高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)8.2一元线性回归模型及其应用-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析)

8.2一元线性回归模型及其应用备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：绘制散点图；根据散点图判断是否线性相关；由散点图画求线性回归方程；解释直线回归方程的意义；用回归直线方程对总体进行估计；根据回归方程求原数据中的值；计算样本中心点；根据线性回归方程进行线性估计；根据样本中心点求参数；最小二乘概念与辨析；求回归直线方程课堂知识小结考点巩固提升知识归纳1、相关关系的分类：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关。2、线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。3．最小二乘法求回归方程：(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．考点讲解考点讲解考点1：绘制散点图例1．某商城在某年前5个月的销售额和利润额资料如下表所示：月份一月二月三月四月五月销售额x/千万元利润额y/千万元(1)根据上表数据画出散点图；(2)观察散点图，判断利润额y与销售额x之间是否具有线性相关关系．【变式训练】1．有以下几组的统计数据：，，，，，要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是________．2．下表为中国15~19岁男性身高与体重关系表，画出散点图，并观察体重与身高的关系．身高（cm）153155157159161163165167体重（kg）46.547.348.249.450.551.75354.7身高（cm）169171173175177179181183体重（kg）55.456.858.259.561.463.16566.5考点2：根据散点图判断是否线性相关3．下列散点图中，两个变量之间存在正相关的散点图的序号为______．【变式训练】1．如图是根据的观测数据得到的散点图，可以判断变量，具有线性相关关系的图是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．①④2．在下列各图中，变量、具有线性相关关系的是（

）A． B．C． D．考点3：由散点图画求线性回归方程例3．2021年8月27日教育部在其网站发布了2020年全国教育事业发展统计公报，其中“十三五”时期全国高等教育在学总规模和毛入学率如下图所示，则下列四个回归方程类型中最适合作为毛入学率和年份数的回归方程类型是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（

）A． B． C． D．2．变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（

）．A． B． C． D．考点4：解释直线回归方程的意义例4．（多选）关于回归分析，下列说法正确的是（

）A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法B．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心C．回归模型中一定存在随机误差D．散点图能明确反映变量问的关系【变式训练】1．下列命题中正确的为（

）散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个变量线性相关性越弱；同一组样本数据中，决定系数越大的模型拟合效果越好A． B． C． D．2．根据如下样本数据：得到线性回归方程为，则（

）A． B． C． D．考点5：用回归直线方程对总体进行估计例5．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（）（万亿元）关于年份代号的回归方程为，则由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值约为________万亿元．（保留一位小数）【变式训练】1．已知施肥量与玉米产量之间的回归方程为，则当施肥量时，对玉米产量的估计值为（

）A． B．545 C． D．2．（多选）尽管2022年上半年新能源汽车产销受疫情影响，但各企业高度重视新能源汽车产品，供应链资源优先向新能源汽车集中，从目前态势来看，整体产销量完成情况超出预期.下表是2022年我国某地新能源汽车前个月的销量和月份的统计表，根据表中的数据可得经验回归方程为，则（

）月份销量（万辆）A．变量与正相关 B．与的样本相关系数C． D．2022年月该地新能源汽车的销量一定是万辆考点6：根据回归方程求原数据中的值例6．某企业为了研究某种产品的销售价格（元）与销售量（千件）之间的关系，通过大量市场调研收集得到以下数据：16128424a3864其中某一项数据※丢失，只记得这组数据拟合出的线性回归方程为：，则缺失的数据a是（

）A．33 B．35 C．34 D．34.8【变式训练】1．“你指尖跃动的电光，是我此生不变的信仰，唯我超电磁炮永世长存．”御坂美琴在学园都市中仅有7名超能力者中排名第3位，其能力「超电磁炮」可将硬币以高速射出．发射速度v（单位：m/s）可与蓄力时间t（单位：s）拟合线性回归方程．已知平均蓄力时间为7.5s，平均发射速度为1030m/s，当蓄力时间为12s时，发射速度约为（

）A．1280m/s B．1460m/s C．1450m/s D．1480m/s2．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：01234且线性回归方程是，则等于（

）A． B． C． D．考点7：计算样本中心点例7．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程表示的直线必过点（

）x0123y1246A． B． C． D．【变式训练】1．由变量与相对应的一组数据得到的线性回归方程为，根据样本中心满足线性回归方程，则（

）A．45 B．51 C．67 D．632．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为必过点（

）A．（2，2） B．（1.5，0）C．（1.5，4） D．（1，

2）考点8：根据线性回归方程进行线性估计例8．假如女儿的身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程是，已知父亲身高为175cm，估计女儿的身高为________cm．【变式训练】1．设某中学的高中女生体重（单位：与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（

）A．与具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加，则其体重约增加D．若该中学某高中女生身高为，则可断定其体重必为2．某商店对每天进店的人数与某种商品的销售量（单位：件）进行了统计，得到的线性回归方程为.如果某天进店人数是100人，那么可预测这一天该商品销售的件数为___________.考点9：根据样本中心点求参数例9．某智能机器人的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表：广告费用（万元）2356销售额（万元）28314148根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为______万元．【变式训练】1．2021年高考成绩揭晓在即，某学生高考前8次数学模拟考试成绩如表所示，模拟次数（x）12345678考试成绩（y）90105110110100110110105根据考试成绩y与考试次数x的散点图可知，满足回归直线方程.若将2021年的高考看作第10次模拟考试，根据回归直线方程预测今年的数学高考成绩为（

）A．100 B．102 C．112 D．1302．已知具有线性相关的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若为原点），则_______.考点10：最小二乘概念与辨析3．（多选）下列命题是假命题的有（

）A．回归方程至少经过点中的一个B．若变量y和x之间的相关系数，则变量y和x之间的负相关性很强C．在回归分析中，决定系数为0.80的模型比决定系数为0.98的模型拟合的效果要好D．在回归方程中，变量时，变量y的值一定是﹣7【变式训练】1．已知与之间的一组数据：

x1234y3579则与的线性回归方程为必过（

）A． B． C． D．2．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（

）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2考点11：求回归直线方程例11．网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据：123452.63.14.56.88.0(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额．附：，，．参考数据：，，，．【变式训练】1．某种产品的广告支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下的对应关系：x24568y3040605070(1)假定y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程；(2)若广告支出为10万元，销售额应为多少？参考公式：线性回归方程，其中，.2．2021年是中国加入世界贸易组织20周年，“入世”是中国对外开放的一个里程碑，中国已经连续11年成为货物贸易出口第一大国，经济全球化是历史潮流，大势所趋.“入世”20年，中国的发展证明，世界经济离不开中国，中国发展也离不开世界.下表是中国2016~2020这5年来的国内生产总值（GDP）数据，已知年份代码和国内生产总值呈线性相关关系.年份20162017201820192020年份代码x12345国内生产总值y/万亿美元11.212.313.914.314.7(1)求年份代码x和国内生产总值y的回归直线方程(2)预测2022年的国内生产总值.参考数据：.参考公式：线性回归方程中，.知识小结知识小结1、相关关系的分类：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关。2、线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。3．最小二乘法求回归方程：(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．巩固提升巩固提升一、单选题1．如果在一次试验中，测得的四组值分别是、、、，则与的回归直线方程是（

）A． B． C． D．2．已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为，回归直线方程为，若，，则（

）A．40 B．－17 C．－170 D．43．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．下面关于相关系数的比较，正确的是（）A． B． C． D．4．如图是变量，的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程；，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到回归直线方程：，相关系数为，则（

）A． B． C． D．5．如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（

）A．相关系数r变大 B．相关指数变大C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强6．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）广告费x23456销售额y2941505971由上表可得回归方程为，又已知生产该商品的成本（不含广告费）为（单位：万元），据此模型预测最大的纯利润为（

）A．30.15万元 B．21.00万元 C．19.00万元 D．1.50万元7．如果在一次实验中，测得的五组数值如下表所示：012341015203035经计算知，对的线性回归方程是，预测当时，（

）A．47.5 B．48 C．49 D．49.58．某产品的营销费用（万元）与净利润额（万元）的统计数据如下表：345640424551根据上表可得回归方程中的为，据此预预营销费用为7万元时的净利润额为（

）万元A．52 B． C．53 D．二、多选题9．某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：x（单位：万元）与销售利润y（单位：万元）的相关数据，如表所示，根据表中数据，得到经验回归方程，则下列结论正确的是（

）广告费用x3458销售利润y4578A． B．C．直线l必过点 D．直线l必过点10．某公司2016-2020年的收入与支出情况如下表所示收入（亿元）支出（亿元）根据表中数据可得经验回归方程为，则下列说法正确的是（

）A．该公司支出与收入成正相关B．该公司收入每增加亿元，支出一定增加亿元C．D．该公司收入为亿元时支出约为亿元三、填空题11．某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如表的样本数据．据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是________．34562.5344.512．某同学收集了具有线性相关关系的两个变量x，y的一组样本数据，经计算得到回归直线方程为，且，，则______.13．已知变量x，y线性相关，样本相关系数，且，，则在坐标系下的散点图中，大多数的点都不落在第_________象限.14．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：T）和年利润z（单位：千元）的影响．对近10年的年宣传费和年销售量的数据作了初步处理，得到y关于x的回归方程．且这种产品的年利润z与x、y的关系为；则年宣传费x为_____________时年利润的预报值最大．四、解答题15．为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：单价元销量万件(1)求单价的平均值；(2)根据以上数据计算得与具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得关于的经验回归方程为，求的值．附：16．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价（单位：元件）及相应月销售量（单位：万件），对近5个月的月销售单价和月销售量（，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如下表数据：月销售单价（元/件）1015202530月销售量为（万件）1110865(1)求关于的回归直线方程；(2)利用（1）的回归方程，当该产品月销售单价为元/件，月销售量的预测值为多少？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，其中，8.2一元线性回归模型及其应用备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：绘制散点图；根据散点图判断是否线性相关；由散点图画求线性回归方程；解释直线回归方程的意义；用回归直线方程对总体进行估计；根据回归方程求原数据中的值；计算样本中心点；根据线性回归方程进行线性估计；根据样本中心点求参数；最小二乘概念与辨析；求回归直线方程课堂知识小结考点巩固提升知识归纳1、相关关系的分类：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关。2、线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。3．最小二乘法求回归方程：(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．考点讲解考点讲解考点1：绘制散点图例1．某商城在某年前5个月的销售额和利润额资料如下表所示：月份一月二月三月四月五月销售额x/千万元利润额y/千万元(1)根据上表数据画出散点图；(2)观察散点图，判断利润额y与销售额x之间是否具有线性相关关系．【答案】(1)散点图见解析(2)具有线性相关关系【分析】（1）根据表格提供数据画出散点图.（2）根据散点图作出判断.（1）散点图如图所示．（2）由散点图可知，所有散点排列在一条直线附近，所以利润额与销售额之间具有线性相关关系．【变式训练】1．有以下几组的统计数据：，，，，，要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是________．【答案】【分析】在散点图中画出五个点，结合图象即可得出结论．【详解】在散点图中画出这五个点，如图所示：由散点图知，除去点之外，其余的点都在一条线附近，所以去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系．故答案为：．2．下表为中国15~19岁男性身高与体重关系表，画出散点图，并观察体重与身高的关系．身高（cm）153155157159161163165167体重（kg）46.547.348.249.450.551.75354.7身高（cm）169171173175177179181183体重（kg）55.456.858.259.561.463.16566.5【答案】答案见解析【分析】根据表中数据作出散点图，即可根据散点图作出判断.【详解】随着身高的增长，体重也随之增长，两者之间呈现正相关关系．考点2：根据散点图判断是否线性相关3．下列散点图中，两个变量之间存在正相关的散点图的序号为______．【答案】（2）（4）【分析】根据正相关的定义即可判断.【详解】由散点图可知：（1）（3）的散点呈左上到右下分布，故为负相关，（2）（4）的散点呈左下到右上，故为正相关.故答案为：（2）（4）【变式训练】1．如图是根据的观测数据得到的散点图，可以判断变量，具有线性相关关系的图是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下即可.【详解】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下，所以③④图的变量具有线性相关关系.故选：B2．在下列各图中，变量、具有线性相关关系的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用散点图判断可得出结论.【详解】由散点图可知，A选项中的散点均匀地分布在一条直线附近，变量、具有线性相关关系，BCD选项中的散点没有分布在一条直线附近，故BCD选项中变量、不具有线性相关关系.故选：A.考点3：由散点图画求线性回归方程例3．2021年8月27日教育部在其网站发布了2020年全国教育事业发展统计公报，其中“十三五”时期全国高等教育在学总规模和毛入学率如下图所示，则下列四个回归方程类型中最适合作为毛入学率和年份数的回归方程类型是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合散点图的变化趋势进行判断，即可得到答案.【详解】根据图象可知，函数图象随着自变量的变大，函数值增长速度基本不变，再由图象的形状结合选项，可判定函数符合要求.故选：A【变式训练】1．如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据散点图与给所函数的图象的偏离情况，即可求解.【详解】由散点图可知，y与x负相关,故排除A,B,对于D：，点偏离较大，而点近似在曲线附近，所以y关于x的回归方程是C的可能性大．故选：C．2．变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据散点图据曲线形状结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质判断即得．【详解】由散点图可以看出y随着x的增长速度越来越快，结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质可知，最适宜作为y和x的回归方程类型的是：．故选：B.考点4：解释直线回归方程的意义例4．（多选）关于回归分析，下列说法正确的是（

）A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法B．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心C．回归模型中一定存在随机误差D．散点图能明确反映变量问的关系【答案】ABC【分析】根据回归分析的相关概念和性质逐个分析判断即可.【详解】对于A，回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法，所以A正确，对于B，运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心，所以B正确，对于C，因为相关关系是一种非确定关系，所以回归模型中一定存在随机误差，所以C正确，对于D，散点图反映的是两个变量间的关系，存在误差，所以D错误，故选：ABC【变式训练】1．下列命题中正确的为（

）散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个变量线性相关性越弱；同一组样本数据中，决定系数越大的模型拟合效果越好A． B． C． D．【答案】C【分析】根据变量间的相关系数，一一判断即可．【详解】解：对于，散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系，故正确；对于，回归直线也可能不过任何一个点，故错误；对于，线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个变量线性相关性越强，故错误；对于，同一组样本数据中，决定系数越大的模型拟合效果越好，故正确．故选：C．2．根据如下样本数据：得到线性回归方程为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据与负相关且样本点集中在第一象限可判断出结果.【详解】由样本数据知：与负相关，；又样本点位于第一象限，在轴截距为正，.故选：B.考点5：用回归直线方程对总体进行估计例5．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（）（万亿元）关于年份代号的回归方程为，则由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值约为________万亿元．（保留一位小数）【答案】【分析】根据题意求出国内生产总值再除以人数即可.【详解】根据题意，2035年对应年号，所以（万亿），所以我国在2035年底人均国内生产总值约为万亿元.故答案为：.【变式训练】1．已知施肥量与玉米产量之间的回归方程为，则当施肥量时，对玉米产量的估计值为（

）A． B．545 C． D．【答案】C【分析】将代入回归方程即可求解【详解】因为施肥量与玉米产量之间的回归方程为，则当施肥量时，，故选：C2．（多选）尽管2022年上半年新能源汽车产销受疫情影响，但各企业高度重视新能源汽车产品，供应链资源优先向新能源汽车集中，从目前态势来看，整体产销量完成情况超出预期.下表是2022年我国某地新能源汽车前个月的销量和月份的统计表，根据表中的数据可得经验回归方程为，则（

）月份销量（万辆）A．变量与正相关 B．与的样本相关系数C． D．2022年月该地新能源汽车的销量一定是万辆【答案】AC【分析】根据相关关系的概念判断AB选项，再根据回归直线经过样本中心可计算，进而可得估计值，判断CD选项.【详解】由，，可知随着变大而变大，所以变量与正相关，选项A正确，选项B错误；，，因为回归直线过样本中心，所以，，故选项C正确；由回归直线可知，2022年月该地新能源汽车的销量的估计值是万辆，而不一定是万辆，故选项D错误；故选：AC.考点6：根据回归方程求原数据中的值例6．某企业为了研究某种产品的销售价格（元）与销售量（千件）之间的关系，通过大量市场调研收集得到以下数据：16128424a3864其中某一项数据※丢失，只记得这组数据拟合出的线性回归方程为：，则缺失的数据a是（

）A．33 B．35 C．34 D．34.8【答案】C【分析】由于线性回归直线一定过样本中心点，所以将样本中心点坐标代入可求得结果.【详解】因为点一定在回归方程上，所以将，代入解得.故选：C.【变式训练】1．“你指尖跃动的电光，是我此生不变的信仰，唯我超电磁炮永世长存．”御坂美琴在学园都市中仅有7名超能力者中排名第3位，其能力「超电磁炮」可将硬币以高速射出．发射速度v（单位：m/s）可与蓄力时间t（单位：s）拟合线性回归方程．已知平均蓄力时间为7.5s，平均发射速度为1030m/s，当蓄力时间为12s时，发射速度约为（

）A．1280m/s B．1460m/s C．1450m/s D．1480m/s【答案】D【分析】根据题意，求出，进而将代入拟合线性回归方程即可求解.【详解】解：由题意，，所以，所以当蓄力时间为12s时，发射速度约为280+100×12=1480m/s．故选：D．2．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：01234且线性回归方程是，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】线性回归方程一定过样本中心.【详解】由表可知：，代入得：.故选：A考点7：计算样本中心点例7．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程表示的直线必过点（

）x0123y1246A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，根据回归直线的性质，必过样本中心，可得答案.【详解】，．则样本中心为.故选：B.【变式训练】1．由变量与相对应的一组数据得到的线性回归方程为，根据样本中心满足线性回归方程，则（

）A．45 B．51 C．67 D．63【答案】B【分析】根据题意求出，由于样本中心点在回归直线上，所以将代入回归方程可求出.【详解】由题意得，因为线性回归方程为，所以，故选：B.2．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为必过点（

）A．（2，2） B．（1.5，0）C．（1.5，4） D．（1，

2）【答案】C【分析】分别求出的均值即得．【详解】由已知，，所以回归直线一定过中心点．故选：C．考点8：根据线性回归方程进行线性估计例8．假如女儿的身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程是，已知父亲身高为175cm，估计女儿的身高为________cm．【答案】165【分析】根据回归方程代入数据计算即得.【详解】根据女儿身高为(单位：)关于父亲身高(单位：)的经验回归方程，当父亲的身高为时，.故答案为：.【变式训练】1．设某中学的高中女生体重（单位：与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（

）A．与具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加，则其体重约增加D．若该中学某高中女生身高为，则可断定其体重必为【答案】D【分析】直接由线性回归方程系数的意义以及必过样本中心点依次判断4个选项即可.【详解】由于线性回归方程中的系数为，因此与具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，每增加，其体重约增加，C正确；当某女生的身高为时，其体重估计值是，而不是确定值，因此D错误.故选：D.2．某商店对每天进店的人数与某种商品的销售量（单位：件）进行了统计，得到的线性回归方程为.如果某天进店人数是100人，那么可预测这一天该商品销售的件数为___________.【答案】72【分析】根据回归方程将代入计算即可.【详解】当时，，所以这一天该商品销售的件数约为72件，故答案为：72.考点9：根据样本中心点求参数例9．某智能机器人的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表：广告费用（万元）2356销售额（万元）28314148根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为______万元．【答案】【分析】计算出样本中心后可求，从而可求广告费用为8万元时销售额.【详解】，，所以，，所以广告费用为8万元时销售额（万元）故答案为：【变式训练】1．2021年高考成绩揭晓在即，某学生高考前8次数学模拟考试成绩如表所示，模拟次数（x）12345678考试成绩（y）90105110110100110110105根据考试成绩y与考试次数x的散点图可知，满足回归直线方程.若将2021年的高考看作第10次模拟考试，根据回归直线方程预测今年的数学高考成绩为（

）A．100 B．102 C．112 D．130【答案】C【分析】计算出样本中心点，代入回归直线方程，求出，从而得到线性回归方程，再代入求出结果.【详解】因为，，所以回归直线过点，代入回归直线方程得，，则回归直线的方程为，当时，得.故选：C.2．已知具有线性相关的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若为原点），则_______.【答案】##-0.125【分析】根据样本中心必在回归直线上即可求解.【详解】,所以,所以样本中心为,因为样本中心必在回归直线上,所以解得.故答案为：.考点10：最小二乘概念与辨析3．（多选）下列命题是假命题的有（

）A．回归方程至少经过点中的一个B．若变量y和x之间的相关系数，则变量y和x之间的负相关性很强C．在回归分析中，决定系数为0.80的模型比决定系数为0.98的模型拟合的效果要好D．在回归方程中，变量时，变量y的值一定是﹣7【答案】ACD【分析】A：回归直线必过样本中心点，但不一定过；B：相关系数为负，说明y与x成负相关，相关系数的绝对值越靠近1相关性越强；C：越大，模型拟合效果越好；D：回归直线上的点不一定是实际样本的值构成的点.【详解】对于A，回归方程是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过，所以A是假命题；对于B，由相关系数的意义，当越接近1时，表示变量y与x之间的线性相关程度越强，变量y和x之间的相关系数，则变量y和x之间具有很强的线性相关关系，所以B是真命题；对于C，用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，所以C是假命题；对于D，在回归方程中，变量时，变量y的预测值是－7，但实际观测值可能不是－7，所以D是假命题.故选：ACD.【变式训练】1．已知与之间的一组数据：

x1234y3579则与的线性回归方程为必过（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出样本中心即可得到答案.【详解】由题意可知：，，与的线性回归方程必过点.故选：.2．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（

）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2【答案】B【解析】将u=lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解：将u=lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：，即，当时，取到最大值2，因为在上单调递增，则取到最大值.故选：B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.考点11：求回归直线方程例11．网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据：123452.63.14.56.88.0(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额．附：，，．参考数据：，，，．【答案】(1)，y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．(2)，万元．【分析】（1）先利用公式计算出相关系数r，再按要求进行比较，进而得到结果；（2）先利用公式求得，得到利润y与时间t的回归方程，进而预测当时的利润额．（1）由题表，，因为，，，所以．故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．（2），，所以．当时，．预测该专营店在时的利润为万元．【变式训练】1．某种产品的广告支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下的对应关系：x24568y3040605070(1)假定y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程；(2)若广告支出为10万元，销售额应为多少？参考公式：线性回归方程，其中，.【答案】(1)(2)82.5万元.【分析】第（1）问，利用参考公式分别求出和即可；第（2）问，将x=10代入（1）中线性回归方程预测销售额.【详解】（1）解：由已知，，，，，∴，∴，∴关于的线性回归方程为：.（2）由（1）中回归方程，当时，（万元）因此，若广告支出为10万元，销售额约为82.5万元.2．2021年是中国加入世界贸易组织20周年，“入世”是中国对外开放的一个里程碑，中国已经连续11年成为货物贸易出口第一大国，经济全球化是历史潮流，大势所趋.“入世”20年，中国的发展证明，世界经济离不开中国，中国发展也离不开世界.下表是中国2016~2020这5年来的国内生产总值（GDP）数据，已知年份代码和国内生产总值呈线性相关关系.年份20162017201820192020年份代码x12345国内生产总值y/万亿美元11.212.313.914.314.7(1)求年份代码x和国内生产总值y的回归直线方程(2)预测2022年的国内生产总值.参考数据：.参考公式：线性回归方程中，.【答案】(1)(2)16.88万亿美元【分析】（1）根据最小二乘法即可求解线性回归方程，（2）利用线性回归方程代入即可预测.【详解】（1），，，所以，，所以年份代码x和国内生产总值y的回归直线方程（2）令，得，所以2022年的国内生产总值大约为16.88万亿美元.知识小结知识小结1、相关关系的分类：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关。2、线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。3．最小二乘法求回归方程：(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．巩固提升巩固提升一、单选题1．如果在一次试验中，测得的四组值分别是、、、，则与的回归直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．【详解】解：，，这组数据的样本中心点是，把样本中心点代入四个选项中，只有成立，故选：B．2．已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为，回归直线方程为，若，，则（

）A．40 B．－17 C．－170 D．4【答案】D【分析】求出样本中心点，代入求解出.【详解】由于，∴，.将（3，10）代入，∴，解得：.故选：D.3．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．下面关于相关系数的比较，正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据散点图的分布可得相关性的强弱，即可比较大小.【详解】由图可知：所对应的图中的散点呈现正相关，而且对应的相关性比对应的相关性要强，故，所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知,因此，故选：C4．如图是变量，的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程；，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到回归直线方程：，相关系数为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得变量和呈正相关，剔除点前的拟合效果不及剔除点后的效果，由此可得结论.【详解】解：观察题中散点图可知，变量和呈正相关关系，所以，，剔除点之后，回归模型的拟合效果更好，所以更接近于1．所以．故选：A．5．如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（

）A．相关系数r变大 B．相关指数变大C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强【答案】C【分析】去掉离群点D后，结合散点图对各个选项进行判断得解.【详解】解：由散点图知，去掉离群点D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r的值变大，故选项A正确；相关指数的值变大，残差平方和变小，故选项B正确，选项C错误；解释变量x与预报变量y的相关性变强，故选项D正确.故选：C．6．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）广告费x23456销售额y2941505971由上表可得回归方程为，又已知生产该商品的成本（不含广告费）为（单位：万元），据此模型预测最大的纯利润为（

）A．30.15万元 B．21.00万元 C．19.00万元 D．1.50万元【答案】C【分析】根据表中数据，计算的值，进而得到的值，根据题意得出纯利润与的函数关系，求解一元二次函数的最值即可.【详解】解：由表格中数据可得，，，∴，解得，∴回归方程为，纯利润为，故当时，有最大值为19，即最大的纯利润为19万元．故选：C．7．如果在一次实验中，测得的五组数值如下表所示：012341015203035经计算知，对的线性回归方程是，预测当时，（

）A．47.5 B．48 C．49 D．49.5【答案】B【分析】根据线性回归方程过样本中心点，结合代入法进行求解即可.【详解】因为，所以样本中心点为，代入中，得，即，当时，，故选：B8．某产品的营销费用（万元）与净利润额（万元）的统计数据如下表：345640424551根据上表可得回归方程中的为，据此预预营销费用为7万元时的净利润额为（

）万元A．52 B． C．53 D．【答案】D【分析】先求出，代入回归方程可确定，再将代入回归方程即可.【详解】，因为回归直线过数据中心点，所以，解得.回归方程，当时，.故选：D.二、多选题9．某公司为了增加某商品的销