高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)4.2.1等差数列的概念-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第二册)(原卷版+解析)

4.2.1等差数列的概念备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断是否为等差数列；用定义法求等差数列通项公式；等差数列通项公式基本量计算；等差中项；等差数列的性质；等差数列的单调性；等差数列的最大（小）项；利用等差数列通项公式求等差数列中的项课堂知识小结考点巩固提升知识归纳等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．通项公式特点：是数列成等差数列的充要条件。3、等差中项若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列4、等差数列的基本性质（1）。（2）（3）5、判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列考点讲解考点讲解考点讲解考点讲解考点1：判断是否为等差数列1．下列数列中，不成等差数列的是（

）．A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a，a，a，a D．，，，【方法技巧】根据等差数列的定义逐个分析判断即可.【变式训练】1．“a，b，c成等差数列”是“”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．数列满足，且，则它的通项公式______．3．在等差数列中，，．(1)求的值；(2)2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？考点2：用定义法求等差数列通项公式例2．在等差数列中，，，则的通项公式______．【方法技巧】由等差数列的通项公式列方程组即可求解.【变式训练】1．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．2．设是等差数列，且，，则___________.3．在数列中，，，则______．考点3：等差数列通项公式基本量计算例3．已知数列{an}与均为等差数列（），且a1＝2，则a20＝________．【方法技巧】设等差数列{an}的公差为d，写出数列的前三项，根据数列为等差数列，列出d的方程，求解出d，即可求出a20．【变式训练】1．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（

）A．3 B． C．5 D．2．已知数列为等差数列，若，则（

）A．4

B．6

C．12

D．163．已知数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，则a11＝____．4．设是等差数列，且，若，则______.考点4：等差中项例4．若b是2，8的等差中项，则______；【方法技巧】根据等差中项的性质求解即可【变式训练】1．在等差数列中，，则（

）A．14 B．16 C．18 D．282．设是等差数列，且，，则（

）A． B． C． D．3．与的等差中项是______．4．若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是______．考点5：等差数列的性质例5．等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=（

）A．45 B．75 C．180 D．300【方法技巧】根据等差数列性质：若，则，运算求解【变式训练】1．若数列满足（其中d是常数），则称数列是“等方差数列”．已知数列是公差为m的等差数列，则“”是“是等方差数列”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件2．在等差数列中，若，则______．3．是等差数列，且，则______．考点6：等差数列的单调性例6．已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（

）A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定【方法技巧】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断.【变式训练】1．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．已知等差数列的首项，公差．(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？(2)当n为何值时，最小？考点7：等差数列的最大（小）项例7．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（

）A．4 B．5C．4或5 D．5或6【方法技巧】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.【变式训练】1．设等差数列的通项公式为，且，则正整数m的最大值是A．4 B．5 C．6 D．72．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.3．已知数列的通项公式为.（1）试问10是数列中的项吗？（2）求数列中的最小项.考点8：利用等差数列通项公式求等差数列中的项例8．设是等差数列，且，，则______．【方法技巧】结合等差数列列方程求解得，再根据通项公式求解即可.【变式训练】1．在数列中，，则等于___________.2．已知等差数列的首项为，且，则______.3．已知数列满足，，则数列的通项公式为______．知识小结知识小结1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．通项公式特点：是数列成等差数列的充要条件。3、等差中项若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列4、等差数列的基本性质（1）。（2）（3）5、判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列巩固提升巩固提升一、单选题1．在等差数列{an}中，若a2+2a6+a10＝120，则a3+a9等于（

）A．30 B．40 C．60 D．802．数列中，，且数列是等差数列，则等于（

）A． B． C．1 D．3．等差数列中，若，，则公差（

）A．2 B．3 C．4 D．54．已知数列是等差数列，且满足，则（

）A． B． C． D．5．已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a5＝（

）A．3 B．6 C．9 D．116．首项为的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（

）．A． B． C． D．7．在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是（

）．A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项8．现有下列命题：①若，则数列是等差数列；②若，则数列是等差数列；③若（b、c是常量），则数列是等差数列．其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、多选题9．已知等差数列的通项公式为，则（

）A． B． C． D．10．（多选）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（

）A． B．C． D．中的第506项是中的第2022项三、填空题11．已知数列为等差数列，，，则公差d为______．12．在等差数列中，若，则与之间的关系是______．13．已知是等差数列，且，，则______．14．已知数列的各项均为正数，，，则______．四、解答题15．在等差数列{an}中，(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.16．判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？(1)在数列中；(2)在数列中；(3)在数列中，其中p，q为常数．4.2.1等差数列的概念备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断是否为等差数列；用定义法求等差数列通项公式；等差数列通项公式基本量计算；等差中项；等差数列的性质；等差数列的单调性；等差数列的最大（小）项；利用等差数列通项公式求等差数列中的项课堂知识小结考点巩固提升知识归纳等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．通项公式特点：是数列成等差数列的充要条件。3、等差中项若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列4、等差数列的基本性质（1）。（2）（3）5、判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列考点讲解考点讲解考点讲解考点讲解考点1：判断是否为等差数列1．下列数列中，不成等差数列的是（

）．A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a，a，a，a D．，，，【答案】B【详解】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，故选：B【方法技巧】根据等差数列的定义逐个分析判断即可.【变式训练】1．“a，b，c成等差数列”是“”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可．【详解】若“a，b，c成等差数列”，则“”，即“a，b，c成等差数列”是“”的充分条件；若“”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“”的必要条件，综上可得：“a，b，c成等差数列”是“”的充要条件，故选：C．2．数列满足，且，则它的通项公式______．【答案】##【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答.【详解】因数列满足，即，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，所以数列的通项公式为.故答案为：3．在等差数列中，，．(1)求的值；(2)2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？【答案】(1)8082(2)2022是数列中的第506项【分析】（1）根据条件求出数列的通项公式即可求解；（2）令可求解.(1)由题意，设等差数列的首项为，公差为．由，，即解得所以，数列的通项公式为．所以．(2)令，解得，所以，2022是数列中的第506项．考点2：用定义法求等差数列通项公式例2．在等差数列中，，，则的通项公式______．【答案】##【详解】设数列的公差为d，由题意得：，解得：，所以.故答案为：【方法技巧】由等差数列的通项公式列方程组即可求解.【变式训练】1．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．【详解】因为，所以．又，故，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．故选：D．2．设是等差数列，且，，则___________.【答案】81【分析】根据等差数列通项即可求解.【详解】因为，所以，又，所以公差，从而.故答案为：813．在数列中，，，则______．【答案】200【分析】先由等差数列的定义求得数列是等差数列，进而求得的通项公式，即可求解.【详解】由，得，而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则有，所以，则．故答案为：200.考点3：等差数列通项公式基本量计算例3．已知数列{an}与均为等差数列（），且a1＝2，则a20＝________．【答案】40【详解】设等差数列{an}的公差为d，则an＝2＋(n－1)d，＝，∵为等差数列，其前三项是，∴，即d2－4d＋4＝0，解得：d＝2，∴a20＝2＋(20－1)×2＝40．故答案为：40．【方法技巧】设等差数列{an}的公差为d，写出数列的前三项，根据数列为等差数列，列出d的方程，求解出d，即可求出a20．【变式训练】1．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（

）A．3 B． C．5 D．【答案】D【分析】由求得公差.【详解】依题意，等差数列的通项公式，，所以公差为.故选：D2．已知数列为等差数列，若，则（

）A．4

B．6

C．12

D．16【答案】C【分析】利用已知条件求出的关系，再利用等差数列的通项公式可求得结果.【详解】设数列的公差为，因为，所以，即，所以，故选：C3．已知数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，则a11＝____．【答案】﹣4【分析】根据等差数列首项和第3项的值得到公差，进而得到第11项，从而求解a11的值.【详解】因为数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，所以数列的公差d，所以（11﹣1）×（），则a11＝﹣4．故答案为：﹣4．4．设是等差数列，且，若，则______.【答案】20【分析】利用等差数列的性质求出和，然后根据列方程求解即可.【详解】因为，所以，又，所以公差，从而，解得.故答案为：20.考点4：等差中项例4．若b是2，8的等差中项，则______；【答案】【详解】由题意，若b是2，8的等差中项，则故答案为：【方法技巧】根据等差中项的性质求解即可【变式训练】1．在等差数列中，，则（

）A．14 B．16 C．18 D．28【答案】A【分析】利用等差数列等差中项求解即可.【详解】因为等差数列中，，，故选：A.2．设是等差数列，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果.【详解】解：是等差数列，，，成等差数列，，.故选：C.3．与的等差中项是______．【答案】##【分析】根据等差中项的性质求解即可.【详解】解：设与的等差中项是，则故答案为：4．若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是______．【答案】3【分析】利用等差中项的性质列方程组求参数m、n，即可得结果.【详解】由题设，，可得，所以，故m和n的等差中项是3.故答案为：3考点5：等差数列的性质例5．等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=（

）A．45 B．75 C．180 D．300【答案】C.【详解】∵{an}为等差数列，则，即∴故选：C.【方法技巧】根据等差数列性质：若，则，运算求解【变式训练】1．若数列满足（其中d是常数），则称数列是“等方差数列”．已知数列是公差为m的等差数列，则“”是“是等方差数列”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】由得到为常数列，从而，故是等方差数列，充分性成立，再由是等方差数列，也是等差数列，得到，结合，分析出，，必要性得证.【详解】若，则为常数列，满足，所以是等方差数列，充分性成立，因为是等方差数列，所以，则，因为数列是公差为m的等差数列，所以，所以，由于,当时，随着的改变而改变，不是定值，不合要求，当时，为定值，此时满足题意，综上必要性成立.故选：C2．在等差数列中，若，则______．【答案】180【分析】利用等差中项的性质即可求值.【详解】由，故，所以，则.故答案为：3．是等差数列，且，则______．【答案】【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】因为是等差数列，且，所以，所以，所以，故答案为：考点6：等差数列的单调性例6．已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（

）A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定【答案】B【详解】等差数列的图象所在直线的斜率，则直线呈下降趋势，故数列单调递减.故选：B.【方法技巧】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断.【变式训练】1．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.2．（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断.【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为．由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立；若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．故选：ABC．3．已知等差数列的首项，公差．(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？(2)当n为何值时，最小？【答案】(1)从第23项开始出现负数(2)当时最小【分析】（1）依据等差数列的通项公式即可解决；（2）依据等差数列的通项公式，再以分段函数求最值即可解决.(1)等差数列的首项，公差则由，得，即从第23项开始出现负数.(2)由等差数列的通项公式可得在时取最小值为在时取最小值为则在时取最小值为考点7：等差数列的最大（小）项例7．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（

）A．4 B．5C．4或5 D．5或6【答案】A【详解】由，即，解得，因为,故.故选：A.【方法技巧】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.【变式训练】1．设等差数列的通项公式为，且，则正整数m的最大值是A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据题目所给含有绝对值的式子分析可知绝对值等于本身，故，即，由此得到最大的的值.【详解】根据题意可知，是非负数，故，故的最大值为.所以选.【点睛】本题主要考查对题目所给还有绝对值的式子进行分析，得到关键点是数列中为非负数的项.根据数列的通项公式可求得的最大值.2．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.【答案】-1【分析】根据数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，得到数列的通项公式求解.【详解】数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，所以数列的通项公式为an＝35－4n.则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.又a8＝3，a9＝－1.所以绝对值最小的项为a9＝－1.故答案为：-13．已知数列的通项公式为.（1）试问10是数列中的项吗？（2）求数列中的最小项.【答案】（1）8

（2）当或时，取得最小值-20.【分析】（1）将10代入通项公式，解得，即可得出结论；（2）根据数列的函数性，结合二次函数的性质与项数的特征，即可得出结论.【详解】解（1）令，即，解得（舍去）或，因此10是数列中的第8项.（2）由，且知，当或时，取得最小值-20.所以数列中的最小项为：【点睛】本题考查数列的通项公式及其函数性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.考点8：利用等差数列通项公式求等差数列中的项例8．设是等差数列，且，，则______．【答案】58【详解】因为是等差数列，且，，所以，解得，所以，．故答案为：【方法技巧】结合等差数列列方程求解得，再根据通项公式求解即可.【变式训练】1．在数列中，，则等于___________.【答案】2012【分析】根据等差数列的定义推知数列的首项是1，公差是1的等差数列，即可得到通项公式并解答.【详解】由，得,又，数列是首项，公差的等差数列，等差数列的通项公式，故.故答案为：2012.2．已知等差数列的首项为，且，则______.【答案】【分析】利用等差数列通项公式可构造方程求得公差，由可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，由得：，即，解得：，.故答案为：.3．已知数列满足，，则数列的通项公式为______．【答案】【分析】对递推数列两边同时去倒数，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，即可求出数列的通项公式.【详解】因为，，所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．故答案为：.知识小结知识小结1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．通项公式特点：是数列成等差数列的充要条件。3、等差中项若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列4、等差数列的基本性质（1）。（2）（3）5、判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列巩固提升巩固提升一、单选题1．在等差数列{an}中，若a2+2a6+a10＝120，则a3+a9等于（

）A．30 B．40 C．60 D．80【答案】C【分析】根据等差数列下标的性质进行求解即可.【详解】由等差数列的性质可得a2+2a6+a10＝4a6＝120，∴a6＝30∵a3+a9＝2a6＝60故选：C．2．数列中，，且数列是等差数列，则等于（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根据等差数列的定义求解.【详解】解：数列中，，且数列是等差数列，数列的公差，，解得故选：D.3．等差数列中，若，，则公差（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由，得故选：A4．已知数列是等差数列，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.故选：C.5．已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a5＝（

）A．3 B．6 C．9 D．11【答案】C【分析】根据等差数列的下标性质进行求解即可.【详解】∵等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，∴a2+a5＝a3+a4＝12，3a2＝a5，联立消去a2可得a5＝9故选：C6．首项为的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式求解作答.【详解】依题意，令该等差数列为，则有，因数列从第10项开始为正数，因此，即，解得：，所以公差d的取值范围是.故选：D7．在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是（

）．A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【答案】C【分析】先由等差数列定义求出通项，再解不等式即可求解.【详解】由可知等差数列首项为40，公差为，则通项公式为，令，解得，故第一个负数项是第15项.故选：C.8．现有下列命题：①若，则数列是等差数列；②若，则数列是等差数列；③若（b、c是常量），则数列是等差数列．其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】由等差数列的定义即可得出结论.【详解】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；，不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；，，，满足等差数列的定义，故