高中数学：圆锥曲线复习题附答案

圆锥曲线复习题

x2

1.如图，已知抛物线Cl：/=y在点A处的切线/与椭圆C2：3+y2=l相交，过点A作

/的垂线交抛物线Ci于另一点B,直线08（。为直角坐标原点）与/相交于点。，记A

（xi，yi）»B（X2,”），且xi>0.

（l）求XI-犬2的最小值；

【分析】（1）点A处的切线方程为丁=2%武-制2,联立椭圆的方程，由△>（）,得OVxJ

〈4+旧,写出直线A8的方程，并联立椭圆的方程，结合韦达定理可得制-肥=筋+看，

再利用基本不等式即可得出答案.

（2）计算点O,B到直线/的距离分别为小，d2,根据条件得到照=?=厂？J=

22

\DB\d2（1+4%1）

4

———;，再求出取值范围.

（超+4）2

【解答】解：（1）点A处的切线方程为y=2xix-x『，

2

y—2xtx—%1

联立避,，得（1+8短）/-8xjx+2xi4-2=0,

b+y2=i

所以△=64xf-4（l+8x/）（2XI4-2）>0,

解得0<XI2<4+V17,

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所以直线AB的方程为产-«+xi2+1,

=__,y2.1

联立‘一一匹"X12,得2jq/+x-2jq3・xi=o,

2

U=y

所以Xl+X2=-药■，

所以XI-X2=2xi+->2,当且仅当X|=★时取等号，

所以司-X2的最小值为2.

(2)记点0,8到直线/的距离分别为力，dz，

Y2

所以。1=11,d2=1+白|2%|+亲1=Jl+4/2：：色),

z2

Jl+%2J4xtv4%1

所以党吟=就"=占又

因为0<x』<4+g,所以」7+4X17,

久12

所以黑=京^4

(0,一),

17

所以黑的取值范围为4

(0,—).

17

【点评】本题考查直线与抛物线，椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于

中档题.

2.过抛物线f=4y的焦点F作不平行于x轴的直线交抛物线于A,8两点，过A,8分别

作抛物线的切线相交于C点，直线C尸交抛物线于。，E两点.

(I)求ZABYCE的值；

(H)证明:\CE\*\DF\=\CD\*\FE\.

【分析】(I)设直线A&y=fcc+l�),利用导数的几何意义求出过抛物线上A、B

两点的切线方程，联立可得C的坐标，从而可得ACE，即可求得以B"CE的值；

(^)设直线C尸为y=/nx+l,分别求出|CE|.|DF|,\CD\,\FE\,分析可得要证明|CE|・|QF1

=\CD\'\FE\,2X3X4+焉(X3+X4)=0,联立直线方程与抛物线方程，由根与系数的关系即

可得证.

【解答】(I)解：设直线AB：y=H+l(人#0),A(xi,yi),BCx2,”).

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v—kx+1

2，，可得』-4履-4=0,则XI+X2=4Z,XIX2=-4.

（xz=4y

抛物线方程为产#,求导得y'=1x.

则过抛物线上4、8两点的切线方程分别是y=和（x-Xi）+yi，y=（x-X2）+”，

HPAC：）'=冬式一^~，BC：＞'=争x-

联立解得。（包产，-1）,又焦点尸（0,1）,

_2]

从而kcE=kc『五丐--p

2

所以kAB，kcE=-1.

9

（II）证明：设直线CF为y=）〃x+l,则。（—记，-1），设拉（X3»”），E（%4，涧），

所以|CE|=vl+m2|x4+—|.\DF]=V1+m2|xs|,\CD\=V14-m2|x3+—|,|FE|=V14-m2|x4|»

故要证明|CE|・|OQ=|CO|•旧印即证仅4+品伏3|=依+赤Ml，

27

即证（必+而）（-X3）—（X3+—）冗4，

、2

即证2X3X4+而（X3+X4）=0，

联"方程）2A得7-4用工-4=0,

Uz=4y

所以A3+X4=4m,13X4=-4,

99

所以2X3X4+而（R3+X4）=2X（-4）+—X4/77=0,

故|CE|・|DF|=|CD|・|FE|.

【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的综合，考查方程思想与运算

求解能力，属于中档题.

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3.已知双曲线C与椭圆篙+竟=1有公共焦点，且它的一条渐近线为y=^x.

（1）求C的标准方程；

（2）过C的右顶点，斜率为2的直线/交C于4,B两点，求|AB|.

【分析】（1）由双曲线的渐近线的方程可设双曲线的方程，由椭圆的方程可得焦点坐标，

由题意可得双曲线的c的值，再由小4c的关系求出a,b的值，进而求出双曲线的方

程；

（2）由（1）可得右顶点的坐标，由题意可得直线/的方程，与双曲线联立求出两根之

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和及两根之积，进而求出弦长|4B|的值.

x2y2X2V2

【解答】解：(1)设C的方程为u--=A(A>0),即不；-——=1,

9169a16A

%2y2

因为椭圆二+七=1的焦点坐标为(±5,0),

4924

依题意9入+16入=25,解得人=1,

x2y2

所以C的标准方程为：--^-=1.

916

X2V2

(2)由方程———=1得C的右顶点为(3,0),不妨设A(3,0),B(x(),yo),

916

又直线/的斜率为2,

所以直线/的方程为y=2(x-3),

住2y2

由忖一元=1,得167-9X4(%-3)2=16X9,,

(y=2(x-3)

整理得57-54x+117=0,解得殉=等，

故|阴=|3-争|=竽.

【点评】本题考查求双曲线的方程及直线与双曲线的综合及弦长公式的应用，属于中档

题.

4.在平面直角坐标系中，Ai，A2两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线4M,A2M

相交于点〃且它们的斜率之积是一反，记动点M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过点F(l,0)作直线/交曲线E于P,。两点，且点P位于x轴上方，记直线4Q,

42尸的斜率分别为七,&2.

k

①证明：广为定值：

七

②设点。关于X轴的对称点为Q\,求△PFQ1面积的最大值.

【分析】(1)设用(x,y),由题列上■•--=---化简即可得出答案.

x+2X-24

(2)①设直线/的方程为x=/wy+l,Q(xi,y\),P(X2,”)，联立直线/与椭圆的方程，

结合韦达定理可得yi+竺，a)明再计算售，即可得出答案.

②设。(X2，-)2)，S&PFQ1=SAPQQi-SAQQiF=-机>1”化简后利用基本不等式求

最值.

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【解答】解：（1）设M（X,>-）,

yV3

由题可知六•口

4

xy

所以彳+二1廿±2）.

（2）证明：①设直线/的方程为x=my+l,Q（xi，y\）,P（孙”）,

x=my+1

2

x2y2，得（3川+4）y+6my-9=0,

（彳+9=1

所以）,巾用一号，）'皿=募®

所以心=33,公=瓷’

b2kl肛+2（x2-2）y1my^-yr

所以1=F~~=7---7；-=-------；-

七谓（右+2）刈myiy2+3y2