高中数学-解三角形应用举例第一课时教学设计学情分析教材分析课后反思

解三角形的应用举例（1）课标分析

课标要求：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决

一些简单的三角形度量问题。

课标分析：

“三角形边长和角度关系的探索”是掌握正弦定理、余弦定理的前提，“解决一些简单

的三角形度量问题”是掌握正弦定理、余弦定理的目的。本节课是知识点识记的后续，侧

重于具体问题的分析，具体问题的解决。

课标要求：

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实

际问题。

课标分析：

解决一些与“测量和几何计算”有关的实际问题，必然要重视“数形结合”，通过画图

去分析题目的条件，寻求解决具体问题的方法策略。

解三角形的应用举例（1）学情分析

1.高二39班的学生行动活泼、富有好胜心理,并且大部分学生已养成良好的学习习惯，

能在课堂上大胆地表达自己的见解。因此，在这节课中尽量教给学生，大胆地放手让学生

自主探究、合作交流，充分发挥学生的主体作用，从而使学生轻松学到知识。

2.由于学生的认知结构，知识基础的局限性，学习任务的布置一定要具体，预防意外

情况的出现，以及意外情况出现时的以及措施。提问一定要科学，避免歧义，引起不表要

的解释，影响教学进度。

解三角形的应用举例（1）的评测练习

1.若点A在点C的北偏东30,点B在点C的南偏东60,且AC=BC,则点A在点B

的（）

A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°

2.在2（）（）加高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30和6°，则塔高为（）

200G4006400200

----m----m--m--m

A.3B.3C.3D.3

3.在地面上一点。测得一电视塔尖的仰角为45°,再向塔底方向前进100m,又测得塔尖的

仰角为60°,则此电视塔高约为（）

A.237mB.227mC.247mD.257m

4.（2011•上海卷）在相距2千米的A、8两点处测量目标C,若NC4B=75°,

NCBA=60°,则A、C两点之间的距离是千米.

5.某人向正东方向走了“加，他向右转150。，然后朝新方向走了3km,结果他离出

发点恰好为后板,那么x的值是

6.如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、8,

观察对岸的点C,测得NC48=75,/。34=45,且例=100米.

（1）求sin75°；

（2）求该河段的宽度.

7.（2012•江西上高二中）如图，要在一块半径为1m,圆心角

为60°的扇形纸板A°B上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点。在。4上,

点用、N在OB上,设/80尸=。.平行四边形MNPQ的面积为S.

(1)求S关于°的函数关系式；

(2)求S的最大值及相应8的值.

8.如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西6。的方向以每小

时6千米的速度步行了1分钟以后，在点。处望见塔的底端8在东北方向上，已知沿途塔

A

的仰角ZAEB=a,a的最大值为60.

(1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角a最大时，走了几分钟;

(2)求塔的高AB.

D

解三角形的应用举例（1）的评测练习答案

［解析］如图，^DAC=60\ZOAC=60tZDAB^309

”_200后

C/C-=------AO=oc=型。G

在A40c中，AO=2()0,A3,3

nc200G6200

在八旬£)中，333,

8。=2。。-理=出

因此塔高33.

3.【答案】A

【解析】如图，NO=45°,ZACB=60°,DC=100,ZZMC=15°,

AC=>sin45

因为sin15。，

100sin450-sin60

Afi=AC-sin60°=

所以sin150

lOOx—

22

y/6-y/2

所以选A.

4.【答案】R

ACAB

［解析］由题意，C=180o-75°-60o=45°,由正弦定理得sin60sin450,所以

AC=---xsin60=y/b

sin450

5.【答案】或石

【解析】先根据已知条件画出草图，再用余弦定理或正弦定理列方程，

(百尸=3?+V-223xcos3()。，解得犬二百或工=2百，故填2月或班

6.［解析］(1)sin75=sin(30+45)=sin30°cos450+cos30°sin45°

1V2V3V2V6+V2

_—x------1-----X------------------

22224

(2)ZC4B=75\ZCBA=45\ZACB=60J

ABBCABsin75°

-------------=--------------nC----------------

VsinZACBsinZCAS,:.sin60°.

如图过点B作3。垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度.

BD

sin/BCD=

在Rt^sBDC中,NBCD=NCBA=45",~BC

丝巫，45。50(3+匹50(3+.

BD=BCsin450=sin60=3..•.该河段的宽度3米.

7.【解析】⑴在A°QP中，""=60。—外NOPQ=8,

_\OP\_=_\QP\_

由正弦定理，sin/°QPsin/QOP,所以

lxsin(60-0)2sin(60-0)

IQP1=---------------=---------7=------

sin0V3

过P作PE_LQB于&所以归目T°HsinO=sin。，

S=阿.阀|=sin6-2呵6;二”

所以力

=•sin"(-cos^-―sin0)=sin0(cos0--sin0)(。e(0,—))

2233

5=-sin20--(\-cos20)

⑵26

sin2。4—cos2。)---=-尸sin(2。4—)———

26^/366

20+-=-0=-二

当62,即6时，s有最大值为6.

8.【解析】(1)依题意知在AOBC中，

•；NBCD=30,NDBC=180-45°=135°,

.ZBDC=18O"-13y-3O=15；

CD=6000x—=100(/??)

CDBC

,:由正弦定理得sinZD5CsinNBDC,

100x历史

=________4___

CDsinZBDC100xsin15°加

sinZDBC~sin135°~2=50(6-1)(加)

AB

tana=——

在用AABE1中BE

为定长，.•.当BE的长最小时a最大，此时BE,CD,

当BEJ_QD时，在RtABEC中,

=50(73-1)--=25(3-73)z、

EC=BC-cosNBCE2(m)f

设该人沿南偏西6。的方向走到仰角a最大时，走了，分钟,

,EC25(3-6)3--

f—____xr)(I—_________—_____

则60001004(分钟).

(2)由(2)知当a取得最大值6。时，BE上CD,

在RtABEC中,BE=BC•sin/BCD

•AB=BEtan60=BC-sinZBCE-tan60

=50（百-1）.LG=25（3-G）

2（加）

...所求塔高为25（3-

解三角形的应用举例（1）教材分析

《1.2解三角形的应用举例》是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修⑤第一章

第二节的内容。本节是学习了U.1正弦定理和余弦定理》之后编排的。经过前面的学习，

学生已经认识了正弦定理，余弦定理，并了解了两个定理的证明方法，此时从学生已有的

知识和经验出发，去研究正弦定理和余弦定理应用是自然而然的。学好这部分知识，能够

让学生更好地掌握正弦定理和余弦定理，让学生得到“学有所用”的直观感受，并在应用

问题的解决过程中认识应用题的解题流程。

本节课内容为课本PU-15,共有5道例题，5道练习，对于一节课的容量来说有些太

多，给学生的自由时间必然受到压缩。一定要合理安排各个课堂阶段，让学生学的更轻松，

效果更好。

“一师一优课”“一课一名师”

观课评课记录

科目数学讲课人讲课时间2016.5.4

课题必修五1.2解三角形应用举例第一课时

评课人邢子斌、闵俊等8人评课时间2016.5.5

评课纪实

一、讲课人设计说明

本节课的内容正弦定理、余弦定理在实际测量中的应用。在教学设计中，我注重启发引导

学生经过探索、分析得到思维流程，注重引导学生用不同的方法探索角与线的相关关系，

培养学生的思维能力。在实施过程中尽可能利用课本提供的问题情境，为学生提供自主探

索发现的空间，然后再去总结，从而使解题流程的展现成为探索活动的自然延续和必要发

展，让学生经历“条件分析——定理选择一一解决问题一一规范回答”的过程，体会正弦

定理与余弦定理解三角形中各发挥的作用，并且注重培养学生的合作交流共同研讨的习惯。

教学过程中注重培养学生体会知识的连贯性，使学生在解题流程上注重模板化；在问题的

分析过程中鼓励学生大胆联想，在解题的过程中注意说理的充分性和逻辑性。力争在三维

目标的指导下，培养学生自主探索，合作交流的好习惯，真正达到师生互动，融会贯通。

二、教师点评1

本节课教学目的明确，教学过程清晰，教学形式符合学科、学生特点，启发诱导符合学生

实际。且例题分析方面很有特点，教学环节紧凑，各个阶段学习任务明确。即通过条件分

析一一定理选择一一解决问题一一规范回答四个阶段，将解决应用实例的过程，总结为标

准的流程；通过多媒体手段，不但体现了思路的清晰程度，同时激发了学生的学习兴趣，

尝到成功的喜悦；教学过程符合当前新课程的理念，开展自主探究活动，对具体问题具体

分析，进行系列合作的探究，通过讨论、交流、归纳等，培养学生运用知识解决问题和开

拓创新精神的能力。

三、教师点评2

教学方法是实现教学目标，体现教学内容的手段，教学方法包括教法和学法两部分。徐老

师在这节课中教学方法运用得当，能充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位，能最大

限度地提高课堂教学效率。这节课体现启发式教学原则和对学生进行学法指导。教师在教

学中，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，使学生积极思维、主动学习、自主学

习，从而达到会学的目的。让学生参与尝试、猜想、试验、探索与发展的过程，培养学生

良好的思维习惯与思维品质。

四、总评

今天听了徐老师的一节《解三角形应用举例（1）》，下面就这节课谈一下我的一些观点和收

获。

本课是以正弦定理、余弦定理有关知识为基础，引出解三角形的应用举例，进而探索解

决距离、高度问题的具体流程，最后利用性质定理进行有关的论证和计算，步步衔接，层

层深入，形成解题链条。学好本课，是对学生解决实际应用问题的一次具体演练，对学生

意义重大。

徐老师教学基本功非常扎实，教学上充满激情，很有创新意识，深受学生喜爱。整个教学

过程始终围绕教学目标展开，层次比较清楚，环节紧凑，并注意引导学生通过观察、分析、

动手实践、自主探索、合作交流等活动，突出体现了学生对知识的获取和能力的培养。具

体体现在以下几个方面：

1.充分展现问题分析的思维流程。在问题的分析时，徐老师给了学生充分的机会展现自己

的思维过程，并对学生问题的回答给出中肯点评，从思维流程规范、严谨的角度进行模板

化教学。

2.引导学生认识解决实际问题的意义所在。使学生更深的体会“数学来源于生活，应用于

生活”的道理，很真实，很自然。

3.注重学生的自主探索。学生所要学习的知识不应当都以定论的形式呈现，而是应当给学

生提供进行探索性的学习的机会，作为教师需要的是加以适当的点拨。徐老师让学生通过

小组合作的方式进行观察、思考和讨论交流，较好地体现了学生的主体性和教师的主导性。

不仅使学生经历了知识的形成过程，而且使学生在获取知识的过程中，学会了与他人的合

作与交流，有助于自身素质的提高。

纵观这节课，可以发现，课堂教学模式发生了根本性的变化，老师不再是简单的知识传授

者，而是一个课堂的组织者、学生情感的唤醒者。在这节课的整个教学过程中学生始终保

持着积极的学习情绪，切身经历了“做数学”的全过程，感受了学习数学的快乐，体验成

功的喜悦。充分体现了新课程“以教师为主导，以学生为主体”的教学理念，充分发挥了

现代信息技术的优势，取得了良好的教学效果。但教学永远是一种追求完美的艺术。我们

每个人都要不断追随完善，逐渐走向成熟、完美。

解三角形应用举例

第一课时新授课

•教学目标

知识与技能：

(1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,

了解常用的测量相关术语

(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高

度测量的问题

过程与方法：

首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生

的实际情况，采用“提出问题一一引发思考一一探索猜想一一总结规律一一反馈训练”的

教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过

多媒.体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这

样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和

矫正。

采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生

逐步构建知识框架。通过5道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一

般方法。教学形式要坚持引导——讨论一归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要

养成良好的研究、探索习惯。

作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间

情感态度与价值观：

激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号

表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力

•教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题

•教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图

能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件

•教学过程

I.课题导入

1、［复习旧知］

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、［设置情境］

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥

不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算

出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、

高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，

或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会

不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会

有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定

理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

II.讲授新课

(1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题

里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

［例题讲解］

(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，

在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,NBAC=51°,NACB=75°。求A、B两

点的距离(精确到0.1m)

启发提问1：AABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2；运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，

题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已

知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得

A8AC

sinZACB=sinZ.ABC

ACsinNACB

AB=sinZABC

55sinZAC8

=smZABC

55sin75。

二sin(180°-51°-75°)

55sin75°

sin54°

Q65.7(m)

答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏

东30、灯塔B在观察站C南偏东6。"，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。

解略：6akm

例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的

方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需

要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内.角与一

边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两.点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得/BCA=

/ACD=4,NCDB=Z,NBDA=凡在AADC和ABDC中，应用正弦定理得

〃sin(y+b)〃sin(y+b)

(夕+

AC=sin[180。-(夕+、+♦)]=siny+5)

£7sinyosiny

BC=sin[180°—(ex+/?+y)]_sin(a+/?+/)

计算出AC和BC后，再在AABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

Ajg=VAC2+BC2—2ACxBCcosa

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得NBCA=60,乙AO30,NCDB=45

,NBDA=60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20"

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，

但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的.还是分析两个定理的特点，结合题目

条件来选择最佳的计算方式。

提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行

的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面.的问题

例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物

高度AB的方法。

图1.3-4

分析:求AB长的关键是先求AE,在AACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA,

再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪

器测得A的仰角分别是。。,CD=a,测角仪器的高是h,那么，在AACD中，根据正弦

定理可得

asinp

Ac=sin(a-^)

AB=AE+h

=ACsina+h

〃sinasin/?

=sin(a-/?)+卜

例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角。=5440',在塔底C处测得

A处的俯角尸=50」'。已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)

B

)a

।

图1.2-5

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？(给时间给学生讨论思考)若在^ABD中

求CD,则关键需要求出哪条边呢？

生：需求出BD边。

师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再根据』BAD=a求得。

解:在AABC中，NBCA=90+4，/ABC=90-。，NBAC=。-尸，NBAD=a.根据

正弦定理，

BCAB

sin(a-夕)_sin(900+p)

BCsin(90°+4)BCcos夕

所以AB=sin(a一夕)=sin(a-⑼

BCcosyffsina

解Rt^ABD中，得BD=ABsin/BAD=sin(a-0)

将测量数据代入上式,得

27.3cos50"l'sin54'4(r

Rn_sin(54°40'-50°r)

27.3cos5(A'sin54’40'

=sin4039'

七177(m)

CD=BD-BC«177-27.3=150(m)

答:山的高度约为150米.

师：有没有别的解法呢？

生：若在AACD中求CD,可先求出AC。

师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC?

生：同理，在AABC中，根据正弦定理求得。(解题过程略)

例5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山

顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25'的方向上,仰角

为8°,求此山的高度CD.

师：欲求出CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？

生：在ABCD中

师：在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件，易计算出哪条边的长?

.生：BC边

解:在AABC中，/A=15°,NC=25°-15°=10,根据正弦定理，

BCAB

sinA=sinC,

ABsinA5sinl50

BC=sinC=sin10°

―7.4524(km)

CD=BCxtan/DBC««BCxtan8弋1047(m)

答:山的高度约为1047米

学生阅读课本4页，了解测量中基线.的概念，并找到生活中的相应例子。

m.课堂练习

课本第14页练习第1、2题

课本第17页练习第1、2、3题

W.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，

建立一个解斜三角形的数学模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

利用正弦定理和余弦定理来解题时，,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的

背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

V