2025高考备考数学知识点第7讲　函数的零点与方程的解

第7讲函数的零点与方程的解课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解函数零点与方程解的关系.2.了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.判断函数零点所在区间本讲是高考的热点，主要考查函数是否存在零点，判断函数的零点个数，利用零点（方程实根）的存在情况求相关参数的范围，题型以选择题、填空题为主，有时与导数等知识综合考查，一般难度较大.备考时，要掌握函数零点存在定理及数形结合思想.判断函数的零点个数2021北京T15；2019全国卷ⅢT5函数零点的应用2023天津T15；2022天津T15；2020天津T9；2019浙江T9学生用书P0431.函数零点的概念对于函数y＝f（x），我们把使①f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.注意零点不是点，是满足f（x）＝0的实数x.2.三个等价关系3.零点存在定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有④f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间⑤（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得⑥f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解.注意（1）函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点.（2）对于连续函数f（x），在[a，b]上，f（a）·f（b）＜0是f（x）在（a，b）上存在零点的充分不必要条件.规律总结（1）若图象连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则函数f（x）至多有一个零点.（2）图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值同号.4.二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的⑦零点所在区间⑧一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思维拓展给定精确度ε，用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤：1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0.2.求区间（a，b）的中点c.3.计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：（1）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；（2）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；（3）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c.4.判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2～4.1.下列说法正确的是（D）A.函数的零点就是函数的图象与x轴的交点B.若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0C.二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac≤0时没有零点D.函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数解2.函数y＝3x－lnx的零点所在区间是（BA.（3，4） B.（2，3） C.（1，2） D.（0，1）解析因为y＝3x在（0，＋∞）上单调递减，y＝－lnx在（0，＋∞）上单调递减，所以函数y＝3x－lnx在（0，＋∞）上单调递减.又当x＝2时，y＝32－ln2＞0；当x＝3时，y＝1－ln3＜0，两函数值异号，所以函数y＝3x－lnx的零点所在区间是（23.已知函数f（x）＝x2＋x－2，x≤0，－1+lnx，解析当x≤0时，由x2＋x－2＝0，得x＝－2.当x＞0时，由－1＋lnx＝0，得x＝e.所以f（x）的零点为－2，e.4.已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个.解析依题意，f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，根据零点存在定理可知，f（x）在区间（2，3），（3，4），（4，5）上均至少含有1个零点，故函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个.学生用书P044命题点1判断函数零点所在区间例1（1）[2024海南模拟]函数f（x）＝x＋sinx－2的零点所在区间为（B）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）解析因为f'（x）＝1＋cos≥0，所以f（x）在定义域内单调递增.因为f（1）＝－1＋sin1＜0，f（2）＝sin2＞0，所以函数f（x）的零点在（1，2）内.故选B.（2）函数f（x）＝log3x＋x－2的零点所在的区间为 （B）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）解析解法一函数f（x）＝log3x＋x－2的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增.由题意知f（1）＝－1＜0，f（2）＝log32＞0，根据零点存在定理可知，函数f（x）＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间（1，2）内.故选B.解法二将判断函数f（x）的零点所在的区间转化为判断函数g（x）＝log3x，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（1，2）.故选B.方法技巧确定函数零点所在区间的常用方法（1）利用函数零点存在定理：先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.（2）数形结合法：画函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，也可转化为观察两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.训练1若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（A）A.（a，b）和（b，c）内B.（－∞，a）和（a，b）内C.（b，c）和（c，＋∞）内D.（－∞，a）和（c，＋∞）内解析因为f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0，所以f（a）·f（b）＜0，f（b）·f（c）＜0，所以函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内.故选A.命题点2判断函数的零点个数例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为（B）A.2 B.3 C.4 D.5解析f（x）＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx（1－cosx），令f（x）＝0，则sinx＝0或cosx＝1，所以x＝kπ（k∈Z），又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.（2）[2024江苏苏州常熟中学模拟]设定义域为R的函数f（x）＝｜lgx|,x>0，－x2－2x，x≤0，则关于x的函数y＝2f2（A.3 B.7 C.5 D.6解析根据题意，令2f2（x）－3f（x）＋1＝0，得f（x）＝1或f（x）＝12.作出yf（x），y＝1，y＝12由图象可得f（x）的图象与直线y＝1和y＝12分别有3个和4个交点，故关于x的函数y＝2f2（x）－3f（x）＋1的零点的个数为方法技巧判断函数零点个数的方法（1）直接法：令f（x）＝0，解方程可得.（2）利用函数的零点存在定理：利用函数的零点存在定理结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）判断.（3）图象法：将判断函数f（x）零点个数转化为判断函数f（x）的图象与x轴交点的个数，或将函数f（x）拆成两个函数h（x）和g（x）的差的形式，判断函数y＝h（x）和y＝g（x）的图象的交点个数.训练2（1）定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且x∈[－1，1]时，f（x）＝1－x2.若函数g（x）＝｜lgx|,x>0，ex，x≤0，则函数h（[－6，6]内的零点个数为（B）A.14 B.13 C.12 D.11解析易得函数y＝f（x）是周期为2的函数，因为x∈[－1，1]时，f（x）＝1－x2，所以作出y＝f（x）的图象，如图所示.再作出函数g（x）＝｜lgx|,x>0，e[2023河南省部分学校押题信息卷]设f（x）是定义在R上且周期为5的奇函数，f（3）＝0，则f（x）在[0，10]内的零点个数最少是（D）A.4 B.6 C.7 D.9解析因为f（x）是定义在R上且周期为5的奇函数，所以f（0）＝f（5）＝f（10）＝0.又f（3）＝0，所以f（3）＝f（8）＝0，f（－3）＝f（2）＝f（7）＝0.f（－52）－f（52），f（－52）＝f（－52＋5）＝f（52），所以f（－52）＝f（52）＝0，f（152）＝f（52＋5）＝f（52）＝0，故零点至少有0，2，52，3，5，7，8，152，10，则f（命题点3函数零点的应用角度1根据函数零点个数求参数的范围例3函数f（x）＝4－x2，x≤2，log3（x－1),x>2，g（x）＝kxA.（22－6，0） B.（23－6，0）C.（－2，0） D.（25－6，0）解析作出函数f（x）＝4－x2，x≤2，log3（x－1),x>2的图象，如图所示.g（x）＝kx－3k＝k（x－3），故g（x）过定点（3，0），设过（3，0）且与y＝4－x2相切的直线为l，切点为P（x0，4－x02），x0＜2，因为y'＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0＝4－x02x0－3，解得x0＝3－5或x0＝3＋5角度2根据函数零点的范围求参数的范围例4已知函数f（x）＝3x－1+axx.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（BA.（－∞，43） B.（0，4C.（－∞，0） D.（43，＋∞解析由f（x）＝3x－1+axx＝0，可得a＝3x－1x.令g（x）＝3x－1x，x∈（－∞，－1）.由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则函数g（x）的值域即为实数a的取值范围.因为函数y＝3x和y＝－1x在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函数g（x）在（－∞，－1）上单调递增，所以g（x）＝3x－1x＜3－1＋1＝43，且g（x）＝g（x）的值域为（0，43），因此，实数a的取值范围是（0，43方法技巧已知函数零点情况求参数取值范围的方法（1）直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围.（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题.（3）数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，最后数形结合求解.角度3函数零点（或方程根）的和例5[2023广东六校第一次联考]定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＋f（x）＝0，f（x）＝f（2－x）；且当x∈[0，1]时，f（x）＝x3－x2＋x.则方程7f（x）－x＋2＝0所有的根的和为（A）A.14 B.12 C.10 D.8解析由f（－x）＋f（x）＝0，f（x）＝f（2－x）可得f（x）为奇函数，且图象关于直线x＝1对称，且易得f（x）的周期为4.当x∈[0，1]时，f（x）＝x3－x2＋x，此时f'（x）＝3x2－2x＋1＝3（x－13）2＋23＞f（x）＝x3－x2＋x在[0，1]上单调递增.综上，可画出y＝f（x）的部分图象如图所示.方程7f（x）－x＋2＝0的根，即y＝f（x）与y＝17（x－2）的图象的交点的横坐标，作出直线l：y＝17（x－2），易知直线l也关于点（2，0）对称且y＝f（x）与[－5，2），（2，9]上均有3个交点，且关于点（2，0）对称，加上点（2，0）共7个交点，所以方程7f（x）－x＋2＝0所有的根的和为3×2×2＋2＝14.故选A.方法技巧解函数零点（或方程根）的和的问题的方法（1）把函数零点转化为方程的根，通过解方程，求出方程的所有根，再求出这些根的和.（2）作出函数的草图，通过函数的图象的对称性，得出函数零点的对称性，从而求出这些零点的和.训练3（1）[2023湖北省沙市中学模拟]若函数f（x）＝lnx＋x2＋a－1在区间（1，e）内有零点，则实数a的取值范围是（A）A.（－e2，0） B.（－e2，1）C.（1，e） D.（1，e2）解析函数f（x）的定义域为（0，＋∞），因为函数y＝lnx与y＝x2在（0，＋∞）上均单调递增，所以函数f（x）＝lnx＋x2＋a－1在（0，＋∞）上单调递增，则由函数f（x）在区间（1，e）内有零点知f（1）f（e）＜0，即a（e2＋a）＜0，解得－e2＜a＜0，故选A.（2）[2024江西抚州模拟]已知函数f（x）＝2x+3，x≤0，[f（x）]2－f[f（x）]的所有零点之和为（D）A.2 B.3 C.0 D.1解析令t＝f（x），则h（t）＝t2－f（t），令h（t）＝0，可得t2＝f（t），当t＞0时，由t2＝f（t），可得t2＝（t－2）2，即－4t＋4＝0，解得t＝1；当t＜0时，由t2＝f（t），可得t2＝2t＋3，即t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去），所以t＝±1，即f（x）＝±1.当x＞0时，令（x－2）2＝1或（x－2）2＝－1（舍去），解得x＝1或x＝3；当x＜0时，令2x＋3＝1或2x＋3＝－1，解得x＝－1或x＝－2，所以函数g（x）＝[f（x）]2－f[f（x）]的零点之和为1＋3－1－2＝1.故选D.（3）[多选/2023廊坊模拟]已知函数f（x）＝｜x2＋3x＋1｜－a｜x｜，则下列结论正确的是（AC）A.若f（x）没有零点，则a∈（－∞，0）B.若f（x）恰有2个零点，则a∈（1，5）C.若f（x）恰有3个零点，则a＝1或a＝5D.若f（x）恰有4个零点，则a∈（5，＋∞）解析f（0）＝1≠0，所以x＝0不是f（x）的零点；当x≠0时，由f（x）＝0，整理得a＝｜x＋1x＋3｜，令g（x）＝｜x＋1x＋3｜，则函数f（x）的零点个数即为函数g（x）＝｜x＋1x＋3｜的图象与直线y＝a的交点个数，作出函数g（x）＝｜x＋1x＋由图可知，若f（x）没有零点，则a∈（－∞，0），故A正确；若f（x）恰有2个零点，则a∈{0}∪（1，5），故B不正确；若f（x）恰有3个零点，则a＝1或a＝5，故C正确；若f（x）恰有4个零点，则a∈（0，1）∪（5，＋∞），故D不正确.故选AC.学生用书P046复合函数的零点问题角度1判断复合函数的零点个数例6已知函数f（x）＝ex，x<0，6x3－9x2+1，x≥0，则g（x）＝2[f（xA.2 B.3 C.4 D.5解析由2[f（x）]2－3f（x）－2＝0，解得f（x）＝－12或f（x）＝当x≥0时，f（x）＝6x3－9x2＋1，则f'（x）＝18x2－18x＝18x（x－1）.当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0.因此函数f（x）＝6x3－9x2＋1在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，且f（0）＝1，f（1）＝－2，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，作出函数f（x）的图象，如图中的实线所示.结合图象可知，直线y＝－12，直线y＝2与f（x）的图象共有3个不同的交点所以g（x）的零点个数为3，故选B.方法技巧复合函数的零点个数问题的求解关键：一是注意观察图象特征；二是将外层函数的定义域和内层函数的值域准确对接.训练4[多选/2024云南省下关第一中学模拟]函数y＝f（x）和y＝g（x）在[－2，2]上的图象分别如图1，2所示.则以下四个说法正确的是（ACD）A.方程f（g（x））＝0有且仅有6个根B.方程g（f（x））＝0有且仅有3个根C.方程f（f（x））＝0有且仅有5个根D.方程g（g（x））＝0有且仅有4个根解析易得函数f（x）有3个零点，分别设为m1，m2，m3，令m1＜m2＜m3，则有m1∈（－2，－1），m2＝0，m3∈（1，2）.函数g（x）有2个零点，分别设为n1，n2，令n1＜n2，则有n1∈（－2，－1），n2∈（0，1）.对于A，方程f（g（x））＝0的根的个数即g（x）的图象与直线y＝m1，y＝0，y＝m3的交点个数之和，如图1，易得总共有6个交点，故A正确.对于B，方程g（f（x））＝0的根的个数即f（x）的图象与直线y＝n1，y＝n2的交点个数之和，如图2，易得总共有4个交点，故B错误. 图1 图2对于C，方程f（f（x））＝0的根的个数即f（x）的图象与直线y＝m1，y＝0，y＝m3的交点的个数之和，如图3，易得总共有5个交点，故C正确.对于D，方程g（g（x））＝0的根的个数即g（x）的图象与直线y＝n1，y＝n2的交点个数之和，如图4，易得总共有4个交点，故D正确.故选ACD. 图3 图4角度2已知复合函数零点个数求参数例7[2023广西示范性高中联考]已知函数f（x）＝2x－1，x<1，x2－6x+6，x≥1，若函数F（x）＝[f（x）]2－2af（x）＋解析作出f（x）图象如图所示，F（x）有5个零点等价于[f（x）]2－2af（x）＋3a－1＝0有5个不等实根.设f（x）＝t，则t2－2at＋3a－1＝0有两个不等实根，∴Δ＝4a2－4（3a－1）＞0，即a＜3－52或a＞3+52.记t2－2at＋3a－1＝0的两根为t1，t2，则t1=1，0<t2<1或－3<t1≤0，0<t2<1.当t1＝1时，1－2a＋3a－1＝0，解得a＝0，此时t2＝－1，不满足0＜t方法技巧已知复合函数零点个数求参数问题的解题关键：一是会转化，会把函数的零点转化为方程的根；二是会构造，通过换元法，把复合方程的根的问题转化为更简单的方程根的问题；三是会作图，明晰“草图不草”；四是会用图，通过观察图象特征，求得参数的取值范围.训练5[2023云南大理模拟]若函数F（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c有5个零点，则实数b的取值范围是（0，解析函数F（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c有5个零点，等价于关于x的方程｜（12）｜x令f（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＝t（t＞0），则有t＋bt＋c＝0，即t2＋ct＋b＝0（t＞画出f（x）＝｜（12）｜x｜－12数形结合可知，若｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c＝0有5个不同的根，则t2＋ct＋b＝则14＋12c＋b＝0，且－c2＜12，02＋c×0＋b＞0，解得b＞0，c由14＋12c＋b＝0，得c＝－2b－12＞－1，解得b由14＋12c＋b＝0，得b＝－12c－14＞0，解得c综上所述，b∈（0，14），c∈（－1，－121.[命题点2/2024四川省成都市零诊]函数f（x）＝ex－2023｜x－2｜的零点个数为（D）A.0 B.1 C.2 D.3解析f（x）＝ex－2023｜x－2｜＝ex－2023（x－2),x≥2，2023x＋4046，则f'（x）＝ex－2023，由f'（x）＞0，得x＞ln2023，由f'（x）＜0，得2≤x＜ln2023，所以f（x）在[2，ln2023）上单调递减，在（ln2023，＋∞）上单调递增，所以f（x）在[2，＋∞）上的最小值为f（ln2023）＝eln2023－2023ln2023＋4046＝2023（3－ln2023）＜0.因为f（2）＝e2－2023×2＋4046＝e2＞0，f（ln20232）＝eln20232－2023ln20232＋4046＝2023（2025－2ln2023）＞0，所以f（xln2023）和（ln2023，＋∞）上各有一个零点.当x＜2时，f（x）＝ex＋2023x－4046，则f'（x）＝ex＋2023＞0，所以f（x）在（－∞，2）上单调递增，因为f（2）＝e2－2023×2＋4046＝e2＞0，f（0）＝e0－4046＝－4045＜0，所以f（x）在（－∞，2）上有一个零点.综上，f（x）共有3个零点，故选D.2.[命题点3角度1/2023天津高考]若函数f（x）＝ax2－2x－｜x2－ax＋1｜有且仅有两个零点，则a的取值范围为（－∞，0）∪（0，1）∪（1，＋∞）.解析当a＝1时，函数f（x）只有一个零点－1，不符合题意；当a＝0时，函数f（x）只有一个零点－1，不符合题意；当a＝－1时，函数f（x）有两个零点，分别为－1和－12，符合题意若a≠0且a≠±1，分以下两种情况：①当x2－ax＋1≥0时，f（x）＝ax2－2x－｜x2－ax＋1｜＝ax2－2x－（x2－ax＋1）＝（a－1）x2＋（a－2）x－1＝（x＋1）[（a－1）x－1].令f（x）＝0，由a≠0且a≠±1，得x1＝－1，x2＝1a－1，且x1≠x2.当x＝－1时，由ax＋1≥0，得a≥－2；当x＝1a－1时，由x2－ax＋1≥0得a≤2，故当x2－ax＋1－2≤a≤2，且a≠0，a≠±1.②当x2－ax＋1＜0时，f（x）＝ax2－2x－｜x2－ax＋1｜＝ax2－2x＋（x2－ax＋1）＝（a＋1）x2－（a＋2）x＋1＝（x－1）[（a＋1）x－1]，令f（x）＝0，由a≠0且a≠±1，得x3＝1，x4＝1a+1，且x3≠x同理，当x＝1时，a＞2；当x＝1a+1时，a＜综上，a的取值范围为（－∞，0）∪（0，1）∪（1，＋∞）.3.[命题点3角度1]已知函数f（x）＝lnx，x>1，1－x3，x≤1，若函数y＝f（x）A.（－34，0） B.（－∞，－3C.（－3，－34） D.（0，1解析作出函数f（x）＝lnx，x>1，y＝a（x－1）与曲线y＝lnx相切于点（1，0）时，a＝1，故当a＝0或a≥1时，直线y＝a（x－1）与函数f（x）的图象恰有一个交点，当0＜a＜1时，直线y＝a（x－1）与函数f（x）的图象恰有两个交点；②当直线y＝a（x－1）与曲线y＝1－x3（x≤1）相切时，设切点的坐标为（x0，1－x03）（x0≤1），则a（x0－1）＝1－x03，且a＝－3x02，所以－3x02（x0－1）＝1－x03，解得x0＝1，此时a＝－3，或x0＝－12，此时a＝－34，当－34＜a＜0时，直线y＝a（x－1）与函数f（x）的图象恰有一个交点，当a＝－34或a≤－3时，直线y＝a（x－1）与函数f（x）的图象恰有两个交点，当－3＜a＜－34时，直线y＝a（x－1）与函数f（4.[思维帮角度1/2023鄂东南省级示范高中联考]已知函数f（x）＝3x+33，x≤1，｜log3（x－1)|,x>1，则函数F（x）＝fA.6 B.5 C.4 D.3解析当x≤1时，f（x）＝3x+33＝3x－1＋1，先作出函数y＝3x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，最后向上平移1个单位长度，取其在x≤1的部分，就得到函数f（－∞，1]上的图象，如图1所示，则函数f（x）在（－∞，1]上单调递增，且f（x）＞1；当x＞1时，f（x）＝｜log3（x－1）｜，先作出函数y＝log3x的图象，再将其向右平移1个单位长度，最后将x轴下方的图象关于x轴翻折，就得到函数f（x）＝｜log3（x－1）｜的图象，如图1所示.图1令F（x）＝f[f（x）]－3f（x）－12＝0，f（x）＝t，则f（t）－3t－12＝0，即f（t）＝3t＋12，如图2，作出直线y＝3x＋12，由图2可知，直线y＝3x＋12与函数y＝f（x）的图象在0＜x＜1与1＜图2所以方程f（t）－3t－12＝0有两个不等实根t1，t2，其中0＜t1＜1，1＜t2＜如图3，因为0＜t1＜1，所以直线y＝t1和y＝f（x）的图象有两个交点，即方程f（x）＝t1有两个不等实根；因为1＜t2＜2，所以直线y＝t2和y＝f（x）的图象有三个交点，即方程f（x）＝t2有三个不等实根.图3综上，函数F（x）＝f[f（x）]－3f（x）－12共有5个零点，故选学生用书·练习帮P2721.[2024广东省茂名市模拟]函数f（x）＝ex－x－2的一个零点所在的区间为（B）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）解析因为f（1）＝e－1－2＜0，f（2）＝e2－4＞0，根据零点存在定理得函数f（x）在（1，2）内有零点，所以选B.2.函数f（x）＝x2＋x－2A.3 B.2 C.7 D.0解析解法一（直接法）由f（x）＝0得x≤0，x2解得x＝－2或x＝e.因此函数f（x）共有2个零点.故选B.解法二（图象法）函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有2个零点.故选B.3.[2024安徽模拟]已知x1＋2x1＝0，x2＋log2x2＝0，3－x3－log2x3＝0A.x1＜x2＜x3 B.x2＜x1＜x3C.x1＜x3＜x2 D.x2＜x3＜x1解析设函数f（x）＝x＋2x，易知f（x）在R上单调递增，f（－1）＝－12，f（0）＝1，即f（－1）f（0）＜0，由函数零点存在定理可知，－1＜x1＜0.设函数g（x）＝x＋log2x，易知g（x）在（0，＋∞）上单调递增，g（12）＝－12，g（1）＝1，即g（12）g（1）＜0，由函数零点存在定理可知，12＜x2＜1.设函数h（x）＝（13）x－log2x，易知＋∞）上单调递减，h（1）＝13，h（x3）＝0，所以h（1）＞h（x3由函数单调性可知，x3＞1，即－1＜x1＜0＜x2＜1＜x3，故选A.4.已知x1是lnx＋x＝5的根，x2是ln（4－x）－x＝1的根，则（A）A.x1＋x2＝4 B.x1＋x2∈（5，6）C.x1＋x2∈（4，5） D.x1＋x2＝5解析由lnx＋x＝5，得lnx＝5－x，因为函数y＝lnx在（0，＋∞）上单调递增，函数y＝5－x在（0，＋∞）上单调递减，所以由函数y＝lnx与函数y＝5－x的图象（图略）可知lnx＝5－x有唯一解x1.由ln（4－x）－x＝1，得ln（4－x）＝1＋x，令t＝4－x（t＞0），得lnt＝5－t，由题意可知4－x2是lnt＝5－t的根，所以x1＝4－x2，所以x1＋x2＝4，故选A.5.[2024湖北联考]设函数f（x）＝x2+2x+1，x≤0，lnx，x>0，则函数y＝f（fA.4 B.5 C.6 D.7解析令t＝f（x）－1，则由f（t）－1＝0即f（t）＝1，解得t＝－2或0或e，即f（x）－1＝－2或0或e，所以f（x）＝－1或1或e＋1.在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f（x），y＝－1，y＝1，y＝e＋1的图象，如图所示，由图象可知y＝f（x）的图象与y＝－1有1个交点，即f（x）＝－1有1个根；y＝f（x）的图象与y＝1有3个交点，即f（x）＝1有3个根；y＝f（x）的图象与y＝e＋1有2个交点，即f（x）＝e＋1有2个根.所以函数y＝f（f（x）－1）－1的零点个数为1＋3＋2＝6，故选C.6.[2024辽宁省实验中学模拟]函数f（x）＝x3－x2＋5，x∈[－2，－1]有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.2）时，至少需要进行（B）次中点函数值的计算.A.2 B.3 C.4 D.5解析f（－2）＝－8－4＋5＝－7＜0，f（－1）＝－1－1＋5＝3＞0，｜－2－（－1）｜＝1＞0.2，取区间[－2，－1]的中点x1＝－2－12＝－32，且f（－32）＝－278－94＋5＝－58＜0，所以x0∈（－32，－1）.｜－32－（－1）｜＝12＞0.2，取区间（－32，－1）的中点x2＝－32－12＝－54，且f（－54）＝（－54）3－（－54）2＋5＞0，所以x0∈（－32，－54）.｜－32－（－54）｜＝14＞0.2（－118）2＋5＞0，所以x0∈（－32，－118）.因为｜－118－（－32）｜＝18＜0.27.已知函数f（x）＝lgx＋32x－9在区间（n，n＋1）（n∈Z）上存在零点，则n＝5解析易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）在其定义域内单调递增，由函数零点存在定理知，若函数f（x）在区间（n，n＋1）（n∈Z）上存在零点，则有f（n）<0，f（n+1）>0.又f（4）＝lg4＋6－9＝lg4－3＜0，f（5）＝lg5f（6）＝lg6＋9－9＝lg6＞0，所以函数f（x）在（5，6）上存在零点，所以n＝5.8.[2024湖南省株洲市第二中学模拟]设[x]表示不超过x的最大整数，则方程x2－4[x]＋3＝0的所有根的和为4＋5.解析因为x2－4[x]＋3＝0，所以[x]＝x2+34，又x－1＜[x]≤x，所以x－1＜x2+34≤x.由x2+34＞x－1，得x2－4x＋7＝（x－2）2＋3＞0，该不等式恒成立.由x2+34≤x，得x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3，则[x]＝1或[x]＝2或[x]＝3.当[x]＝1时，x2－4[x]＋3＝0可化为x2－1＝0，解得x＝±1，又[x]＝1，所以x＝1；当[x]＝2时，x2－4[x]＋3＝0可化为x2－5＝0，解得x＝±5，又[x]＝2，所以x＝5；当[x]＝3时，x2－4[x]＋3＝0可化为x2－9＝0，解得x＝±3，又[x]＝3，所以x＝3.所以方程x2－4[x]＋3＝9.[2023全国卷乙]函数f（x）＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是（B）A.（－∞，－2） B.（－∞，－3）C.（－4，－1） D.（－3，0）解析由题意知f'（x）＝3x2＋a，要使函数f（x）存在3个零点，则f'（x）＝0要有2个不同的根，则a＜0.令3x2＋a＝0，解得x＝±－a3，所以f（x）在（－∞，－－a3）和（－a3，＋∞）上单调递增，在（－－a3，－a3）上单调递减，所以要使f（x）存在3个零点，则f（－－a10.已知函数f（x）＝logax－4x－1（a＞0且a≠1）在（12，1）上有零点，则实数a的取值范围为（DA.（0，14） B.（14，1）∪（1，C.（0，14] D.（14，1解析函数f（x）在（12，1）上有零点，即方程f（x）＝0在（12，1）上有实数根，即logax＝4x－1在（12，1）上有实数根.设g（x）＝logax（a＞0且a≠1），h（4x－1，易知函数h（x）在R上单调递增，且h（0）＝14，h（12）＝12，h（1）＝1，h（x）＝4x－1＞0恒成立.若a＞1，则当x∈（0，1）时，g（x）＝logax＜0，logax＝4x－1在（12，1）上无实数根，故0＜a＜1.原问题可转化为函数g（x）与hg（x）＝logax（0＜a＜1）和h（x）的大致图象，如图所示，数形结合，得0<a<1，g（12）＞ℎ（1211.[多选/2023南京市二模]已知函数f（x）＝｜ex－a｜，a＞0.下列说法正确的为（BCD）A.若a＝1，则函数y＝f（x）与y＝1的图象有两个公共点B.若函数y＝f（x）与y＝a2的图象有两个公共点，则0＜a＜1C.若a＞1，则函数y＝f（f（x））有且仅有两个零点D.若y＝f（x）的图象在x＝x1和x＝x2处的切线相互垂直，则x1＋x2＝0解析解法一（解方程）对选项A，当a＝1时，令f（x）＝｜ex－1｜＝1，解得ex＝0（舍去）或ex＝2，则x＝ln2，故函数y＝f（x）与y＝1的图象只有一个公共点，A错误.对选项B，由｜ex－a｜＝a2有ex＝a＋a2或ex＝a－a2，由a＞0得a＋a2＞0，则ex＝a＋a2必有唯一解，故当函数y＝f（x）与y＝a2的图象有两个公共点时，ex＝a－a2必有解，故a－a2＞0，解得0＜a＜1，故B正确.对选项C，设f（f（x））＝0，t＝f（x），则f（t）＝0，即｜et－a｜＝0，t＝lna，所以f（x）＝lna，即｜ex－a｜＝lna，解得ex＝a＋lna或ex＝a－lna，当a＞1时，a＋lna＞0，ex＝a＋lna必有唯一解，当a＞1时，0＜lna＜a，故ex＝a－lna也有唯一解，故f（f（x））＝0有两个不等实根，故C正确.对选项D，不妨取f（x1）＝a－ex1，f（x2）＝ex2－a，则f'（x1）＝－ex1，f'（x2）＝ex2，由y＝f（x）的图象在x＝x1和x＝x2处的切线相互垂直，得f'（x1）f'（x2）＝－1，即－ex1ex2＝－1，ex1＋解法二（数形结合）对选项A，当a＝1时，f（x）＝｜ex－1｜，作出y＝f（x）的图象和直线y＝1，如图（1），注意到直线y＝1是y＝f（x）在x＜0时的图象的一条渐近线，故函数y＝f（x）的图象与直线y＝1只有一个公共点，A错误.对选项B，当a＝1时，由选项A的判断过程知，不合题意，舍去；当a＞1时，f（0）＝｜1－a｜＝a－1，a2＞a，直线y＝a是y＝f（x），x＜0的图象的一条渐近线，如图（2），直线y＝a2在渐近线y＝a的上方，此时函数y＝f（x）的图象与直线y＝a2只有一个公共点，不合题意，舍去；当0＜a＜1时，f（0）＝｜1－a｜＝1－a，a＞a2，直线y＝a是y＝f（x），x＜lna的图象的一条渐近线，如图（3），直线y＝a2在渐近线y＝a与x轴之间，函数y＝f（x）的图象与直线y＝a2有两个公共点，适合题意，故0＜a＜1.B正确.下同解法一.12.[多选/2024山西运城调研]已知函数f（x）＝2（x+2）2，x≤－1，｜log2（x+1)|,x＞－1，若关于x的方程f（x）＝m有四个不等实