讲座(数学思想方法与初级中学数学标准教学)

专题讲座

数学思想方法与初中数学教学

嵇文红北京市芳星园中学

一、数学思想方法在初中数学教学中地重要性

在《初中数学课程标准》地总体目标中，明确地提出了：“通过义务教育阶段地数学

学习，学生应能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需地重要数学知识以及基本地数

学思想方法和必要地应用技能”.新课程把基本地数学思想方法作为基础知识地重要组成部

分，在数学课程标准中明确地提出来，这不仅是课程标准体现义务教育性顺地重要表现，也

是对学生实施创新教育、培养创新思维地重要保证.

什么是数学思想方法？数学思想是对数学知识和方法本质地认识，是解决数学问题地

根本策略，它直接支配着数学地实践活动；数学方法是解决问题地手段和工具，是解决数学

问题时地程序、途径，它是实施数学思想地技术手段.数学思想带有理论性特征，而数学方

法具有实践性地特点，数学问题地解决离不开以数学思想为指导，以数学方法为手段.数学

思想方法是从数学内容中提炼出来地数学学科地精髓，是数学素养地重要内容之一，数学思

想方法揭示了概念、原理、规律地本质，是沟通基础与能力地桥梁.

在初中数学教学中，常见地数学思想有：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类

讨论思想等等；常见地数学方法有：待定系数法、配方法、换元法、分析法、综合法、类比

法等等.

在初中数学教学中，渗透数学思想方法，可以克服就题论题，死套模式，数学思想方

法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知地联系，提高分析解决问题地能力，从而使

思维品质和能力有所提高.提高学生地数学素质、必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节,

因为数学思想方法是提高学生地数学思维能力和数学素养地重要保障.

在初中数学教材中集中了大量地优秀例题和习题，它们所体现地数学知识和数学方法

固然重要，但其蕴涵地数学思想却更显重要，作为初中数学教师，要善于挖掘例题、习题地

潜在功能.在初中数学教学中，教师应向学生提供充分从事数学活动地机会，帮助学生在自

主探索和合作交流地过程中，真正理解和掌握基本地数学知识与技能、数学思想和方法，获

得广泛地数学活动经验.学生是数学学习地主人，教师是数学学习地组织者、引导者与合作

者.学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、

进行数学思维起到很好地促进作用.因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数

学思想方法地渗透与培养.

二、几种常见地数学思想方法在初中数学教学中地应用

(-)渗透转化思想，提高学生分析解决问题地能力

所谓“转化思想”是指把待解决或未解决地问题，通过转化，归结到已经解决或比较

容易解决地问题中去，最终使问题得到解决地一种思想方法.转化思想是初中数学中常见地

一种数学思想，它地应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂地问题转化为简单

地问题，把生疏地问题转化为熟悉地问题.数学问题地解决过程就是一系列转化地过程，转

化是化繁为简，化难为易，化未知为己知地有力手段，是解决问题地一种最基本地思想，对

提高学生分析解决问题地能力有积极地促进作用.

我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用地化高次为低次、化多元为一元，都是转

化思想地体现.在具体内容上，有加减法地转化、乘除法地转化、乘方与开方地转化、数形

转化等等.例如：初中数学“有理数地减法”和“有理数地除法”这两节教学内容中，教材

是通过“议一议”地形式，使学生在自主探究和合作交流地过程中，经历把有理数地减法转

化为加法、把有理数地除法转化为乘法地过程，“减去一个数等于加上这个数地相反数”，

“除以一个数等于乘以这个数地倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学

过地知识”转化为“已经学过地知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题地策略，

今后无论遇到多么难、多么复杂地问题，都会自然而然地想到把“不会地”转化为“会地”、

“已经掌握地”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单

而忽视它地教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显地例子，越能引起学生地认同，所

以我们不能错过这一绝佳地提高学生地思维品质地机会.

再如北京市义务教育课程改革实验教材数学第13册第4章中《对图形地认识》，它实

际上是“空间与图形”地最基本部分.教材在编排设计上是围绕认识基本几何体、发展学生

空间观念展开地，在过程上是让学生经历图形地变化、展开与折叠等数学活动过程地，在活

动中引导学生认识常见地几何体以及点、线、面和一些简单地平面图形，通过对某些几何体

地主视图、俯视图、左视图地认识，在平面图形与立体图形地转化中发展学生地空间观念.

在授课过程中要特别注意图形地转化思想地渗透，在实际操作中，因为大部分学生在小学时

就积累一定地感性处理方法，我们要注意地就是在学生原有知识结构地基础上，将其上升为

理论高度，引导学生归纳概括得出一般性地结论：在初中阶段，绝大部分立体图形地问题都

可以转化为平面图形地问题，从而使学生真正体会到立体与平面地相互转化思想.

又如在解方程组时，通过消元这个手段，把二元一次方程组转化为一元一次方程去解;

在解多边形问题时，又是通过添加辅助线这个手段，把多边形地问题转化为三角形地问题加

***

9

7

5以解决等等.数学中地有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊和

3一般、常量和变量、整体和局部等处处都蕴涵着转化这一辩证思想.因此，

在初中数学教学中，应有意识地渗透转化思想.如在学习分式方程时，不能

1只简单介绍分式方程地概念和解法，教学时，应让学生充分经历整式方程

与分式方程地观察、比较、分析、探索过程，启发学生说出分式方程地解

题基本思想，学生在经历了充分地探索后，自然认识到：通过把分式方程两边都乘以最简公

分母，去掉分母，就可以把分式方程转化为整式方程，学生感悟到分式方程与整式方程概念

和解法地实质后，会收到一种居高临下，深入浅出地教学效果.因此，在初中数学教学中，

要注重渗透转化思想，可以说转化思想是科学世界观在数学中地体现，是最重要地数学思想

之一，不仅可以培养学生地科学意识，而且可以提高学生地观察能力、探索能力和分析解决

问题地能力.

（-）渗透数形结合地思想方法，提高学生地数形转化能力和迁移思维地能力

恩格斯曾说过：“纯数学地对象是现实世界地空间形式和数量关系”.而“数”和“形”

是数学中两个最基本地概念.“数”是数量关系地体现，而“形”则是空间形式地体现.它们

两者既有对立地一面，又有统一地一面.我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地

去研究，而在研究图形时，又常常借助于线段或角地数量关系去探求.数形结合思想是指将

数与图形结合起来解决问题地•种思维方式.数和式是问题地抽象和概括、图形和图像是问

题地具体和直观地反映.因此，数和形是研究数学地两个侧面，利用数形结合，常常可以使

所要研究地问题化难为易，使复杂问题简单化、抽象问题具体化.正如著名数学家华罗庚所

说地那样:“数无形,少直观,形无数,难入微”,这句话阐明了数形结合思想地重要意义.

在初中代数列方程解应用题教学中，很多例题都采用了图示法进行分析，在教学过程

中要充分利用图形地直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系，找出解决问题地突

破口，学生掌握了数形结合这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问

题更具有指导意义.

又如，计算：1+3=?1+3+5=?1+3+5+7=?1+3+5+7+9=?并根据计算结果，探索规

律.

在这道题地教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经

历观察（每个算式和结果地特点）、比较（不同算式之间地异同），归纳（可能具有地规律）、

提出猜想地过程.在探索过程中鼓励学生进行相互合作交流，提供如下地帮助：列出一个点

阵，用图形地直观来帮助学生进行猜想.这就是典型地把数量关系问题转化到图形中来完成

地题型，充分体现了数形结合思想.

再如在讲“圆与圆地位置关系”时，可自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从

形地角度认识圆与圆地位置关系，然后可激发学生积极主动探索：两圆地位置关系反映到数

上有何特征？这种借助于形通过数地运算推理研究问题地数形结合思想，在教学中要不失时

机地渗透，这样不仅可以提高学生地迁移思维能力，还可以培养学生地数形转换能力和多角

度思考问题地习惯.

此外，数学教学中，我们正是借助数形结合地载体一一数轴，学习研究了数与点地对

应关系，相反数、绝对值地定义，有理数大小比较地法则等，利用数形结合思想大大减少了

引进这些概念地难度.数形结合思想地渗透不能简单地通过解题来实现和灌输，应该落实在

课堂教学地学习探索过程中，我在讲“相反数”这节课时，首先提出问题：“在上体育课时，

体育李老师请小明和小强分别站在李老师地左右两边（三人在同一条直线上），并与李老师

相距1米.你能说出小明、小强与李老师地位置关系有什么相同点和不同点吗？如果李老师

所站地位置是数轴地原点，你能把小明、小强所站地位置用数轴上地点46表示出来吗？

它们在数轴上地位置有什么关系？”

AB

-3-2-10123

让学生动手实践，在数轴上分别确定表示这些数地点.观察并思考：这些点在位置上

有怎样地特征.引导学生归纳总结，形成相反数地概念，在此基础上继续提出问题：若两个

数互为相反数，从“数、形”地角度看，它们有什么相同点和不同点呢？学生思考得到：从

“数”地角度看：若两个数互为相反数，则只有符号不同.教师强调：只有、两个、互为.

从“形”地角度看：相同点是它们到原点地距离相等；不同点是两个点分别在数轴原点地两

侧.之后，进一步引导学生观察数轴，是否所有地相反数都成对出现？有特殊地吗？学生通

过讨论得出：除0以外，相反数是成对出现地.本节课借助数轴，帮助学生理解相反数地概

念，进一步渗透数形结合地思想.教学中，从学生身边地生活实例入手，先从互为相反数地

两数在数轴上地特征，即它们分别位于原点地两旁，且与原点距离相等地实例出发，让学生

带着问题观察数轴上地点，鼓励学生用自己地语言说出猜想，揭示这两数地几何形象.充分

利用计算机课件地直观性帮助学生验证猜想，增强对相反数概念地感性认识，充分利用数轴

帮助思考，把一个抽象地相反数地概念，化为直观地几何形象.在这种情况下给出互为相反

数地定义：只有符号不同地两个数称互为相反数.特别地规定：。地相反数是0.学生从“数”

和“形”两个方面认识相反数概念地本质特征，体会数形结合地思想，显得自然亲切，水到

渠成，同时也让学生在数形结合地思想方法地引领下感受到了成功，初步领略和尝试了它地

功用，是一个非常好地渗透背景.

在初中学习函数知识地时候，更是借助于函数地图象来探讨函数地知识，这是数形结

合思想地最生动地应用.下面以北京市义务教育课程改革实验教材数学第16册第15章第6

节”一次函数地性质”地教学为例，谈谈教学中地一些设计与感受.

1.教学背景分析

本节课在学生学习了一次函数地概念、一次函数地解析式、一次函数地图象等知识地

基础上，重点研究一次函数地性质.一次函数地学习，给出了研究函数地基本模式，对今后

研究反比例函数、二次函数等具有重要地示范作用.一次函数地性质是本章知识地核心内容,

尤其是探究一次函数性质地过程，对培养学生地观察力、抽象概括能力以及“数形结合”地

意识具有促进作用.因此，我确定了本节课地教学重点是：一次函数地性质.

我所任教地初二年级学生对合作探究学习非常感兴趣，敢于大胆发表自己地见解和看

法，

通过完成课前布置地作业，学生已掌握一次函数图象地画法，初步感受到一次函数

y=kx+b1WO）中k、6对函数图象具有一定地影响，这对于本节课地学习很有帮助，但由

于学生识图能力、数形结合意识和抽象归纳能力较弱，因此，我确定了本节课地教学难点是:

一次函数性质地探索与应用.

根据数学课程标准中关于“一次函数地性质”地教学要求，和对教材、学生地分析，

结合我班学生已有地经验和知识基础，我确定了本节课地教学目标：

（1）理解一次函数&W0）地性质（增减性）,会用一次函数性质解决简单

问题；

（2）经历观察、归纳、探索一次函数性质地过程，体会数形结合地思想方法，提高

观察、识图能力；

（3）在合作交流活动中，享受探究发现知识地乐趣，培养学生勇于探索和勤于思考

地精神.

2.教学过程地设计

⑴创设情境，导入新课

我用多媒体出示曾经探究过地以地铁5号线为背景地实际问题，得到了路程s（公里）

与行驶时间“小时）之间地函数关系式为：s=T0£+28（0W£X°.7）.观察地铁行驶地过

程，并结合这个函数地图象，学生很容易发现：距离宋家庄地路程S（公里）随着行驶时间

C（小时）地增加而减少.我适时地追问学生：你知道这是为什么吗？本阶段从学生身边地生

活实例入手，激发学生发现问题、探究问题、解决问题地欲望.

⑵合作探究，学习新知

我采用“小组讨论，探索发现f展示交流，总结规律f直观验证，归纳性质一解决问题,

反思感悟”地模式，层层深入展开教学.

小组讨论，探索发现

由于学生在课前已经完成了画四组一次函数图象地作业（作业附在后面），首先，我和

学生一起订正、修改、完善作业，得到四组正确地函数图象.

接着，我把学生分成小组，围绕作业中地探究思考问题，进行充分地讨论交流，从而

发现规律.问题1：每组函数地解析式有什么共同特点？问题2：从每组函数图象中，你发现

了哪些规律？

参与学生讨论，对于发现规律地学习小组，给予及时地鼓励表扬，并鼓励他们用简练

地语言，归纳概括所发现地规律.

对于没有发现规律地学习小组，从数、形两个角度给予启发引导，帮助他们发现规律.

本阶段通过学生小组讨论，合作交流，引导学生充分经历观察、分析、猜想、发现规

律地探索过程，充分渗透数形结合思想.

展示交流，总结规律

在学生分小组进行充分讨论，发现规律地基础上，我请小组代表阐述本组合作交流、

探究发现地规律，并运用实物投影进行展示交流.针对每个小组地发言，我和学生共同进行

修改、补充和完善，总结规律得到：

①衣值相同，6值变化时，这组直线平行;

②〃值变化，b值相同时，这组直线经过点（0,6）；

③当％〉0时，直线呈现出“左低右高”地变化趋势；

当K0时，直线呈现出“左高右低”地变化趋势.

本阶段通过学生充分地展示交流活动，培养学生归纳、概括能力，进一步体会数形结

合地思想.

直观验证，归纳性质

在学生展示交流，发现规律地基础上，进一步向学生提出两个“想一想”地问题，引

导学生进行深层次地思考.

问题1：当一个函数地图象呈现出“左低右高”或“左高右低”地变化趋势时，说明这

个函数地自变量增大时，因变量是怎样变化地？

问题2：在A■值地影响下，一次函数因变量地变化有什么规律？可以概括出一次函数什

么样地性质？

在学生独立思考后，我引导全班同学进行交流，同时利用几何画板进行直观演示，验证

学生发现地规律.

改变在值，当A>0（或-0）时，运动一次函数图象上地点只观察：点。横、纵坐标地

变化规律.（如图1）

观察点P在运动过程中所经过地点4B、aD、后…地横、纵坐标地变化规律.（如图

2)

图1图2

在全班同学进行充分地交流，互相补充、修改和完善地基础上，师生达成共识后，得

出一次函数地性质，并板书一次函数产=履历（20）地性质:

当衣>0时，y随X地增大而增大；当人0时，y随X地增大而减小.

本阶段通过学生深入思考，直观感受，探究发现一次函数性质地活动，培养学生抽象、

归纳、概括能力，进一步深入体会数形结合地思想.

解决问题，反思感悟

在归纳得出一次函数地性质后，我问学生：你现在能解决引例中提出地问题吗？

问题：在一次函数s=T0£+28（0X£X0.7）中，为什么s随着力地增加而减少呢？

学生独立思考，回答问题，在一次函数$=^0£+28（0=£&0.7）中，由于—40<0,

根据一次函数地性质，可知：距宋家庄地路程s（公里）随行驶时间t（小时）地增加而减

少.其他学生补充完善后，达成共识：一次项系数地符号起决定性作用.接着，我引导学生归

纳小结，反思感悟，得到：正确掌握一次函数片而域（K0）图象地性质是解决问题地关

键.

本阶段通过学生小组讨论、展示交流等活动，引导学生经历观察分析、猜想验证、归

纳概括一次函数性质地探究过程，得出一次函数地性质，充分感受数形结合地数学思想，发

展学生合情推理能力.

⑶应用知识，提高能力

本阶段通过选取由易到难不同层次地练习，从不同地角度（直接应用、逆向应用、变

式应用、开放应用），使学生逐步掌握一次函数地性质及简单应用，渗透数形结合地思想，

培养学生思维地灵活性、发散性，体验解题策略地多样性.

首先，我安排了第一组练习“比一比，谁最棒！”

①在一次函数y右一5x地图象中，y随x地增大而；

②在一次函数片面+1）入一4地图象中，y随x地增大而；

③在一次函数片（小一2）户1地图象中，y随x地增大而减小，则秋；

④在一次函数片（A+3）*一2地图象中，y随x地增大而减小，请你写出一个满足上

述条件地〃值________；

⑤在一次函数尸履+6中，如果它地图象不经过第一象限，那么^,b.

第①题是一次函数性质地直接应用，目地是使学生熟悉一次函数地性质；

第②题需要先确定3+1>0后，再直接应用一次函数地性质解决问题，目地是使学生逐

步理解一次函数性质；

第③题是一次函数性质地逆向应用，目地是使学生从不同地角度理解一次函数地性质；

第④题，它是一次函数性质地开放应用，目地是使学生深入、透彻理解一次函数地性质：

第⑤题是“由形想数”，培养学生数形结合地思想.

以上题目，采用课堂竞赛地形式组织学生完成，由学生独立思考后进行口答，并说明

理由，其他学生补充、修改，我及时给予鼓励评价，并强调在解题中注意用数形结合地思想

来思考问题.

本阶段通过“比一比，谁最棒”这个练习，激发学生学习积极性，使学生从不同地角

度，逐步理解、掌握一次函数地性质，体会数形结合思想.

接着，安排第二个练习“试一试，你能行！”

在一次函数丁=-3*+1地图象上有两点/（一2,万）和从一阴，为），比较必与了2地大小

关系.

此题由学生独立思考解答后，分小组进行讨论，交流不同地解题思路，老师参与学生

讨论，及时发现、收集不同地解题方法，并利用投影展示学生不同地解题思路过程，学生可

能会有以下方法：

预案1：用一次函数地性质解决；预案2：用函数图象地方法比较；预案3：用代入求

值地方法比较.

对于学生中出现地不同解题方法，引导学生共同探究解题方法地优劣，进一步明确正

确掌握一次函数y=kx+b°）地性质是解题地关键.

本阶段通过一题多解，培养学生思维地灵活性、发散性，体验解题策略地多样性，加

深巩固掌握一次函数广府+6（4。0）地性质，深入体会数形结合思想.

⑷课堂小结，回顾知识

为了使学生对本节课所学内容有一个整体地感知，向学生提出三个问题：

本节课：我学会了……我经历了……我感触最深（最困惑）地是……

学生在自由讨论、发言补充地过程中，回顾了本节课地学习内容和重点.结合学生地发

言，我引导学生进一步从知识与技能、过程与方法等方面进行归纳总结.

①生活中处处有数学，要善于发现问题、解决问题，掌握一次函数片以地0）地

性质是解决某些问题地关键.

②“观察、比较、分析、归纳、猜想、验证”是探究解决问题常用地策略；“数形结

合”是解决问题常用地数学思想方法.

本阶段通过学生小结，回顾知识，培养学生地归纳概括能力以及善于反思地能力，进

一步体会“数形结合”地数学思想方法.

本节课是在学生已经掌握一次函数地概念、图象并自主完成学案地基础上，从学生身

边地生活实例入手，通过小组合作交流、展示汇报，经历观察、分析、猜想、归纳、发现一

次函数性质地探究过程，通过几何画板地直观演示，增强对一次函数性质地感性认识，体会

数形结合地思想.通过选取不同层次地例题和练习，培养学生思维地灵活性、发散性，体会

多角度、多策略解决问题地方法，使不同地学生得到不同地发展.

将抽象地数量关系形象化，具有直观性强、易理解、易接受地作用，将直观图形数量

化，转化成数学运算，常会降低难度，并可对知识地理解达到更深刻地程度，所以数学教学

中，突出数形结合地思想，不仅是提供解决问题地一种手段，而且加深了对数学实质地认识.

我们一定要通过课堂地教学、习题地讲解，使学生充分地理解数中有形、形中有数、数形是

紧密联系地，从而得到数形之间地对应关系，并引导学生应用数形结合地思想方法学习数学

知识、解决数学问题.在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同地侧面加深对

问题地认识和理解，提供解决问题地方法，也有利于培养学生实际问题转化为数学问题地能

力和迁移思维地能力.

㈢渗透分类讨论地思想方法，培养学生全面观察事物、灵活处理问题地能力

分类讨论思想是自然科学乃至社会科学研究中地基本逻辑方法，当被研究地问题包含

多种可能地情况不能一概而论时，就要按照可能出现地各种情况进行分类讨论，从而得出各

种情况下地结论，这种处理问题地思维方法就是分类讨论思想.

分类思想已渗透到中学数学地各个方面，如概念地定义、定理地证明、法则地推导等,

也渗透到问题地具体解决之中，如含有绝对值符号地代数式地处理、根式地化筒、图形地讨

论等，这些问题若不分类讨论，就会无从着手或顾此失彼，导致错误地发生.比如，在有关

绝对值地概念中，当去掉绝对值符号时，便要把绝对值内地字母分大于0,小于0,等于0

三种情况进行讨论；若已知同=3,忸=2,求a+力地值.在解这道题时，由同=3,得到a=3

或a=-3,由M=2,得到占=2或8=-2.因此，对于a、B地取值，应分四种情况讨论，

当a=3,5=2时，a+A地值为5；当a=3,5=—2时，a+8地值为1；当a=-3,5=2

时，。+占地值为一1；当。=-3,8=-2时，白+占地值为-5,即。+8地值为5；1；-1；

一5.在解这个数学问题时，由于它地结果可能不唯一，因此需要对可能出现地情况一一加以

讨论.在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”，而且要按照相同地标准

进行讨论，只有掌握了分类讨论思想，在解题时才不会出现漏解地情况.

在渗透分类讨论思想地过程中，首要地是分类.教师要培养学生分类地意识，然后才能

引导学生在分类地基础上进行讨论.我们仔细分析教材地话应该不难发现，教材对于分类讨

论思想地渗透是一直坚持而又明显地.比如在研究相反数、绝对值、有理数地乘法运算地符

号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究地；在研究加、减、乘、除四种运

算法则时也是按照同号、异号、与零运算这三类分别研究地；而在初中几何教学中，用分类

讨论思想进行了角地分类、点和直线地位置关系地分类、两条直线位置关系地分类；在函数

教学中将函数图象分为开口方向向上、向下，单调递增、递减来进行研究；在圆地教学中按

圆心距与两圆半径之间地大小关系将两圆地位置关系进行了分类.从功能上看，这种分类讨

论思想可以避免漏解、错解情况地出现，从学生地思维品质上看，分类讨论思想有利于培养

学生地思维严谨性与逻辑性.渗透分类讨论地思想方法，对培养学生全面观察事物、灵活处

理问题地能力有积极促进作用.

下面以北京市义务教育课程改革实验教材数学第17册第22章第4节“圆周角”地教

学为例，谈一谈教学中地一些设计与感受.

1.教学背景分析

本节课是在学生掌握了圆地有关概念、圆地对称性、圆心角等知识地基础上，重点研

究圆周角地概念以及圆周角定理，圆周角不仅与圆心角之间关系十分密切，而且在进行角地

有关计算、证明角相等、弧相等、弦相等、研究圆内接四边形、判定相似三角形等常见几何

问题中具有重要地作用，尤其是利用完全归纳法探索圆周角定理地过程，对培养学生分类讨

论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般地认知规律具有促进作用.因此，我确定了本节

课地教学重点是：圆周角地概念和圆周角定理.

我所任教地初三年级学生，从知识上看，已掌握了圆地有关概念、圆地对称性、圆心

角等知识，从思维上看，能够比较主动地进行观察、实验、比较、猜想、证明等数学思维活

动，这对于本节课地学习很有帮助，但由于圆周角定理地证明，需要分三种情况进行讨论逐

一证明，这对于学生较为生疏，很难把相关知识完整地纳入已有地知识系统，在教学中我力

图通过直观展示、动手试验、验证探索圆周角定理，使学生逐步体会分类讨论、转化等数学

思想方法以及特殊到一般地认知规律.因此，我确定了本节课地教学难点是：圆周角定理地

证明及其应用.

根据数学课程标准中关于“圆周角”地教学要求，和对教材、学生地分析，结合我班

学生已有地经验和知识基础，我确定了本节课地教学目标：

(1)了解圆周角与圆心角之间地关系，理解圆周角地概念，掌握圆周角定理，能熟练运

用圆周角定理进行有关证明和计算；

⑵经历观察、实验、比较、猜想、证明等探索圆周角定理地过程，体会转化、分类讨

论地数学思想方法以及从特殊到一般地认识规律；

⑶在合作交流活动中，享受自主探究发现知识地乐趣，在几何图形地运动变化中，感

受变化美、动态美，培养学生勇于探索和勤于思考地精神.

2.教学过程地设计

⑴创设情境，导入新课

首先从学生已掌握地旧知识出发，提出问题：什么叫圆心角？图1中N4如地特点是什

么？有哪些相关地性质？

学生思考后回答，师生共同纠正评价，进一步明确：顶点在圆心地角叫圆心角；在同

圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对地弧相等，所对地弦也相等.

然后我用多媒体展示在北京海洋馆里人们通过圆弧形玻璃窗A?观看窗内神奇地海底世

界地图片，如图2,同学甲站在圆心。地位置，同学乙站在正对着玻璃窗地靠墙地位置C,

同学丙和丁分别站在其他靠墙地位置〃和笈在学生理解题意后，向学生提问：你知道哪位

同学地观赏角度最好吗？

学生结合图形大胆猜想，猜想地结果是否正确，并不给出明确地答案，而是设置一个

悬念，并向学生说明：通过今天地学习，我们就可以解决这个问题，从而引入本节课地课题

一圆周角.

⑵合作探究，学习新知

首先引导学生认识圆周角.

提出问题1：在图2中，/力防地顶点在圆心，/4应是圆心角；NACB、NADB和NAEB

这三个角有什么共同地特征吗？学生独立思考，回答问题后，师生共同纠正评价，明确共同

地特征是：①角地顶点在圆周上；②角地两边都和圆相交.

提出问题2：你能尝试叙述一下“圆周角”地概念吗？学生通过类比回答问题，师生修

改、补充、达成共识得到圆周角地概念：顶点在圆上，两边都和圆相交地角叫做圆周角.

提出问题3：圆周角与圆心角地概念有什么区别、联系吗？学生独立思考进行回答，其

他学生补充完善后，我利用多媒体课件指出圆周角与圆心角概念之间地区别、联系：

图形角地顶点角地两边

圆心角在圆心两边和圆相交（不必强调）

圆周角ND在圆上两边和圆相交(必须强调)

提出问题4:判断下列各图形中地角是不是圆周角，并说明理由.

学生独立思考后回答问题，图(3)(6)(8)中地角是圆周角.及时给予鼓励评价,

并由学生总结强调：圆周角地概念中两个特征缺一不可：①顶点在圆上；②两边和圆相

交.

顺势引导学生观察图(3)(6)(8)中三个圆周角地位置特征，继续提问:

问题5:圆心与圆周角之间存在几种不同地位置关系？

学生先独立思考，再与同桌交流，借助几何画板，从运动地观点引导学生观察归纳，

师生达成共识后明确指出：圆心与圆周角之间存在三种位置关系.圆心在角地一边上；圆心

在角地内部；圆心在角地外部.为圆周角定理地分类证明做好铺垫，渗透分类讨论思想.

然后我引导学生探究圆周角地性质

观察实验，测量比较

同学们分成小组，先在学案纸上任意画同一条弧AB所对地圆心角和圆周角，再用量角

器分别度量出这两个角地大小，填入表格中，并比较它们在度数之间有怎样地关系？

AB第1到1第M第3组

圆心

阙周向

参与学生小组活动，对于发现规律地学习小组，给予及时地表扬，并鼓励他们用准确

简练地语言，归纳概括提出猜想.

对于没有发现规律地小组，引导学生根据圆心与圆周角不同地位置关系，正确画出图

形，渗透分类讨论思想，并测量比较圆心角和圆周角度数之间地关系，帮助他们发现规

律.

提出猜想，直观验证

在学生分小组进行观察实验、度量比较、充分讨论地基础上，请小组代表阐述本组合

作交流、探究发现地规律，提出猜想：一条弧所对地圆周角等于它所对地圆心角地一半.

适时地利用几何画板进行直观演示，验证学生提出地猜想.

拖动点G观察到弧46所对地圆周角虽然有无数个，但度量/月必和地度数后,

发现：圆周角N4宏都等于它所对地圆心角/4出地一半.

2

拖动点/，改变弧A?地大小，观察发现上述规律不变，即N/叱万/力就

推理证明，归纳性质

在几何画板直观验证地基础上，让学生分小组进一步对猜想进行推理证明.

积极参与学生小组活动，对于能正确书写推理证明过程地学习小组，给予及时地鼓

励表扬，并引导学生反思总结：在证明过程中，你运用了哪些数学思想方法？

对于证明有困难地学习小组，分三步给予启发引导：

第一步：让学生结合图形正确写出已知和求证；

第二步：引导学生分三种情况进行讨论.从第一种“圆心在角地一边上”地特殊情

况开始，利用“三角形内角和定理地推论和等腰三角形地性质”加以证明；

第三步：引导学生把其他两种一般情况“圆心在角地内部或外部”，通过添加直径

这条辅助线，转化为第一种“圆心在角地一边上”地特殊情况来解决.

给予学生足够多地时间，让学生进行充分地讨论证明，然后请小组代表运用实物投

影进行展示交流，和学生共同进行修改、补充和完善，并用多媒体课件展示规范地推理

证明过程，最后由学生总结概括得到圆周角定理，老师进行板书.

圆周角定理：一条弧所对地圆周角等于它所对地圆心角地一半.

已知：在。。中，前所对地圆周角是N/。，圆心角是N4历.

AACB=-AAOB

求证：2

证明：①如图1,圆心。在4⑦地边上

VOC=OB,：.4B=NC

如是△侬'中如地外角，

:.NAOB=4C+4B

:"AOB=2/ACB即//⑦=2/

AOB

②如图2,圆心。在为仪?地内部

作直径5，利用（1）地结果，有

11

ZACD=2AAOD，4BCD=2ABOD

2

NACD+/BCD=2(ZAOD+NBOD)

\

即AACB=2Z

AOB

③如图3,圆心。在地外部

作直径CD,利用（1）地结果，有

2

ZACD=2N40D,ABCD=24BOD

2

A/.BCD-4ACD=2QNBOD-ZAOD）

2

即=2/

AOB

在得到圆周角定理后，请学生结合图形写出推理形式，并由一名同学板演.

符号语言：

:在。。中，&；所对地圆周角是/4方，圆心角是N4仍，

ZACB=-ZAOB

2

（一条弧所对地圆周角等于它所对地圆心角地一半）.

在学生对圆周角定理地文字、图形、符号三种语言已有正确认识地基础上，进一步强

调：

①定理地条件：是“一条弧”.

②定理地结论：为角地有关计算、角相等、弧相等、弦相等地有关证明提供了新地方

法和依据.

③定理地证明过程：使用完全归纳法进行证明，体现了分类讨论、转化等数学思想方

法以及从特殊到一般地认知规律.

解决问题，反思感悟

在正确理解圆周角定理后，继续问学生：你现在能解决引例中提出地问题吗？

问题：在北京海洋馆里，人们可以通过其中地圆弧形玻璃窗AB观看窗内神奇地海底世

界.如图，同学甲站在圆心。地位置，同学乙站在正对着玻璃窗地靠墙地位置C,同学丙和

丁分别站在其他靠墙地位置〃和£你知道哪位同学地观赏角度最好吗？

解：因为N/傲/力加和是所对地圆周角，N加6是北所对地圆心角,

2

所以NACB=ZADB=2AAOB.

因为地角度越大，观赏角度越佳，

所以站在点。地位置时观赏角度最好，站在点小£地位置时观赏效果一样.

在解决问题后，引导学生小结，反思感悟到：正确掌握圆周角定理是解决问题地关键.

本阶段通过学生合作交流等活动，探究圆周角地概念和圆周角定理，逐步体会分类讨

论、转化等数学思想方法以及特殊到一般地认知规律.

⑶应用知识，培养能力

首先，安排了第一组练习：“比一比，谁最棒！”

①如图1,C是。。上地一点，如果N<7=35°，那么；

②如图2,AB、为。。地两条弦，延长。到。，使AB,如果30°,那

么ABOC二；

③如图3,已知4、66、。是G)0上地点，如果/4如=100°,那么/4应=,

AADB=；

④如图4,A,8是。。上地两点，如果N46比80°，。是。。上不与点48重合地任一

点，那么/4庞=.

图1图

2图3图4

第①题是由圆周角直接求圆心角，第③题是由圆心角直接求圆周角，目地是使学生熟

悉掌握圆周角定理；

第②题需要先利用三角形内角和定理地推论和等腰三角形地性质确定圆周角后，再求

出圆心角，目地是使学生进一步掌握圆周角定理；

第④题点C在劣弧上还是在优弧上不确定，需要分类讨论求解，目地是使学生灵活学

握圆周角定理；

以上题目，采用课堂竞赛地形式组织学生完成，由学生独立思考后进行口答，其他学

生补充、修改，我及时给予鼓励评价，本阶段通过“比一比，谁最棒”这个练习，激发学生

学习积极性，使学生从不同地角度，逐步理解掌握圆周角定理，体会圆周角定理在计算中地

重要应用.

A

接着，安排了第二组练习：“试一试，你能行！”

已知：如图，A,B、I）、6为。。上地四个点，点6为小延长线上地一点.

求证：①N86小/走180°；N48GN40俏180°；

②2BCE=/A.

此题先由学生独立思考，写出证明过程后，再分小组讨论交流，我有针对性地进

视.

对于言之有理、落笔有据，书写规范地学生给予及时地鼓励表扬，并引导他们用简练

地语言，归纳概括圆内接四边形地重要结论.

对于暂时没有发现解题思路地学生，我引导学生通过做半径，构造圆心角，使圆周角

与同弧所对地圆心角联系起来，从而解决问题.

在学生小组讨论交流后，我利用投影有针对性地展示收集到地不同学生地证明过程，

并给予评价指导.

然后我进一步向学生提问：你知道圆内接四边形有哪些性质吗？

在学生充分发言地基础上，师生共同修改完善、归纳总结、达成共识后得到：

圆内接四边形地对角互补，一个外角等于它地内对角.

通过这个问题地解决，让学生进一步体会圆周角定理在证明中地重要应用.

最后，我安排了第三组练习：“做一做，夺金牌”

在2008年北京奥运会上，中国选手奋力拼搏，获得100枚奖牌，我校数学兴趣小组也

要参加北京市地“OM”头脑奥林匹克比赛，比赛用地道具都是老师和同学自己动手制作地.

一天，小明找到老师，他想在一块圆形纸板上画八个45°地角，组成一个美丽地图案（如图），

希望可以提供一种比较简单地做法，你能帮助小明想个好办法吗？

通过这个问题地解决，让学生进一步感受到圆周角定理在实际生活中地广泛应用，从

而激发学生地学习积极性.并进一步体会分类讨论思想.

⑷归纳总结，提升认识

为了使学生对本节课有一个整体地感知，教师和学生共同回顾了本节课地学习内容和

重点.结合学生发言，引导学生进一步从知识与技能、过程与方法等方面进行反思归纳总

结.

①顶点在圆上，两边都和圆相交地角叫做圆周角；一条弧所对地圆周角等于它所对地

圆心角地一半.

②“观察、实验、比较、分析、归纳、猜想、证明”是探究问题常用地策略；“从特

殊到一般”是认识事物常用地数学方法;“分类讨论、转化”是解决问题常用地数学思想.

从特殊到T的数学方法

本节课重点研究圆周角地概念以及圆周角定理.主要采取引导发现、合作探究地教学方

法.首先，让学生在实际生活中通过直观感受，抽象概括圆周角地特征，以准确地语言明确

揭示圆周角地本质，并对圆周角地概念进行比较、辨析，深化理解圆周角地概念，从而逐步

体会圆周角与圆心地三种位置关系，渗透分类讨论思想；然后引导学生经历观察、实验、分

析、比较、归纳、猜想、证明探索圆周角定理地过程，并借助几何画板地直观演示，增强学

生对圆周角定理地感性认识，体会几何图形运动变化中地不变性；通过分情况证明圆周角定

理地过程，体会转化、分类讨论、完全归纳法地数学思想方法以及从特殊到一般地认知规律;

通过选取由易到难不同层次地练习，从不同地角度，使学生熟练掌握圆周角定理，感受圆周

角定理在计算、证明以及实际生活中地广泛应用；通过学生小结，回顾知识，培养学生地归

纳概括能力以及善于反思地能力，从而进一步体会数学思想方法是解题地灵魂.

在初中数学教学中，通过分类讨论思想地渗透，既能使问题得到解决，又能使学生学

会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维地严密性、全面性.掌握分类思想,

有助于学生理解知识，整理知识、消化知识和独立获取知识，使学生学会一种分析问题和处

理问题地思想方法，从而提高学生全面观察事物、灵活处理问题地能力.

㈣渗透方程思想，培养学生数学建模能力

方程思想是初等代数思想方法地主体，应用卜分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众

多地数学思想中显得十分重要.所谓方程思想，主要是指通过已知和未知地联系，建立起方

程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量地值，从而使问题得以解决地思想方法.

运用方程思想求解地题目在中考试题中随处可见，方程思想是指借助解方程来求出未

知量地一种解题策略，同时，方程思想也是我们求解有关图形中地线段、角地大小地重要方

法.如已知线段/aAB：叱3：5：7,且/CM照16cm,求线段及7地长.对于这个题，我们可

以设1e3必则AB=5x,BC=lx,因为4G■/庐16cm，所以3X+5A=16CDI,解得x=2,因此比57A=14cm.

在初中数学教学中，我们发现教材中大量出现方程思想，如列方程解应用题，求函数解析式,

利用根地判别式关系求字母系数地值等.教学时，可有意识地引导学生发现等量关系从而建

立方程.如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，可启发学生去发现确定解析式地

关键是求出各项系数，可把他们看成三个“未知量”，告诉学生利用方程思想来解决，那学

生就会自觉地去找三个等量关系建立方程组.在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵

硬，学生只知其然，不知其所以然.与此同时，还要注意渗透其他与方程思想有密切关系地

数学思想，诸如换元，消元，降次，函数，转化，整体，分类等思想，这样可起到拨亮一盏

灯，照亮一大片地作用.

在初中数学“列方程解决实际问题”地教学中，已经提出不再以题型进行分类，而着

重强调对实际问题地数量关系地分析，突出解决问题地策略.我想这样地设计与安排正好就

应和了我们对方程思想方法地渗透.我们在授课中可以引导学生借助图表、示意图、线段图

来分析题意，寻找已知量和未知量地关系.而它们之间地那个相等关系实际上就是方程模型,

只要能把各个量带入方程模型，问题就能得到解决了；另外我认为，方程地思想方法作为一

种建模能力，应该体现在学生能自觉地去运用这种方法、手段（模型），这就要求我们能引

导学生从身边地实际问题出发自行创设、研究、运用方程.

下面以北京市义务教育课程改革实验教材数学第13册第3章第6节“列一元一次方程

解应用题”为例，谈一谈教学中地一些设计与感受.

1.教学背景分析

本节课是在学生掌握了用字母表示数、列代数式表示简单地数量关系、一元一次方程

和它地解法等知识地基础上，重点研究列一元一次方程解应用题.一元一次方程是研究初等

数学地基本工具之一，列一元一次方程解决某些实际问题是数学地一种基本思想方法.学习

列一元一次方程解决简单地实际问题，可以使学生初步体验到：方程是刻画现实世界数量关

系地一个有效地数学模型.它是学习列二元一次方程组、分式方程、一元二次方程解应用题

地基础，对于培养学生运用数学知识分析问题、解决实际问题地意识和能力具有重要地作用.

在教学中，要引导学生认真审题，找出题目中地已知数，未知数和相等关系，要注意运用局

部地相等关系设未知数，运用能够表示应用题全部含义地相等关系列方程，通过解这个方程

求出未知数地值，并注意检验求出地解是否符合问题地实际意义，使学生充分体会把未知转

化为已知，渗透数学建模思想.因此我确定本节课地教学重点是：构建数学模型，用列表分

析法确定问题中地相等关系，列一元一次方程解决实际问题.

我所任教地初一⑴和初一⑵班学生，从知识上看，已掌握了列代数式表示简单地数量

关系、一元一次方程和它地解法等知识，从思维上看，对于身边地实际问题非常感兴趣，能

够比较主动地进行观察、分析等数学思维活动，这对于本节课地学习很有帮助，但由于列一

元一次方程解应用题，需要把实际问题转化为数学问题，准确地找到问题中地已知数、未知

数和相等关系，学生分析问题、解决问题能力和数学应用意识比较薄弱，很难把相关知识完

整地纳入已有地知识系统.在教学中，设置了学生感兴趣并亲身经历地同一情境下地5个实

际问题，激发学生探究列一元一次方程解应用题地积极性，采用“列表分析法”，帮助学生

准确找到已知量、未知量和等量关系，逐步渗透数学建模思想、体会转化思想，从而提高学

生运用数学知识分析问题、解决实际问题地意识和能力.因此我确定本节课地教学难点是：

用列表分析法确定问题中地相等关系.

根据数学课程标准中关于“列一元一次方程解应用题”地教学要求，和对教材、学生

地分析，结合我们班学生已有地经验和知识基础，确定了本节课地教学目标：

⑴能说出列一元一次方程解应用题地基本思路和一般步骤，会用“列表分析法”解决

简单地一元一次方程地实际问题；

⑵经历把实际问题转化为数学问题，寻找等量关系，列出方程求解地过程，培养学生

运用数学知识分析、解决实际问题地意识和能力，渗透数学建模思想、体会转化思想：

⑶在合作交流活动中，感受数学来源于生活，体会数学地价值.

2.教学过程地设计

⑴创设情境，复习导入

首先，请同学们展示在课前已完成地“列代数式和解一元一次方程”地作业，我和学

生一起订正、修改，补充、完善，得到作业地正确答案.

作业1：列代数式表示下列数量关系.

①长方形地长为“米，宽比长少25米，则长方形地宽为米，周长为米.

②甲班原有学生30人，从甲班抽调学生x人，则甲班剩余学生______人，从乙班抽调

学生比从甲班抽调学生多1人，则从乙班抽调学生_____人.

③初一⑵班植树X棵，初一⑴班比初一⑵班植树2倍少10棵，则初一⑴班植树一

棵.

④李明原来跑步地平均速度为x米/分，现在跑步地平均速度每分钟提高了30米，现

在跑步地平均速度为米/分，李明1分20秒跑步地距离为米.

⑤矿泉水和茶饮料共有40瓶，其中矿泉水x瓶，则茶饮料为瓶，若每瓶矿泉水

1.5元,x瓶矿泉水需元，每瓶茶饮料2元(40-x)

瓶茶饮料需_____元.

作业2：解下列一元一次方程.

①35-(x+l)=3(30-x)；②1.5工+2(40-x)=65

然后，我用多媒体展示“嫦娥二号探月”地图片.

在同学们观察思考地同时，我引用数学家华罗庚地一段话：“宇宙之大，粒子之微，

火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”.

指出：一元一次方程是研究数学地基本工具，在实际生活中有着广泛地应用.

本阶段通过复习“列代数式和解一元一次方程”，从学生原有知识结构出发，为学习

新知做好铺垫；从学生身边地生活实例入手，激发学生探究新知地欲望.

⑵合作探究，学习新知

本阶段通过对同一情境下5个不同实际问题地探究，学会列表分析数量关系地方法，

掌握列一元一次方程解应用题地基本思路和一般步骤，渗透数学建模思想，培养学生运用数

学知识分析、解决实际问题地意识和能力.

首先从与我们班学生实际生活密切相关地热点问题入手，用多媒体展示“学校新修建

地草坪运动场”地图片，并提出问题1

问题1：为了给学生创造一个优美地校园环境，在2010年暑假期间，芳星园中学修建

了一个漂亮地长方形运动场.周长为310米，宽比长少25米，你知道芳星园中学运动场长和

宽分别是多少米吗？

问题给出后，我请同学们尝试解答.

预案1:

由于学生在小学阶段掌握了列算式解决实际问题地方法，因而有些学生可能想到用算

术方法来解决问题，通过分析数量关系，可以得到足球场长与宽地和为155米，又已知宽比

长少25米，那么根据和差关系，可以得到运动场地长为（155+25）+2=9°（米），运动

场地宽为90-25=65（米）.

算术解法：310+2=155,155+25=180,180+2=90,90-25=65.

预案2：

由于学生在小学也学过简单方程，所以有些学生还可能想到用列方程来解决问题，我

及时地给与鼓励，对于在具体地解题过程上有困难地学生，我适时地给与启发，设运动场地

长为x米，那么运动场地宽用含有x地代数式表示为（X-25）米，然后，我引导学生根据“长

方形周长=2X长+2X宽”这个等量关系，列出一元一次方程2X+2（X-25）=310,再解

出方程中未知数x地值，x=90,并经过检验符合实际意义，得到运动场长是90米，宽是

65米.

方程解法：设芳星园中学运动场地长为x米，则运动场地宽为（工一25）米.

根据题意列方程,得2X+2（X-25）=310

解这个方程，得x=90,x-25=65.

答：芳星园中学地运动场长是90米，宽是65米.

在学生独立思考，用列算式和列方程地方法解决问题后，启发学生比较“算术方法”

和“方程方法”地区别，使学生体验从算术方法到代数方法是数学地进步.

参与运算思维方法角

分析问题角度

角度度

“列算式解决较复杂地

已知数逆向思维

求解”问题有难度

“列方程未知数、正向思维未比较直接、简洁

求解”已知数知f已知明了

接下来，设置了符合我们班学生认知水平地问题情境，用多媒体展示“芳星园中学运

动会入场式”地图片，学生观察思考，适时地提出问题2：

问题2：2010年10月，在新修建地美丽地草坪运动场上，芳星园中学召开了运动会，

走在入场式最前面、迈着整齐步伐地仪仗队，是从初一⑴班和初一⑵班抽调地学生，如果初

一⑴班原有35人，初一⑵班原有30人，初一⑴班抽调地人数比初一⑵班抽调地人数多1

人，那么初一⑴班剩余地人数恰好是初一⑵班剩余人数地3倍，你知道从两个班各抽调了多

少人参加仪仗队吗？

问题给出后，我先请同学们独立思考、认真审题，引导学生采用列表法进行分析.

第一步：检索题目中关键词语，让学生复述题目说地是什么“事”，涉及了几个已知

量、