD的长.

图3.1-8

3.1.2.相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以

判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相

似？

例6如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，

AO人8c于。.

求证：(1)向2BDBC|,AC2=CDCB

(2)AD2=BDCD

练习2

1.如图3.1-15,。是VABC的边AB上的一点，过。点

作DE//BC交AC于E已知AO：DB=2：3,则

SvADE：S四边形BC0E等于)

A.2:3B.4:9C.4:5D.4:21

2.若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线

段.这两条线段的比是3:2,则梯形的上、下底长分别是.

3.已知:VA8C的三边长分别是3,4,5,与其相似的V灰沙。的

最大边长是15,求的面积Sv.®。-

4.已知：如图3.1-16,在四边形46co中，E、F、

G、”分别是A3、BC、CD、0A的中点.

(1)请判断四边形EFG”是什么四边形，试说明

理由；

(2)若四边形A5CO是平行四边形，对角线AC、

8。满足什么条件时，EFGH是菱形?是正方图3.1-16

形？

习题3.1

1.如图3.1-18,NABC中，AD=DF=FB,AE=EG=GC,

FG=4,则()

A.DE=1,BC=7B.DE=2,BC=6

C.DE=3,BC=5D.DE=2,BC=8

图3.1-18

2.如图3.1-19,BD、CE是VABC的中线，P、Q分别是B。、CE

的中点，则等于（）

A.1：3B.1：4

C.1：5D.1：6

3.如图3.1-20,YABC。中，E是AB延长线上一点，DE交BC

于点凡已知BE：AB=2：3,SVBEF=4,求Svc/。

4.如图3.1-21,在矩形ABC。中，E是CD的中点,

BEAAC交AC于凡过/作FG//AB交AE于G,

求证：AG2=AFFC.

图3.1-21

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.

三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长

图3.2-3

度之比为2：1.

已知D、E、尸分别为VA8C三边6C、。、A8的中点,

求证A。、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：

1.J\

三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的

内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的

三边的距离相等.（如图3.2-5）

例2已知VA8C的三边长分别为8C=a,AC="A8=c,I为

VA8C的内心，且I在VABC的边BC、AC.43上的射影分别为

D、E、F,求证：AE=AF=C~.

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂

心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为

他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

例4求证：三角形的三条高交于一点.

已知VABC中，A0ABC于D,BE^AC于E,AO与6E交于”点.

求证CHAAB.

过不共线的三点A、6、C有且只有一个圆，

该圆是三角形ABC的外接圆，圆心。为三角形的

外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边

的垂直平分线的交点.

D

练习1

1.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角

形.

2.（1）若三角形ABC的面积为S,且三边长分别为a、b、c,

则三角形的内切圆的半径是；

（2）若直角三角形的三边长分别为4、b、C（其中C为斜边

长），则三角形的内切圆的半径是.并请说明理由.

练习2

1.直角三角形的三边长为3,4,x,则x=.

2.等腰三角形有两个内角的和是100。，则它的顶角的大小是

3.已知直角三角形的周长为3+百，斜边上的中线的长为1,求

这个三角形的面积.

习题3.2

A组

1.已知：在ABC^,AB=AC,NBAC=120",A。为8C边上的高,

则下列结论中，正确的是（）

八1

A.AD^—ABB.AD^-ABC.ADBD

22

D.AD=—BD

2

2.三角形三边长分别是6、8、10,那么它最短边上的高为（）

A.6B.