高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题35对数的运算(原卷版+解析)

专题35对数的运算1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．2．对数的换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝eq\f(logcb,logca).3．由换底公式推导的重要结论(1)logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；(2)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0，且均不为1)；(3)＝eq\f(n,m)logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．题型一对数运算性质的应用1．若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)；⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－logaeq\f(1,x)；⑦eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)；⑧logaeq\f(x－y,x＋y)＝－logaeq\f(x＋y,x－y).其中式子成立的个数为()A．3B．4C．5D．62．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是()A．若M＝N，则logaM＝logaNB．若logaM＝logaN，则M＝NC．若logaM2＝logaN2，则M＝ND．若M＝N，则logaM2＝logaN23．已知ab＞0，有下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\f(a,b)；④lg(ab)＝eq\f(1,logab10)，其中正确的是()A．①②③④ B．①②C．③④ D．③4．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是()①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.A．②④B．①③C．①④D．②③5．求下列各式的值：(1)log345－log35；(2)log24·log28；(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(4)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(5)lg25＋lg2·lg50；(6)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.6．计算：(1)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8；(2)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242－1；(3)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(4)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8)；7．求下列各式的值：(1)2log525＋3log264；(2)lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(4)4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；(5)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(6)log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3)).8．计算：(1)logeq\r(3)27＋lg4＋lg25；(2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2eq\r(3))2＋lgeq\f(1,6)＋lg0.06；(3)2eq\s\up15(log2eq\f(1,4))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))eq\s\up15(－eq\f(1,2))＋lg20－lg2－(log32)×(log23)＋(eq\r(2)－1)lg1.9．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是________．2log510＋log50.25的值是________10．化简eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的结果为11．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么()A．x＝eq\f(ab3,c5) B．x＝eq\f(3ab,5c)C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c512．化简log2eq\f(1,2)＋log2eq\f(2,3)＋log2eq\f(3,4)＋…＋log2eq\f(31,32)等于13．已知3a＝2，则log38－2log36＝()A．a－2 B．5a－2C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－114．eq\f(lg2＋lg5－lg8,lg50－lg40)的值是________．15．eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝________.16．若lgx－lgy＝a，则lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))3－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))3等于()A．3a B.eq\f(3,2)aC．a D.eq\f(a,2)17．设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝()A.eq\r(10) B．10C．20 D．10018．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于________．19．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))2的值等于20．log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7log72＝________.21．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≥2，,fx＋1，x＜2，))则f(log23)＝22．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝23．已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则eq\f(x,y)的值为()A．1 B．4C．1或4 D.eq\f(1,4)或424．用lgx，lgy，lgz表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lgeq\f(xy2,z)；(3)lgeq\f(xy3,\r(z))；(4)lgeq\f(\r(x),y2z).25．(1)计算：log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋(－9.8)0＋logeq\r(2)－1(3－2eq\r(2))；(2)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\r(2)y－logeq\r(2)x的值．题型二对数的换底公式1．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式可表示为()A．a－bB.eq\f(a,b)C．ab D．a＋b2．eq\f(log29,log23)＝3．lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lgeq\f(5,4)－log92·log43＝________.4．计算log225·log32eq\r(2)·log59的结果为5．计算log225·log3eq\f(1,16)·log5eq\f(1,9)·lneq\r(e)＝________.6．若logab·log3a＝4，则b＝________.7．计算：log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)＝________.8．计算log916×log881的值为9．log23×log34×log45×log56×log67×log78的值为________．10．若lg2＝a，lg3＝b，则log512等于________．11．设10a＝2，lg3＝b，则log26＝12．已知log95＝m,3n＝7，试用含m，n的式子表示log359.13．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))a＝eq\f(1,3)，log74＝b，则log4948＝________(用含a，b的式子表示)．14．计算：①log29·log34；②eq\f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4)).15．证明：①logab·logba＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；②loganbn＝logab(a>0，且a≠1，n≠0)．16．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83);(3)(log43＋log83)eq\f(lg2,lg3)17．计算：(1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．18．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.(1)求p；(2)求证：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).19．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,z).20．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．题型三对数运算性质的综合应用1．已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，求c的值．2．已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.3．已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．4．设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2.(1)求证：log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b＋c,a)))＋log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a－c,b)))＝1；(2)如果log4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b＋c,a)))＝1，log8(a＋b－c)＝eq\f(2,3)，那么a，b，c的值是多少？5．已知a，b，x为正数，且lg(bx)·lg(ax)＋1＝0，求eq\f(a,b)的取值范围．6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)()A．1033B．1053C．1073D．10937．(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的eq\f(1,3)(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)(2)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))2000(e为自然对数的底)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln3≈1.099)9．汶川里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级M＝eq\f(2,3)lgE－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹的能量．专题35对数的运算1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．2．对数的换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝eq\f(logcb,logca).3．由换底公式推导的重要结论(1)logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；(2)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0，且均不为1)；(3)＝eq\f(n,m)logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．题型一对数运算性质的应用1．若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)；⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－logaeq\f(1,x)；⑦eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)；⑧logaeq\f(x－y,x＋y)＝－logaeq\f(x＋y,x－y).其中式子成立的个数为()A．3B．4C．5D．6[解析]对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax·logay不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则eq\f(log24,log22)＝2≠log2eq\f(4,2)＝1，∴eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；⑥成立，由于－logaeq\f(1,x)＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；⑦成立，由于logaeq\r(n,x)＝logaxeq\s\up15(eq\f(1,n))＝eq\f(1,n)logax；⑧成立，由于logaeq\f(x－y,x＋y)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,x－y)))－1＝－logaeq\f(x＋y,x－y).[答案]A2．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是()A．若M＝N，则logaM＝logaNB．若logaM＝logaN，则M＝NC．若logaM2＝logaN2，则M＝ND．若M＝N，则logaM2＝logaN2[解析]在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．[答案]B3．已知ab＞0，有下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\f(a,b)；④lg(ab)＝eq\f(1,logab10)，其中正确的是()A．①②③④ B．①②C．③④ D．③解析：①②式成立的前提条件是a＞0，b＞0；④式成立的前提条件是ab≠1，只有③式成立．4．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是()①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.A．②④B．①③C．①④D．②③[解析]∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，故选B.5．求下列各式的值：(1)log345－log35；(2)log24·log28；(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(4)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(5)lg25＋lg2·lg50；(6)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解析](1)log345－log35＝log3eq\f(45,5)＝log39＝log332＝2.(2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6.(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.(4)原式＝2lg5＋eq\f(2,3)lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(5)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(6)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.6．计算：(1)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8；(2)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242－1；(3)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(4)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8)；[解析](1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原式＝log2eq\f(\r(7),\r(48))＋log212－log2eq\r(42)－log22＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42)×2)＝log2eq\f(1,2\r(2))=－eq\f(3,2).(3)解法一：原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).解法二：原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq\r(2)×eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(4)原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\f(lg1.8,2lg1.8)＝eq\f(1,2).7．求下列各式的值：(1)2log525＋3log264；(2)lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(4)4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；(5)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(6)log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3)).[解析](1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4，3log264＝3log226＝18log22＝18，∴2log525＋3log264＝4＋18＝22.(2)原式＝eq\f(1,2)lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))2＝eq\f(1,2)lg(3＋eq\r(5)＋3－eq\r(5)＋2eq\r(9－5))＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.(4)原式＝lgeq\f(24×53,\f(1,5))＝lg104＝4.(5)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.(6)原式＝log2(eq\r(8＋4\r(3))·eq\r(8－4\r(3)))＝log24＝2.8．计算：(1)logeq\r(3)27＋lg4＋lg25；(2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2eq\r(3))2＋lgeq\f(1,6)＋lg0.06；(3)2eq\s\up15(log2eq\f(1,4))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))eq\s\up15(－eq\f(1,2))＋lg20－lg2－(log32)×(log23)＋(eq\r(2)－1)lg1.[解析](1)原式＝logeq\s\do8(eq\r(3))(eq\r(3))6＋2lg2＋2lg5＝6＋2(lg2＋lg5)＝8.(2)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2＝3lg5×lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.(3)原式＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2))eq\s\up15(－eq\f(1,2))＋lgeq\f(20,2)－eq\f(lg2,lg3)·eq\f(lg3,lg2)＋1＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－1＋lg10－1＋1＝2.9．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是________．2log510＋log50.25的值是________[解析]lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lgeq\r(100)＝lg10＝1.2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.10．化简eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的结果为[解析]eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)＝log62eq\r(3)－log62＝log6eq\f(2\r(3),2)＝log6eq\r(3)11．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么()A．x＝eq\f(ab3,c5) B．x＝eq\f(3ab,5c)C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c5[解析]∵lgx＝lga＋3lgb－5lgc＝lga＋lgb3－lgc5＝lgeq\f(ab3,c5)，∴x＝eq\f(ab3,c5).12．化简log2eq\f(1,2)＋log2eq\f(2,3)＋log2eq\f(3,4)＋…＋log2eq\f(31,32)等于[解析]原式＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(31,32)))＝log2eq\f(1,32)＝－5.13．已知3a＝2，则log38－2log36＝()A．a－2 B．5a－2C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1[解析]∵3a＝2，∴a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.14．eq\f(lg2＋lg5－lg8,lg50－lg40)的值是________．[解析]原式＝eq\f(lg\f(2×5,8),lg\f(50,40))＝eq\f(lg\f(5,4),lg\f(5,4))＝1.15．eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝________.[解析]eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝eq\f(lg3＋lg22－1,lg1.2)＝eq\f(lg12－1,lg1.2)＝eq\f(lg\f(12,10),lg1.2)＝eq\f(lg1.2,lg1.2)＝1.16．若lgx－lgy＝a，则lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))3－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))3等于()A．3a B.eq\f(3,2)aC．a D.eq\f(a,2)[解析]∵lgx－lgy＝a，∴lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))3－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))3＝3lgeq\f(x,2)－3lgeq\f(y,2)＝3lgx－3lgy＝3a.17．设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝()A.eq\r(10) B．10C．20 D．100[解析]∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又∵m＞0，∴m＝eq\r(10).故选A.18．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于________．[解析]∵lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴lga＋lgb＝－eq\f(－4,2)＝2，∴ab＝100.19．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))2的值等于[解析]由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×eq\f(1,2)＝2.20．log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7log72＝________.[解析]原式＝log3eq\f(3eq\s\up15(eq\f(3,4)),3)＋lg(25×4)＋2＝log33－eq\f(1,4)＋lg102＋2＝－eq\f(1,4)＋2＋2＝eq\f(15,4).21．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≥2，,fx＋1，x＜2，))则f(log23)＝[解析]由2＜3＜4得1＜log23＜2，又log26＞log24＝2，因此f(log23)＝f(1＋log23)＝f(log26)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))log26＝eq\f(1,6)22．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝[解析]∵x＝log2.51000＝eq\f(3,lg2.5)，y＝log0.251000＝eq\f(3,lg0.25)，∴eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝eq\f(1,3)(lg2.5－lg0.25)＝eq\f(1,3)×lgeq\f(2.5,0.25)＝eq\f(1,3)×lg10＝eq\f(1,3).23．已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则eq\f(x,y)的值为()A．1 B．4C．1或4 D.eq\f(1,4)或4[解析]由对数的运算性质可得，lg(x－2y)2＝lg(xy)，所以(x－2y)2＝xy，即x2－5xy＋4y2＝0，所以(x－y)(x－4y)＝0，所以eq\f(x,y)＝1或eq\f(x,y)＝4，又x－2y>0，x>0，y>0，所以eq\f(x,y)>2，所以eq\f(x,y)＝4.24．用lgx，lgy，lgz表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lgeq\f(xy2,z)；(3)lgeq\f(xy3,\r(z))；(4)lgeq\f(\r(x),y2z).[解析](1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.(2)lgeq\f(xy2,z)＝lg(xy2)－lgz＝lgx＋2lgy－lgz.(3)lgeq\f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lgeq\r(z)＝lgx＋3lgy－eq\f(1,2)lgz.(4)lgeq\f(\r(x),y2z)＝lgeq\r(x)－lg(y2z)＝eq\f(1,2)lgx－2lgy－lgz.25．(1)计算：log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋(－9.8)0＋logeq\r(2)－1(3－2eq\r(2))；(2)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\r(2)y－logeq\r(2)x的值．[解析](1)原式＝log327＋lg52＋lg22＋1＋logeq\r(2)－1(eq\r(2)－1)2＝eq\f(3,2)＋2(lg5＋lg2)＋1＋2＝eq\f(13,2).(2)依题意得x＞0，y＞0，x－2y＞0，∴0＜eq\f(y,x)＜eq\f(1,2).又lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，又x＞0，∴4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))2－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))＋1＝0，解得eq\f(y,x)＝eq\f(1,4)或eq\f(y,x)＝1(舍去)，因此logeq\r(2)y－logeq\r(2)x＝logeq\r(2)eq\f(y,x)＝logeq\r(2)eq\f(1,4)＝eq\f(－2,\f(1,2))log22＝－4.题型二对数的换底公式1．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式可表示为()A．a－bB.eq\f(a,b)C．ab D．a＋b[解析]log32＝eq\f(ln2,ln3)＝eq\f(a,b).2．eq\f(log29,log23)＝[解析]原式＝log39＝log332＝2log33＝2.3．lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lgeq\f(5,4)－log92·log43＝________.[解析]法一：原式＝lgeq\f(\f(1,2),\f(5,8))＋lgeq\f(5,4)－eq\f(lg2,lg9)×eq\f(lg3,lg4)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)×\f(5,4)))－eq\f(lg2,2lg3)×eq\f(lg3,2lg2)＝lg1－eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4).法二：原式＝(lg1－lg2)－(lg5－lg8)＋(lg5－lg4)－eq\f(lg2,lg9)×eq\f(lg3,lg4)＝－lg2＋lg8－lg4－eq\f(lg2,2lg3)×eq\f(lg3,2lg2)＝－(lg2＋lg4)＋lg8－eq\f(1,4)＝－lg(2×4)＋lg8－eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4).4．计算log225·log32eq\r(2)·log59的结果为[解析]原式＝eq\f(lg25,lg2)·eq\f(lg2\r(2),lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(\f(3,2)lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝6.5．计算log225·log3eq\f(1,16)·log5eq\f(1,9)·lneq\r(e)＝________.[解析]原式＝eq\f(2lg5,lg2)×eq\f(－4lg2,lg3)×eq\f(－2lg3,lg5)×eq\f(1,2)＝8.6．若logab·log3a＝4，则b＝________.[解析]∵logab·log3a＝4，∴eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝4，即lgb＝4lg3＝lg34，∴b＝34＝81.7．计算：log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)＝________.[解析]原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg\f(1,8),lg3)·eq\f(lg\f(1,9),lg5)＝eq\f(－2lg5·－3lg2·－2lg3,lg2·lg3·lg5)＝－12.8．计算log916×log881的值为[解析]log916×log881＝eq\f(lg16,lg9)×eq\f(lg81,lg8)＝eq\f(4lg2,2lg3)×eq\f(4lg3,3lg2)＝eq\f(8,3)9．log23×log34×log45×log56×log67×log78的值为________．[解析]原式＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg4,lg3)×eq\f(lg5,lg4)×eq\f(lg6,lg5)×eq\f(lg7,lg6)×eq\f(lg8,lg7)＝eq\f(lg8,lg2)＝eq\f(3lg2,lg2)＝3.10．若lg2＝a，lg3＝b，则log512等于________．[解析]log512＝eq\f(lg12,lg5)＝eq\f(lg3＋2lg2,1－lg2)＝eq\f(b＋2a,1－a).11．设10a＝2，lg3＝b，则log26＝[解析]∵10a＝2，∴lg2＝a，∴log26＝eq\f(lg6,lg2)＝eq\f(lg2＋lg3,lg2)＝eq\f(a＋b,a).12．已知log95＝m,3n＝7，试用含m，n的式子表示log359.[解析]解法一：由3n＝7，得n＝log37.因为m＝log95＝eq\f(log35,log39)＝eq\f(1,2)log35，所以log35＝2m.所以log359＝eq\f(log39,log335)＝eq\f(2,log37＋log35)＝eq\f(2,n＋2m).解法二：由3n＝7，得n＝log37.因为log37＝eq\f(lg7,lg3)＝n，所以lg7＝nlg3.因为log95＝eq\f(lg5,lg9)＝eq\f(lg5,2lg3)＝m，所以lg5＝2mlg3.所以log359＝eq\f(lg9,lg35)＝eq\f(2lg3,lg5＋lg7)＝eq\f(2lg3,2mlg3＋nlg3)＝eq\f(2,2m＋n).13．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))a＝eq\f(1,3)，log74＝b，则log4948＝________(用含a，b的式子表示)．[解析]由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))a＝eq\f(1,3)，得a＝log73，又b＝log74，∴log4948＝eq\f(lg48,lg49)＝eq\f(lg3＋2lg4,2lg7)＝eq\f(log73＋2log74,2)＝eq\f(a＋2b,2).14．计算：①log29·log34；②eq\f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4)).[解析]①原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(lg32·lg22,lg2·lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.②原式＝eq\f(log5\r(2),log5\f(1,3))·eq\f(log79,log7\r(3,4))＝logeq\f(1,3)eq\r(2)·logeq\r(3,4)9＝eq\f(lg\r(2),lg\f(1,3))·eq\f(lg9,lg\r(3,4))＝eq\f(\f(1,2)lg2·2lg3,－lg3·\f(2,3)lg2)＝－eq\f(3,2).15．证明：①logab·logba＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；②loganbn＝logab(a>0，且a≠1，n≠0)．[解析]证明：①logab·logba＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lgb)＝1.②loganbn＝eq\f(lgbn,lgan)＝eq\f(nlgb,nlga)＝eq\f(lgb,lga)＝logab.16．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83);(3)(log43＋log83)eq\f(lg2,lg3)[解析](1)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)＝eq\f(lg16,lg2)＝eq\f(4lg2,lg2)＝4.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).(3)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(lg3,2lg2)·eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg3,3lg2)·eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).17．计算：(1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．[解析](1)解法一：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.解法二：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(lg4,lg25)＋\f(lg8,lg125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\f(13lg5,3lg2)·eq\f(3lg2,lg5)＝13.解法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)(log52＋log5222＋log5323)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52＝eq\f(13,3)×3＝13.(2)∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).18．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.(1)求p；(2)求证：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).[解析](1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·eq\f(log3k,log34).∵log3k≠0，∴p＝2log34.(2)证明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,log6k)－eq\f(1,log3k)＝logk6－logk3＝logk2，又eq\f(1,2y)＝eq\f(1,2)logk4＝logk2，∴eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).19．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,z).[解析]设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，∴eq\f(1,x)＝logk2，eq\f(1,y)＝logk3，eq\f(1,z)＝logk6＝logk2＋logk3，∴eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y).20．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．[解析]原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝eq\f(1,2).又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2).∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgb,lga)＋\f(lga,lgb)))＝(lga＋lgb)·eq\f(lgb2＋lga2,lga·lgb)＝(lga＋lgb)·eq\f(lga＋lgb2－2lga·lgb,lga·lgb)＝2×eq\f(22－2×\f(1,2),\f(1,2))＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.题型三对数运算性质的综合应用1．已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，求c的值．[解析]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝eq\r(15).2．已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.[解析]解法一：∵18b＝5，∴log185＝b，又log189＝a，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,log18\f(182,9))＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).解法二：∵log189＝eq\f(lg9,lg18)＝a，∴lg9＝alg18，同理得lg5＝blg18，∴log3645＝eq\f(lg45,lg36)＝eq\f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).解法三：∵log189＝a，∴log18eq\f(18,2)＝1－log182＝a，∴log182＝1－a.∵18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－a).解法四：∵log189＝a，∴18a＝9.又18b＝5，∴45＝5×9＝18b·18a＝18a＋b.令log3645＝x，则36x＝45＝18a＋b，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,3)×\f(18,3)))x＝18a＋b,182x＝9x·18a＋b.∵18a＝9，∴182x＝(18a)x·18a＋b＝18ax·18a＋b＝18ax＋a＋b.∴2x＝ax＋a＋b，∴x＝eq\f(a＋b,2－a)，即log3645＝eq\f(a＋b,2－a).3．已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．[解析]解法一：设ax＝by＝cz＝t，∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,logat)＋eq\f(1,logbt)＋eq\f(1,logct)＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.解法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，∴令ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝eq\f(lgt,lga)，y＝eq\f(lgt,lgb)，z＝eq\f(lgt,lgc)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(lga,lgt)＋eq\f(lgb,lgt)＋eq\f(lgc,lgt)＝eq\f(lga＋lgb＋lgc,lgt).∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，且lgt≠0，∴lga＋lgb＋lgc＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.4．设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2.(1)求证：log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b＋c,a)))＋log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\