内力和内力图课件

内力和内力图§6-1平面桁架的内力§6-2轴力和轴力图§6-3扭矩和扭矩图§6-4剪力和弯矩·剪力图和弯矩图外力：物体或系统所承受的其它物体对它的作用力（包括约束力）。内力：物体或系统内部，因外力作用而产生的各物体之间或各部分之间的相互作用力。内力必然成对存在，它们是大小相等、指向相反的力，或大小相等、转向相反的力偶。为了求得物体内部各部分之间的相互作用力，需将物体假想地截开，取其一部分来研究；对于系统，也须截取某一部分来研究。§6-1平面桁架的内力1.什么是桁架桁架是由一些直杆组成的几何形状不变的结构。2.工程实例6.1.1桁架的概念所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。P例：地面卫星接收系统例：海洋石油钻井平台例：埃菲尔铁塔

(1)

截面形状和尺寸设计；

(2)

材料选取；

(3)强度校核。

3.分析桁架内力的目的：P6.1.2模型的建立1.屋架结构的简化上弦杆节点下弦杆斜杆跨度2.桁架简化的几个假设

(1)各杆在节点处用光滑的铰链连接；

(2)桁架中各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；

(3)所有外力（主动力及支座约束力）都作用在节点上，对于平面桁架，各力的作用线都在桁架的平面内。根据上述假设，桁架的各个杆件都是二力杆。我们能比较合理的地选用材料，充分发挥材料的作用，在同样跨度和荷载情况下，桁架比梁更能节省材料，减轻自重。3.平面简单桁架的构成

在平面问题中，为保证桁架几何形状不变，可以由基本三角形ABC为基础，这时是3个节点，以后每增加一个节点，相应增加两根不在一条直线上的杆件，依次类推，最后将整个结构简支，这样构成的桁架称为平面简单桁架。节点杆件平面简单桁架杆件数m与节点数n之间的关系为：m=3+2(n-3)=2n-3平衡方程数：2n

未知力数目：m+3

在支座约束力共有3个未知量而且布置恰当的情况下，平面简单桁架是静定的。节点杆件6.1.3平面简单桁架的内力计算1.节点法例题6-1aaaaFCACDBEKFE如图平面简单桁架，已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。求各杆内力。解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程联立求解得

FAx=－2kN,FAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx例题6-1取节点A，受力分析如图,设所有杆件均为拉杆。由平衡方程解得FAxFAyAFACFAF例题6-1aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAxFFEFFAFFCK例题6-1取节点K，受力分析如图。由平衡方程解得aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAxFCFFCAFCCFCDFCE取节点C，受力分析如图。由平衡方程解得例题6-1aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx取节点D，受力分析如图。由平衡方程FDEFDCDFDB解得例题6-1aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx例题6-1FBBFBDFBE解得取节点B，受力分析如图。由平衡方程aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx例题6-2aaaaFCACDBEKFE如图平面桁架，已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。求FE，CE，CD杆内力。2.截面法先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程联立求解得

FAx=－2kN，FAy=2kN，FB=2kNaaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx解：例题6-2由平衡方程作一截面m-m将三杆截断，取左部分为分离体，受力分析如图。联立求解得FFEFCDaFCACKFAyFAxDEFCEmaaaaFCABDCEKFEFAyFBFAxm例题6-2意义：简化计算,问题：能否去掉零杆?3.零力杆件12(a)123(b)F12(c)F2=0F3=0F1=F2=0注意：(1)荷载改变后，“零杆”可以变为非零杆。因此，为了保证结构的几何形状在任何荷载作用下都不会改变，零杆不能从桁架中除去。(2)实际上，零杆的内力也不是零，只是较小而已。在桁架计算中先已作了若干假设，在此情况下，零杆的内力才是零。思考题6-1试判断下列各桁架中的零杆CABDF(a)FABCDEFGH(b)思考题6-1参考答案：ABF1(a)DCF1ABCDEFGH(b)4.小结(1)节点法(2)截面法(b)根据待求内力杆件，恰当选择截面；(d)所截杆件的未知力数目一般不大于3。(a)一般先研究整体，求支座约束力；(b)逐个取各节点为研究对象；(c)求杆件内力；(d)所选节点的未知力数目不大于2，由此开始计算。

(a)一般先研究整体，求支座约束力；(c)分割桁架，取其一进行研究，求杆件内力；试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。思考题6-2FFF1234

aaaaAB思考题6-2参考答案：F1=FF2=-2FF3=2.828FF4=-3FFFF1234

aaaaABIIIIII试计算图示桁架中1、2杆的内力。思考题6-3a

aa12ABEFGHCDF1F2I—I截面：Ⅱ—Ⅱ截面：∑MF(F)=0FS1=F1/2-2F2∑MD(F)=0FS2=F2-F1/4思考题6-3参考答案：a

aa12ABEFGHCDF1F2ⅡⅡⅠⅠ§6-2轴力和轴力图如上图中轴向受力的杆件常称为拉伸或压缩杆件，简称拉压杆。(b)CDF2F2(a)F1F1ABFFABmm拉压杆横截面上的内力，由截面一边分离体的平衡条件可知，是与横截面垂直的力，此力称为轴力。用符号FN表示。FFNAmFNFB习惯上，把对应于伸长变形的轴力规定为正值（即分离体上的轴力其指向离开截面），对应于压缩变形的轴力为负值（轴力的指向对着截面）。当杆件轴向受力较复杂时，则常要作轴力图，将轴力随横截面位置变化的情况表示出来。FFABmFFNAmFNFB解：要作ABCD杆的轴力图，则需分别将AB、BC、CD杆的轴力求出来。分别作截面1-1、2-2、3-3，如左图所示。20kNFN1D作轴力图。20kN20kN30kNABCD1-1截面处将杆截开并取右段为分离体，并设其轴力为正。则∑Fx=0，-FN1-20=0例题6-3120kN20kN30kNABCD12233xFN1=-20kN负号表示轴力的实际指向与所设指向相反，即为压力。于2-2截面处将杆截开并取右段为分离体，设轴力为正值。则∑Fx=0，-FN2+20-20=0例题6-3120kN20kN30kNABCD12233FN2=0C20kN20kNFN2D∑Fx=0，-FN3+30+20-20=0FN3=30kN轴力与实际指向相同。

FN320kN20kN30kNDCB作轴力图，以沿杆件轴线的x坐标表示横截面的位置，以与杆件轴线垂直的纵坐标表示横截面上的轴力FN。20kN20kN30kN.ABCDFN/kNx3020O例题6-3当然此题也可以先求A处的支座反力，再从左边开始将杆截开，并取左段为分离体进行分析。例题6-320kN20kN30kN.ABCD试作图示杆的轴力图。思考题6-4ABCD20kN40kN30kN0.5m0.5m1m思考题6-4参考答案：OxFN

/kN202010ABCD20kN40kN30kN0.5m0.5m1m考虑图示杆的自重,作其轴力图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为r，杆的自重为P。FlCB思考题6-5思考题6-5参考答案：FlCBxFAgxFN(x)FN(x)=F+ArgxFNxFF+Arg

l§6-3扭矩和扭矩图ABl如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为螺旋线ab′,诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如B截面相对于A截面转过一角度∠bO'b′。为了分析横截面上的内力，取m--m截面。由图示任意横截面m-m左边一段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号T表示。由∑Mx（F）=0T–Me=0即T=Me取(c)图列方程可得相同的计算结果。扭矩的正负号由右手螺旋法则规定：使卷曲右手的四指其转向与扭矩T的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：MA=2kN·m,MB=3.5kN·m,MC=1kN·m,MD=0.5kN·m,转向如图。试作该传动轴之扭矩图。解：只要求出AB、BC、CD段中任意截面上的扭矩，即可作出扭矩图。例题6-41-1截面：∑Mx（F）=0-MA+T1=0得T1=-MA=-2kN·m分别作截面1-1、2-2、3-3，如右图所示。考虑1-1截面例题6-4例题6-4同理得T2=1.5kN·m,T3=0.5kN·m该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？思考题6-6作杆的扭矩图。1m1m0.2m0.1m0.1m4kN1kN2kN思考题6-7思考题6-7参考答案T

/kN·mx0.40.2O1m1m0.2m0.1m0.1m4kN1kN2kN§6-4剪力和弯矩·剪力图和弯矩图梁：在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件。lFABlFABabmmxFAFBxyFBl-xAFAxFSMMFSFa-x由上图可知，其横截面上的内力根据截面一边分离体的平衡条件有：位于横截面平面内的剪力FS

和位于纵向平面内的弯矩M。现分析如何求解剪力FS和弯矩M。xyFBl-xAFAxFSMMFSFa-x分析梁左段任意横截面m－m上的剪力，由∑Fy=0，FA-FS=0而弯矩，则由∑MC(F)=0，M-FA·x=0得M=FA·x=Fbx/lFS=FA

得xyFBl-xAFAxFSMMFSFa-xmmCC也可取横截面的右边一段梁作为分离体计算，结果相同，但稍复杂。正负号根据变形情况来确定。剪力以使梁的微段发生左上右下的错动者为正；反之为负。FSFSd

x左上右下错动FSFSd

x左下右上错动弯矩以使梁的微段发生上凹下凸的变形，即梁的上部纵向受压而下部纵向受拉时为正；反之为负。dxMM上凹下凸的变形dxMM上凸下凹的变形剪切变形演示弯曲变形演示试求下图所示悬臂梁之任意横截面m-m上的剪力和弯矩。xlFABmm(a)xlABmmMe(b)思考题6-8思考题6-8参考答案：FS=-FM=-Fx(a)(b)FS=0M=MexlFABmm(a)xlABmmMe(b)试求图示截面（1-1、2-2、3-3）上的剪力和弯矩。解：本题可从右边开始求解，也可从左边开始求解。从右边开始可先不求支座A处的反力。取右段分析，考虑1-1截面，有∑Fy=0，FS1-2=0，FS1

=2kN∑MC1（F）=0，-M1-2·1=0M1=-2kN·m例题6-5BFS1M12kNC1A1m1mB2kN2kN·m112233C取右段分析，考虑2-2截面，有∑Fy=0，FS2-2=0，FS2

=2kN∑MC2（F）=0，-M2-2-2·1=0M2=-4kN·m例题6-5B2kN2kN·mFS2M2C2A1m1mB2kN2kN·m112233C取右段分析，考虑3-3截面，有∑Fy=0，FS3-2=0，FS3

=2kN∑MC3（F）=0，-M3-2-2·2=0M3=-6kN·m例题6-5A1m1mB2kN2kN·m112233CB2kN2kN·mFS3M33AC3为了验证结果的正确性，可从左边开始进行分析。先求A处的支座约束力，有∑Fx=0，FAx=0下面以左段为研究对象，分析3-3截面上的剪力和弯矩。∑Fy=0，FAy-2=0FAy=2kN∑MA（F）=0，MA-2-2·2=0MA=6kN·m例题6-51m1mB2kN2kN·m112233FAyFAxMAA此结果与取右段分析的结果相同。∑Fx=0，FAx=0∑Fy=0，FAy–FS3=0FS3=FAy=2kN∑MA（F）=0，MA+M3=0M3=-MA=-6kN·m例题6-5FAxFAyMAFS3M3AA1m1mB2kN2kN·m112233C1m1mB2kN2kN·m112233FAyFAxMAA从上例看到，梁的横截面上的内力，一般而言，在不同的横截面上有不同的数值。因此有必要作出梁的内力图——剪力图和弯矩图，以直观地表示这些内力随横截面位置变化的情况。解：取轴x与梁的轴线重合，坐标原点取在梁的左端。以坐标x表示横截面的位置。只要求得x处横截面上的剪力方程和弯矩方程，即可画出其内力图。试作图示梁的剪力图和弯矩图。例题6-6根据左段分离体的平衡条件便可列出剪力方程和弯矩方程。有FS(x)=-qx(0≤x＜l)M(x)=-qx2/2(0≤x＜l)例题6-6(a)(b)(d)右图所示为一受满布均布荷载的简支梁，试作剪力图和弯矩图。解：此梁的支座约束力根据对称性可知：FA=FB=ql/2梁的剪力方程和弯矩方程分别为FS(x)=ql/2-qx

(0＜x＜l)M(x)=qlx/2-qx2/2(0≤x≤

l)例题6-7FS图示为一受集中荷载F作用的简支梁。试作其剪力图和弯矩图。解：根据整体平衡，求得支座约束力FA=Fb/l,FB=Fa/l梁上的集中荷载将梁分为AC和CB两段，根据每段内任意横截面左侧分离体的受力图容易看出，两段的内力方程不会相同。lABxFA

FBabFCx例题6-8FAFS(x)M(x)AFFAFS(x)M(x)AAC段：CB段：FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0＜x＜a)(0≤x≤a)FS(x)=Fb/l-F=-Fa/l(a＜x＜l)M(x)=Fbx/l-F(x-a)=Fa(l-x)/l(a≤x≤l)例题6-8lABxFA

FBabFCxFAFS(x)M(x)AFFAFS(x)M(x)AxFSFb/lFa/lxMFab/lAC段：CB段：FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0＜x＜a)(0≤x≤a)FS(