高考数学二轮复习 第二部分 突破热点 分层教学 专项一 2 第2练 算法与平面向量学案-人教版高三全册数学学案

第2练算法与平面向量

翦圈图团

年份卷别考查内容及考题位置命题分析

卷I平面向量的线性运算•T61.高考对算法的考查，每

平面向量的数量积运算•T,程序框图的循环年平均有一道小题，一般

2018卷II

结构•》出现在第6~9题的位置

卷III平面向量的坐标运算、平面向量共线的条件•T.3上，难度中等偏下，均考

查程序框图，热点是循环

程序框图的识别、循环结构•T8向量的模与向

卷I

量的数量积•「3结构和条件结构，有时综

合性较强，其背景涉及数

程序框图的循环结构•Ts平面向量的数量

2017卷n

积.12歹！1、函数、数学文化等知

识.

程序框图的循环结构•T7

卷Hl

2.平面向量是高考必考内

平面向量的线性运算、直线与圆的位置关系•T12

容，每年每卷均有一个小

程序框图的循环结构•T9

卷I

向量的数量积、向量数量积的坐标运算•T,3题（选择题或填空题），一

程序框图的循环结构（以“秦九韶算法”为背般出现在第3~7或第

13〜15题的位置上，难度

卷II景）-T

20168

较低.主要考查平面向量

向量的坐标运算、向量垂直的应用・T3

的模、数量积的运算、线

性运算等，数量积是其考

卷in程序框图的循环结构•T7向量的夹角问题•%

查的热点.

_考点突破

算法

2类程序框图问题的解决方法

（1）求解程序框图的运行结果问题

先要找出控制循环的变量及其初值、终值.然后看循环体，若循环次数较少，可依次列

出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律.要特别注意最后输出的是什

么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求

出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件.

（2）对于程序框图的填充问题

最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件

为“/>〃？”或“/<〃？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可.

［考法全练］

1.（2018•高考天津卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为

20,则输出7的值为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B.A—20,7=2,7=0,4=^=10,是整数;

7=0+1=1,/=2+1=3,3<5,也总不是整数;

13

A''20

7=34-1=4,4<5,-=y=5,是整数；

7=1+1=2,7=4+1=5,结束循环.

输出的7=2,故选B.

17

2.（2018•贵阳模拟）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是半，则整数a

的值为（）

C.8D.9

解析：选A.先不管a的取值，直接运行程序.首先给变量S,A赋值，5=1,k=l,执

行S=S+而匕7，得S=1+T^2,k=2；执行S=l+y^+U^,k=3；…继续执行，

得S=1+TX2+2X3+'"+A(^+1)=1+^-1+1^=2-7+7,由2

iIQ

一工=〒得4=6,所以整数a=6,故应选A.

KI1(

3.(2018•石家庄质量检测(二))20世纪70年代，流行一种游戏一一角谷猜想，规则

如下：任意写出一个自然数〃，按照以下的规律进行变换，如果〃是奇数，则下一步变成3〃

+1;如果〃是偶数，则下一步变成这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字,

最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4―2一1循环，而永远也跳不出这个圈子,

下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的/值为6,则输入的〃值为()

A.5B.16

C.5或32D.4或5或32

解析：选C,若〃=5,执行程序框图，77=16,7=2；77=8,7=3；〃=4,7=4；77=2,

7=5；/7=1,7=6,结束循环，输出的？=6.若刀=32,执行程序框图，/7=16,7=2；〃=8,

7=3；门=4,7=4；〃=2,/=5；〃=1,7=6,结束循环，输出的f=6.当〃=4或16时，

检验可知不正确，故输入的〃=5或32,故选C.

4.（2018•武汉调研）执行如图所示的程序框图，如果输入的a依次为2,2,5时，输

出的s为17,那么在判断框中可以填入（）

（开知

「

,L-

/输入a/

1

s=sx+a

,1।

|-1|

工

/输k/

（结为

A.k<.n?B.k>n?

C.k^n?D.k&n?

解析：选B.执行程序框图，输入的3=2,s=0X2+2=2,A=l；输入的a=2,s=2X2

+2=6,k=2；输入的a=5,5=2X6+5=17,k=3,此时结束循环，又〃=2,所以判断

框中可以填“%>〃？”，故选B.

5.（2018•福州模拟）如图所示的程序框图是为了求出满足1+J+J+…+!<1000的

26n

最大正整数〃的值，那么在〈^和/7两个空白框中，可以分别填入（）

I开始1

.「一、

|i=l产6"|

S=5+-1-

I2+1I

（结演）

A.”S<1000"和''输出/-I

B.“SCI000”和“输出，一2”

C.“后1000”和“输出i-1"

D.“S21000”和“输出7-2w

解析：选D.根据程序框图的功能，可知判断框内应填“S，l000”.由程序框图分析

知，输出框中应填写“输出i-2",故选D.

考点㊁

平面向量的线性运算

fl平面向量线性运算的2种技巧

（1）对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用

三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算.

（2）在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向

量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理（当6W0时，a〃g存在唯一实数A,使

得@=46）来判断.

@向量共线问题的4个结论

⑴若a与6不共线且则4=〃=0.

（2）直线的向量式参数方程，A,P,8三点共线=防』（1一。•9+r宓（0为平面内任一

点，-£R）.

（3）9=4应+〃应'（久，〃为实数），若4B,。三点共线，则4+〃=1.

⑷若a=（x］，71）,6=（及，理），则8〃6=莺%=短%，当且仅当至及#0时，a//b<^—=

X2

yi

［考法全练］

1.（2018•贵阳模拟）已知向量a=（1,2）,b=（m,—1）,若a〃（a+b）,则实数小的

值为（）

11

--

2B.-2

AC.3

解析：选B.&+6=（1+勿，1）,因为a〃（a+6）,所以2（1+勿）=1,解得力=—；.故选

B.

2.（一题多解）（2018•高考全国卷I）在中，为回边上的中线，£为/〃的中

点，则磅=（）

A.沥-少B.翔-泳

C.涧+紧

D.~AB-\--^AC

解析：选A.法一：如图所示，EB=ED+DB=-^AD+^CB=^X^AB+AC)+^{AB—AC)—^AB

一［花，故选A.

法二：EB—AB—AE—AB--^AD=AB—^XAC)=^AB—^AC,故选A.

3.（2018•陕西教学质量检测（一））已知一为△4?。所在平面内一点，崩+崩+走=0,

|丽=|两=|元1=2,则△/回的面积等于（）

A.小B.2小

C.3mD.4小

解析：选B.由|的=|的得，△瞰1是等腰三角形，取比1的中点为〃，则必，必又葩

+而+瓦=0,所以花=一（丽+的=一2的所以加=58=1,且PD〃AB,故AB1BC,即

△力比1是直角三角形，由|两=2,1而=1可得|防|=:，则|反1=24，所以的面

积为:X2X2#=24,故选B.

4.（2018•郑州第一次质量预测）如图，在△/园中，川为线段上靠近点4的三等分

点，点。在线段陇上且苏三（m+■部而+亮反；则实数历的值为（）

A.1B."

解析：选D.苏=（〃r仔）茄+（■瓦：=（〃r仔r9rrr

工）葩+R（AC—~AB）=加逾+77应；设防』X前

（0<A〈1）,则办=葩+XBN=~AB+A（AN-AB）=（1-A）诵+AAN,因为不三:而所以苏

J

m=1—A

->1-Il

=（1一入）力夕+寸然，贝M211解得〈「故选D.

JTT=74，5

平面向量的数量积

fl平面向量的数量积的2种运算形式

（1）数量积的定义：a-b=\a\\bcos。（其中。为向量，方的夹角）;

（2）坐标运算：3=（汨，力），6=（x2,㈤时，a•b=x\x2+y\y2.

&平面向量的3个性质

（1）若a=（x,y）,则a=yfa^a=yjx2+y.

⑵若力（力,yi）,B1X2,刑），则

I'AB\=«（吊一xM+（人一pi）：

a•b

⑶若H=（xi,y）"=（及,％）,〃为a与b的夹角，则cos0——T77~=~

a〃b寸"+木^+卤

［考法全练］

1.（2018•贵阳模拟）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形/版的顶

点。被阴影遮住，找出〃点的位置，葩•葩的值为（）

C.12D.13

解析：选B.以点力为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则1（0,0）,4（4,

1）,以6,4）,根据四边形力仇力为平行四边形，可以得到〃（2,3）,所以诵•茄=（4,1）•⑵

3）=8+3=11.故选B.

y

口□LJc|

_二z二

一—

2.(2018•高考全国卷II)已知向量a“满足/a/=l,a•6=—1,则a•(2a-b)=()

A.4B.3

C.2D.0

解析：选B.a•(2a—b)=2aJ—a•b=2—(—1)=3,故选B.

3.(2018•石家庄第二次质量检测)若两个非零向量a,，满足|&+A|=a—b\=2\b\,

则向量a+b与a的夹角为()

nn

A.-B.-

63

2n5n

D

c•亍-

解析：选A.因为|a+b|=|a—b,所以：|a—6所以a•6=0,又Ia+bl=

2|引,所以|a+b|2=4|引2"a『=3|引2,所以㈤=#/6/,cos(a+b9a)工।

才+a•bI才^3,,.L,附十iA

_i_AI_\—oIAII~\—a~r—Q，故a+b与干的夹角为c，故选A.

a+ba|2\ba\2\b26

4.(2018•长春质量检测(一))已知平面内三个不共线向量&b,，两两夹角相等，且

a=\b\=l,|c=3,则|a+b+c|=.

2JI

解析：由平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等，可得夹角均为二厂，所以|a+6

O

2n

+c|2=W+N+c"+2a•b+2b•c+2a•c=1+1+9+2X1X1Xcos+2X1X3Xcos

2Ji2n

-7-+2X1X3Xcos~T-=4,所以a+b~\-c=2.

答案：2

5.(2018♦益阳、湘潭调研)己知非零向量a,6满足a・b=0,\a-\-b\—t\a.,若a+b

与a—b的夹角为1■,则t的值为.

解析：因为a•力=0,所以解+6)2=(a一方/,即|a+b|=a—引.又|a+引=方㈤,所

以la—引=\a+b\=ta.因为a+b与a—b的夹角为?，所以一—-2=。。$

3Ia-x-b\•a-b3

ioI2—h21

整理得-=5,即(2—冷|a「=2/2.又|a+6|=ta,平方得|a「+b2-t2|a：2,

t|a2

所以lai?+“二?a；-=7|a12,解得/=*因为力＞0,所以力=芈.

乙JJ

答案：芈

0

考点㊃

平面向量在几何中的应用

C12个常用结论

⑴△腋中，是比1边上的中线，则加=^(通+私

(2)446C中，。是△［比1内一点，若而+应+赤=0,则0是AABC的重心.

@用向量解决平面几何问题的3个步骤

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题

转化为向量问题.

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题.

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

［考法全练］

1.(2018•郑州第二次质量预测)已知平面向量a,6,c满足|a|=b=c|="a・b

则(a+c)•(26—c)的最小值为()

解析：选B.设a与6的夹角为0,则abcos6=1,即cos0—

I，因为OWOWn,所以，=］，令应=a,宓=6,以应的方向为x轴

的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a=9=(l,0),6=应=

,设c=0C=(cosa,sina)(0WaW2n),则(a+c)•(2Z)—c)=(1+cosa,

sina)•(1—cosa,小一sina)=(l+cosa}(1—cosa)+sina(-^3—sina)=

1—cos'a+^3sina-sin2a=^3sina》一/(当且仅当。=今一时取等号).故选B.

2.（2018•惠州第二次调研）在四边形4腼中，~AB=~DC,。为切上一点，已知【荔|=8,

葩|=5,法与葩的夹角为0,且cos〃=*CP=A则淳•沸=.

解析：因为为=比，赤=3而，所以加=森+旗=拓+"葩，法=比+康=而一半宓，又

南=8,|森|=5,cos”会所以而•崩=8X5x1|=22,所以淳•加=

（森+［同•可=|初一砺.刘一急研=52-11一也82=2.

答案：2

3.（一题多解）（2018•沈阳教学质量监测（一））已知△/回是直角边长为2的等腰直角

三角形，且4为直角顶点，。为平面48C内一点,则苏•（丽+元）的最小值是.

解析：法一：如图，以/为坐标原点，AB,4C所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角

坐标系，则/（0,0）,6（2,0）,<7（0,2）,设P（x,y）,则万i=（-x,-y）,崩=（2—x,一

y）,无=（一”,2—力，闲+走=（2-2x,2-2y）,所以苏•（丽+向=-x（2-2x）—y（2

-2_T）=2（L3）+21-0-12—1（当且仅当x=y=/时等号成立），所以瓦I•（汤+的的

最小值为一1・

法二：PA'（PB+PC）^PA'（次+诵+汤+就）=》•（2或+崩+位）.

设比1的中点为〃则诵十元=2血

所以商•（而+元）=2PA•（后+应=2PA•PD,

因为一2|属!|•I的W2取•西《21而•而，所以（2万I•曲・M=-2|成|•PD\,此

时点P在线段上（异于4,〃），设眉=2面（一IV4<0）,财万i|=|4而|=一儿•*,

|而|=*+m4,

所以一2|两I•西|=4（T'+儿+；—土）=4（4+；）~—1,所以当'=-g时，~PA•（PB+

元）取得最小值一1.

答案：一1

■■■专题强化训练■■■

一、选择题

1.（2018•沈阳教学质量监测（一））已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果

为0时，输入的实数x的值为（）

逸出y/

A.-3B.-3或9

C.3或一9D.-3或一9

解析：选B.当xWO时，—8=0,x=—3；当x>0时，2—log3X=0,x=9.故x=

—3或x=9,故选B.

2.已知向量a,6均为单位向量，若它们的夹角为60°,则a+3引等于（）

A.巾

C.mD.4

解析：选C.依题意得a•6=；,a+3Z>—y]a+9Z>'+6a•Z>=^/13,故选C.

3.己知a,右为单位向量，设a与b的夹角为7，则a与a—6的夹角为（）

O

JIH

A.-B.-

63

2n5n

C.~r~D."r-

36

解析：选B.由题意，得a・b=1X1Xcos?=]所以a—b2=3a：-2a,8+斤=1—2x]

且•（Qh\o-a•A11J（

+1=1,所以cos<a,a—b）=-----------，=—r~:-=1—3=3,所以〈a,a-b）=—,

aa~b1X1223

故选B.

4.（2018•合肥质量检测）已知向量可，满足|a|=2,㈤=1,则下列关系可能成立的

是（）

A.(a-6)J_dB.(a—，)J_(a+6)

C.(a+b)_L6D.(a+b)A.a

解析：选C.因为a\=2,b=1,设向量a,b的夹角为。，若(a—b)_La,则(a—A)•a

=st-a•A=4—2cos夕=0,解得cos。=2,显然。不存在，故A不成立；若(3一6)_L(a

+6),则(a—b)•(a+6)=a2—A=4—1=3^0,故B不成立；若(a+8)J_6,则(a+8)•b

=i）+a96=l+2cos夕=0,解得cos夕=一即夕=与一,故C成立；若（a+6）_L&

乙O

则（a+6）♦a=a+a,Z>=4+2cos。=0,解得cos〃=-2,显然〃不存在，故D不成立.故

选C.

5.（2018•南宁模拟）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）

解析：选C.运行框图，首先给变量S,A赋值，S=2,4=2015.判断2015<2018,S

k=2015+1=2016,判断2016<2018,S=-~~k=2016+1

=2017,判断2017V2018,S=~^=2,k=2017+1=2018,判断2018V2018不

成立，输出S,此时S=2.故选C.

6.（2018•洛阳第一次联考）执行如图所示的程序框图，若输入勿=209,〃=121,则输

出的卬的值为（）

/输入m,n/

|求m除以凡的余丽

m=n

J

I"=rI

<r^?>^―

/输%/

CW

A.0B.11

C.22D.88

解析：选B.当卬=209,〃=121时，卬除以〃的余数r=88,此时卬=121,〃=88,而除

以〃的余数r=33,此时勿=88,刀=33,加除以刀的余数r=22,此时加=33,〃=22,必除

以〃的余数r=ll,此时加=22,/〃除以〃的余数r=0,此时勿=11,〃=0,退出循

环，输出力的值为11,故选B.

7.(2018•桂林模拟)在如图所示的矩形被力中，A8=A,AD=2,夕为线段回上的点，

则壶•应的最小值为()

A.12

C.17D.16

解析：选B.以6为坐标原点，回所在直线为x轴，为所在直线为y轴，建立如图所示

的平面直角坐标系，贝IJ4(0,4),〃(2,4),设双筋0)(0Wx<2),所以龙•龙=(x,-4)•(x

-2,-4)=/-2X+16=(X—1)2+15,于是当*=1,即£为a1的中点时，瀛■•应取得最

小值15,故选B.

8.（2018•西安八校联考）在中，已知诵♦应'=*|就1=3,1布|=3,M,及分别

是外边上的三等分点，则亦•盛的值是（）

1113

A•5B.5

C.6D.7

解析：选B.由题意得，MI=~2AB+-1AC,[2所以莉•病=

JJO«J

Q3

5=甘，故选B.

9-（2。18•石家庄模拟）如图是计算1+3+9+…+5的值的程序框图,则图中①②处

可以填写的语句分别是（）

/输出s/

cw

A.〃=〃+2,/>16?

B.77=77+2,在16?

C.77=77+1,7>16?

D.n=n+l9在16?

解析:选A.式子---1■白中所有项的分母构成公差为2的等差数列，1,3,5,…,

1+13+15H31

31,31=1+（4—1）X2,4=16,共16项，故选A.

10.（2018•成都诊断性检测）高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图

L执行图2所示的程序框图，若输入的a,（/=l,2,…，15）分别为这15名学生的考试成绩,

则输出的结果为（）

81

936

10119

1102556

1268

137

142

图1

/输声九/

CO]

图2

A.6B.7

C.8D.9

解析：选D.由程序框图可知，其统计的是成绩大于或等于110的人数，所以由茎叶图

知，成绩大于或等于110的人数为9,因此输出的结果为9.故选D.

11.（2018•郑州第一次质量预测）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7,则判

断框内勿的取值范围是（）

A.(30,42]B.(30,42)

C.(42,56]D.(42,56)

解析：选A.4=1,5=2,k=2,S=2+4=6,4=3,5=6+6=12,k=4,S=12+8=

20,k=5,S=20+10=30,k=6,5=30+12=42,k=7,此时不满足S=42<m,退出循

环，所以30V/7/W42,故选A.

12.(一题多解)(2018•高考浙江卷)已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零

兀

向量a与e的夹角为向量6满足方•6+3=0,则匕一的最小值是()

A.^/3-lB.4+1

C.2D.2-^3

解析：选A.法一：设。为坐标原点，a=OA,